Die Ganzzahlmenge ist eine Sammlung aller positiven und negativen Zahlen. In diesem Artikel sprechen wir über die Eigenschaften dieser Zahlen, wie sie auf der Zahlengeraden dargestellt werden, welche Operationen Sie mit ihnen durchführen können und vieles mehr.
Was sind ganze Zahlen?
Ganzzahlen sind alle natürlichen und negativen Zahlen, keine Dezimalzahlen. Daher ist die Menge der ganzen Zahlen in der Mathematik die Menge aller natürlichen Zahlen plus die Menge der negativen Zahlen und die Zahl Null . Diese Menge ist wiederum eine Unterkategorie der Menge der rationalen Zahlen .
Ganze Zahlen sind die natürlichen Zahlen plus die negativen Zahlen. Daher umfassen ganze Zahlen den folgenden Bereich: {-∞, …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …, ∞}. Daher ist es von entscheidender Bedeutung , die Menge der natürlichen Zahlen und ihrer Umkehrzahlen (die Negative) gut zu verstehen , um die ganzen Zahlen zu verstehen.
Teilmengen von Z-Zahlen
Aus dem, was wir bisher erklärt haben, können wir ableiten, dass es zwei Arten von ganzen Zahlen gibt: positive (natürliche) ganze Zahlen und negative (negative) ganze Zahlen. Diese beiden Zahlenmengen werden Teilmengen ganzer Zahlen genannt.
Wir können jedoch auch andere Teilmengen erheben, beispielsweise gerade und ungerade Zahlen sowie Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen. Denn die auf die Arithmetik angewandte Mengenlehre ermöglicht es uns, Zahlen nach jeder mathematischen Eigenschaft zu gruppieren, die sie beschreibt.
Beispiele für ganze Zahlen
Um ein wenig zu verdeutlichen, was eine Ganzzahl ist, hier einige Beispiele der Reihe nach:
-8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Wie Sie sehen, sind dies die ersten acht positiven Zahlen (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), Null und die Kehrwerte der vorherigen natürlichen Zahlen. Offensichtlich sind diese siebzehn Beispiele nur ein Teil des Ganzen. Aber aus dieser kleinen Gruppe von Werten können Sie jede ganze Zahl konzipieren.
Eigenschaften der Menge der ganzen Zahlen
Dieses digitale Set weist eine Reihe von Eigenschaften auf:
- Sie ist unendlich, da sie aus zwei unendlichen Zahlenmengen (den natürlichen Zahlen und den Negativen) besteht.
- Alle Werte in diesem Satz sind mit Vorzeichen versehen: positiv (+) oder negativ (-), außer Null.
- Sie haben eine bestimmte Reihenfolge: Negative Zahlen sind kleiner als Null und positive Zahlen sind größer als Null: Negative < 0 < Positive.
- Alle ganzen Zahlen sind rational, aber nicht gebrochen.
- Für jede positive ganze Zahl gibt es eine gleiche negative ganze Zahl, jedoch mit entgegengesetztem Vorzeichen.
Darstellung ganzer Zahlen
Im vorherigen Abschnitt haben wir die Reihenfolge der ganzen Zahlen kommentiert. Aber um es noch klarer zu sehen, zeigen wir Ihnen die Darstellung auf dem Zahlenstrahl .
Wie Sie sehen können, ist diese Zahlenlinie die Kombination der Zahlenlinien der natürlichen Zahlen und der negativen Zahlen. Kurz gesagt sind negative Zahlen mit dem größten Absolutwert diejenigen, die am weitesten links (am kleinsten) liegen. Während positive Zahlen mit dem größten absoluten Wert diejenigen sind, die am weitesten nach rechts gehen (am größten).
Eigenschaften von ganzen Zahlen
Bevor Sie lernen, Operationen mit ganzen Zahlen durchzuführen, ist es sehr wichtig, eine Reihe von Eigenschaften zu kennen. Auf diese Weise können wir einfach und fehlerfrei arbeiten.
Diese Eigenschaften zeigen wir Ihnen in dieser Liste:
- Kommutativ: Abgesehen von der Addition und Multiplikation zweier ganzzahliger Werte spielt die Reihenfolge der Faktoren keine Rolle. Für alle ganzen Zahlen a und b gilt also:
a + b = b + a
ab = ba
- Assoziativ: Abgesehen von der Addition und Multiplikation von drei oder mehr ganzzahligen Werten spielt die Reihenfolge der Faktoren keine Rolle. Daher gilt für alle ganzen Zahlen a, b und c.
a + (b + c) = (a + b) + c
a · (b · c) = (a · b) · c
- Distributiv: Die Multiplikation einer Zahl mit einer Summe entspricht der Bildung eines gemeinsamen Teilers:
a(b + c) = ab + ac
- Neutrales Element: Es gibt zwei Zahlen, die bei der Teilnahme an einer Operation mit ganzen Zahlen den Anfangswert nicht verändern. Bei der Multiplikation ist es 1 und bei der Addition 0.
a 1 = eins
bis + 0 = bis
- Absoluter Wert: Jede negative ganze Zahl hat eine identische positive ganze Zahl, jedoch ohne Vorzeichen. Dies gilt auch für positive ganze Zahlen, aber der Absolutwert einer positiven Zahl ist selbst positiv.
|-a| = zu
|a| = zu
Wenn Sie mehr über diese Eigenschaften erfahren möchten, empfehlen wir Ihnen einen Blick auf unseren Artikel über mathematische Eigenschaften von Operationen .
Operationen mit ganzen Zahlen
Sie kennen nun die Eigenschaften der Menge Z (Ganzzahl), ihre Reihenfolge und die Eigenschaften dieser Menge für Lösungsoperationen. Daher können wir bereits über die Operationen selbst sprechen.
- Ganzzahlen hinzufügen: Wenn wir zwei Ganzzahlen mit demselben Vorzeichen addieren, addieren wir einfach ihre Absolutwerte und fügen das Vorzeichen hinzu. Wenn wir jedoch ein Positives und ein Negatives addieren, müssen wir deren Absolutwerte subtrahieren und das Vorzeichen der Ganzzahl mit dem größten Absolutwert schreiben:
4 + 5 = 9
(-4) + (-5) = -9
4 + (-5) = -1
- Subtraktion ganzer Zahlen: Bei der Subtraktion zweier ganzer Zahlen müssen Sie das Vorzeichengesetz anwenden. Da es uns ermöglicht, Subtraktionen zu vereinfachen, die mehr als ein Vorzeichen hintereinander haben. Und so wandeln wir sie in Summen um, deren Lösung wir bereits kennen (im vorherigen Abschnitt erklärt). Die folgende Tabelle erläutert das Zeichengesetz:
(+) · (+) = (+)
(+) · (-) = (-)
(-) · (+) = (-)
(-) · (-) = (+)
Als nächstes stellen wir alle Fälle vor, die wir finden können:
4 – 5 = 4 + (-5) = -1
5 – 4 = 5 + (-4) = 1
(-4) – 5 = (-4) + (-5) = -9
4 – (-5) = 4 + 5 = 9
(-4) – (-5) = (-4) + 5 = 1
(-5) – (-4) = (-5) + 4 = -1
- Ganzzahlige Multiplikation: Um ganzzahlige Multiplikationen zu lösen, multiplizieren Sie einfach die Absolutwerte. Fügen Sie dann das entsprechende Zeichen hinzu, indem Sie das oben erläuterte Zeichengesetz verwenden. Nun zeigen wir Ihnen die vier existierenden Fälle der Multiplikation:
4 5 = 20
(-4) 5 = -20
4 · (-5) = -20
(-4) · (-5) = 20
- Die Division ganzer Zahlen: Schließlich haben wir die Divisionen. Um sie zu lösen, müssen wir den Quotienten der Absolutwerte bilden und das Vorzeichen addieren, basierend auf dem Zeichengesetz. Als nächstes zeigen wir Ihnen die vier Fälle, die Sie finden können:
20 ÷ 5 = 4
(-20) ÷ 5 = -4
20 ÷ (-5) = -4
(-20) ÷ (-5) = 4
Wie wird die Menge der ganzen Zahlen im täglichen Leben verwendet?
Die Menge der ganzen Zahlen wird im Alltag auf verschiedene Weise verwendet. Wenn beispielsweise versucht wird, etwas zu messen , werden normalerweise ganze Zahlen verwendet, insbesondere positive ganze Zahlen.
Sie werden auch zur Durchführung grundlegender mathematischer Berechnungen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division verwendet. Dies gilt für alle täglichen Aktionen, die wir ausführen, wie zum Beispiel: Einkaufen, Währungsberechnung, Entfernung einer Reise messen, Zeit verfolgen …
Andere Möglichkeiten, Ganzzahlen im täglichen Leben zu verwenden, umfassen das Ordnen von Objekten (z. B. das Platzieren von Büchern in alphabetischer Reihenfolge auf einem Regal) und das Verfolgen von Standorten (z. B. das Auffinden eines Gebäudes auf einer Karte). Zusammenfassend lässt sich sagen, dass fast alles, was Sie tun, von ganzzahligen Werten umgeben ist.