Grad eines Polynoms

Auf dieser Seite erklären wir, was der Grad eines Polynoms ist (absoluter Grad und relativer Grad) und wie man den Grad eines Polynoms erkennt. Außerdem können Sie einige Beispiele sehen, wie der Grad eines Polynoms bestimmt wird, und außerdem erfahren Sie, wie Polynome nach ihrem Grad klassifiziert werden.

Welchen Grad hat ein Polynom?

Die Definition des Grades eines Polynoms lautet wie folgt:

In der Mathematik ist der Grad eines Polynoms der größte Exponent, auf den die Polynomvariable angehoben wird.

Das folgende Polynom hat beispielsweise den Grad 5, da der Maximalwert der Exponenten seiner Terme 5 beträgt:

$P(x) = x^5+2x^4+6x^2-3$

Obwohl es ein sehr einfaches Konzept zu sein scheint, ist es wichtig zu wissen, wie man den Grad eines Polynoms ermittelt, um Polynome korrekt addieren und subtrahieren zu können. Warum es so wichtig ist, erfahren Sie in denBeispielen zur Addition von Polynomen und Beispielen zur Subtraktion von Polynomen . Außerdem können Sie diese beiden Arten von Operationen mit Polynomen anhand gelöster Übungen üben.

Beispiele für Polynomgrade

Sobald wir wissen, wie man den Grad eines Polynoms ermittelt, schauen wir uns andere Beispiele an, um seine Bedeutung zu verstehen:

Beispiel für ein Polynom vom Grad Null:

$P(x) = 4$

Beispiel für ein Polynom ersten Grades:

$P(x) = 3x+2$

Beispiel für ein Polynom zweiten Grades:

$P(x) = x^2+7x-4$

Beispiel für ein Polynom dritten Grades:

$P(x) = 2x^3+5x^2-9$

Beispiel für ein Polynom vierten Grades:

$P(x) = 6x^4+3x^2-7x+1$

Wie erkennt man den Grad eines Polynoms mit zwei oder mehr Variablen?

Wir haben gerade gesehen, wie der Grad eines univariablen Polynoms, also mit einer einzigen Variablen, bestimmt wird. Aber welchen Grad hat ein multivariables Polynom?

In der Algebra gibt es zwei Arten von Polynomgraden, wenn sie mehr als eine Variable haben:

Absoluter Grad : Der absolute Grad entspricht dem maximalen Grad der Monome, die das Polynom bilden
Relativer Grad : Der relative Grad in Bezug auf eine bestimmte Variable entspricht dem größten Exponenten dieser Variablen.

Um den absoluten Grad eines Polynoms zu bestimmen, müssen Sie natürlich wissen, wie der Grad eines Monoms mit zwei oder mehr Variablen berechnet wird. Wenn Sie sich also nicht erinnern, wie das gemacht wurde, empfehlen wir Ihnen, einen Blick auf unsere Seite zu den Teilen zu werfen eines Monoms . Auf dieser Seite finden Sie eine Erklärung aller Teile eines Monoms und insbesondere, wie Sie den Grad eines multivariablen Monoms bestimmen .

Als Beispiel finden wir die absoluten und relativen Grade des folgenden Polynoms mit 3 Variablen:

$P(x,y,z) = 3x^5y^4 + 6x^3y^2z - 2y^6z^2$

Was den absoluten Grad des Polynoms betrifft, so hat sein erstes Monom den Grad 9, der zweite Term des Polynoms den Grad 6 und schließlich das dritte Element des Polynoms den Grad 8. Daher beträgt der absolute Grad des Polynoms von das Problem ist 9, da es der maximale Grad seiner Monome ist.

$\text{Grado absoluto de } P(x,y,z) = 9$

Der relative Grad hingegen bezieht sich auf jede Variable einzeln und besteht aus dem maximalen Exponenten dieser Variablen. Somit beträgt der maximale Grad der Variablen x 5, der relative Grad der Variablen y beträgt 6 und schließlich beträgt der Grad in Bezug auf den Buchstaben z 2.

$\text{Grado relativo de } x = 5$

$\text{Grado relativo de } y = 6$

$\text{Grado relativo de } z = 2$

Arten von Polynomen nach dem Grad ihrer Monome

Bestimmte bestimmte Polynome können nach dem Grad ihrer Terme klassifiziert werden:

Geordnetes Polynom : Ein Polynom ist geordnet, wenn seine Monome vom höchsten zum niedrigsten Grad geschrieben werden.

$P(x) = x^4 + 4x^3+6x^2 +3$

Das vorherige Polynom ist geordnet, da seine Monome nach ihrem Grad in absteigender Reihenfolge geordnet sind.

Vollständiges Polynom : das Polynom, das alle Terme aller Grade vom Monom höchsten Grades bis zum unabhängigen Term enthält.

$P(x) = x^5 + 3x^4-5x^3+2x^2 +x+9$

Logischerweise ist die Anzahl der Terme in jedem vollständigen Polynom gleich dem Grad des Polynoms plus 1.

Unvollständiges Polynom : Polynom, bei dem ein Term eines bestimmten Grades zwischen dem Monom höheren Grades und dem unabhängigen Term fehlt.

$P(x) = x^5+4x^3-7x+3$

Homogenes Polynom : Ein Polynom ist homogen, wenn alle seine Elemente den gleichen Grad haben. Das folgende Polynom ist beispielsweise homogen, weil alle seine Monome vom Grad 7 sind.

$P(x,y) = 6x^3y^4+2x^5y^2 -4x^6y$

Heterogenes Polynom : Ein Polynom ist heterogen, wenn mindestens einer seiner Terme einen anderen Grad hat als alle anderen Terme, aus denen das Polynom besteht.

$P(x,y) = 4x^3+11x^5-6y^5$

Das Polynom aus der vorherigen Übung hat zwei Monome gleichen Grades (11x ⁵ und -6y ⁵ ), aber da 4x ³ einen unterschiedlichen Grad hat, ist es ein heterogenes Polynom.