Gleichung der Geraden durch zwei Punkte (Formel)

Hier finden Sie die Formel, um schnell die Gleichung der Geraden zu finden, die durch zwei Punkte verläuft. Darüber hinaus können Sie Beispiele und Übungen mit gelösten Aufgaben zu Gleichungen der durch 2 Punkte bestimmten Geraden sehen.

Formel für die Gleichung der Geraden, die durch zwei Punkte verläuft

Ein typisches Geradengleichungsproblem besteht darin, die Gleichung der Geraden zu berechnen, die durch zwei gegebene Punkte bestimmt wird. Obwohl es mehrere Methoden gibt, diese Art von Problem zu lösen, finden Sie hier eine Formel, mit der Sie die Gleichung dieser Geraden schnell und einfach direkt finden können:

Betrachten Sie zwei Punkte, die auf einer Linie liegen:

$P_1(x_1,y_1) \qquad \qquad P_2(x_2,y_2)$

Die Formel zur Ermittlung der Geradengleichung aus ihren beiden Punkten lautet:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

Die Formel für die Gleichung der Geraden mit zwei Punkten ergibt sich aus der Punkt-Steigungsgleichung der Geraden :

$y-y_1= m (x-x_1)$

Die Steigung einer Geraden kann mit folgendem Ausdruck berechnet werden:

$m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Es stellt sich heraus, dass die Formel für die Gleichung mit den Koordinaten zweier Punkte lautet:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

Um die Gleichung einer Geraden zu bestimmen, müssen Sie also nur zwei Punkte kennen, durch die sie verläuft.

Beispiel dafür, wie man die Gleichung einer Geraden mit zwei gegebenen Punkten findet

Nachdem wir gesehen haben, wie die Formel für die Gleichung der Geraden oben in 2 Punkten lautet, sehen wir uns nun an, wie eine typische Aufgabe der Gleichungen der Geraden gelöst wird:

Wie lautet die Gleichung der Geraden, die durch die folgenden zwei Punkte verläuft?

$P_1 (3,1) \qquad \qquad P_2(-2,5)$

Da wir bereits zwei Punkte kennen, die auf der Geraden liegen, verwenden wir die Formel direkt, um ihre Gleichung zu berechnen:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

Jetzt setzen wir die Koordinaten der Punkte in die Formel ein:

$y-1= \cfrac{5-1}{-2-3} (x-3)$

Und schließlich berechnen wir die Steigung der Geraden:

$y-1= \cfrac{4}{-5} (x-3)$

Die Gleichung der Geraden, die durch diese beiden Punkte geht, lautet daher:

$\bm{y-1=-} \mathbf{\cfrac{4}{5}}\bm{ (x-3)}$

Da uns die Aussage nichts anderes sagt, besteht keine Notwendigkeit, die Geradengleichung weiter zu vereinfachen, selbst wenn ein Bruch übrig bleibt.

Probleme der Gleichung der Geraden, die durch zwei Punkte verläuft, gelöst

Übung 1

Finden Sie die Gleichung der Geraden, die durch die folgenden zwei Punkte verläuft:

$P_1 (4,-1) \qquad \qquad P_2(5,2)$

siehe Lösung

Da wir bereits zwei Punkte auf der Geraden kennen, wenden wir die Formel für die Geradengleichung direkt auf 2 gegebene Punkte an:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

Jetzt setzen wir die kartesischen Koordinaten der Punkte in die Formel ein:

$y-(-1)= \cfrac{2-(-1)}{5-4} (x-4)$

Und schließlich berechnen wir die Steigung der Geraden:

$y+1= \cfrac{3}{1} (x-4)$

$y+1= 3(x-4)$

Die Gleichung der Geraden, die durch diese beiden Punkte geht, lautet daher:

$\bm{y+1= 3(x-4)}$

Übung 2

Finden Sie die Gleichung der Geraden, die durch die folgenden zwei Punkte verläuft:

$P_1 (-2,0) \qquad \qquad P_2(-3,1)$

siehe Lösung

Da wir bereits zwei Punkte kennen, die zur Geraden gehören, verwenden wir direkt die Formel für die Gleichung der bekannten Geraden mit 2 Punkten:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

Jetzt setzen wir die Koordinaten der Punkte in die Formel ein:

$y-0= \cfrac{1-0}{-3-(-2)} (x-(-2))$

Und schließlich führen wir die Operationen durch:

$y= \cfrac{1}{-1} (x+2)$

$y= -(x+2)$

$y= -x-2$

Die Gleichung der Geraden, die durch diese beiden Punkte geht, lautet daher:

$\bm{y= -x-2}$

Übung 3

Bestimmen Sie ohne Berechnungen einen Punkt, der auf der folgenden Linie liegt:

$y-2= 4(x+1)$

siehe Lösung

Ein Punkt auf der Geraden lässt sich aus der Formel für die Gleichung der Geraden, die durch zwei Punkte verläuft, ableiten:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

Die Y-Koordinate des Punktes ist der Term vor der Variablen

$y$

Das Vorzeichen wurde geändert und die X-Koordinate des Punktes ist die Zahl in den negativen Klammern:

$\bm{P(-1,2)}$

Übung 4

Suchen Sie einen dritten Punkt auf der Linie, der durch die folgenden zwei Punkte definiert wird:

$P_1 (4,1) \qquad \qquad P_2(2,-3)$

siehe Lösung

Wir müssen zuerst die Gleichung der Geraden mit der Formel finden:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

$y-1= \cfrac{-3-1}{2-4} (x-4)$

$y-1= \cfrac{-4}{-2} (x-4)$

$y-1= 2(x-4)$

Und sobald die Gleichung der Geraden, die durch die beiden Punkte verläuft, gefunden ist, berechnen wir einen dritten Punkt, der einer der Variablen einen beliebigen Wert gibt. Wir werden es zum Beispiel tun

$x=0:$