Parametrische Gleichungen der Linie

Auf dieser Seite erfahren Sie, wie Sie die parametrischen Gleichungen einer beliebigen Linie berechnen, entweder aus einem Punkt und einem Vektor oder aus zwei Punkten. Außerdem erfahren Sie, wie Sie mit den parametrischen Gleichungen verschiedene Punkte auf einer Linie erhalten. Darüber hinaus können Sie sich zahlreiche Beispiele ansehen und anhand gelöster Übungen üben.

So finden Sie parametrische Gleichungen einer Geraden

Um die parametrischen Gleichungen einer beliebigen Geraden zu bestimmen, benötigt man lediglich deren Richtungsvektor und einen zur Geraden gehörenden Punkt.

$\vv{\text{v}}$

ist der Richtungsvektor der Geraden und

$P$

ein Punkt, der nach rechts gehört:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

Die Formel für die parametrischen Gleichungen der Geraden lautet:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

Gold:

$x$

Und

$y$

sind die kartesischen Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Linie.
$P_1$

Und

$P_2$

sind die Koordinaten eines bekannten Punktes, der Teil der Linie ist.
$\text{v}_1$

Und

$\text{v}_2$

sind die Komponenten des Richtungsvektors der Geraden.
$t$

ist ein Skalar (eine reelle Zahl), dessen Wert von jedem Punkt auf der Linie abhängt.

Daher sind parametrische Gleichungen eine Möglichkeit, eine Linie analytisch auszudrücken.

parametrische Gleichungen der dreidimensionalen Linie

Dies sind die parametrischen Gleichungen der Geraden in der Ebene, also bei der Arbeit mit Punkten und Vektoren von 2 Koordinaten (im R2). Wenn wir jedoch Berechnungen im Raum (im R3) durchführen würden, müssten wir eine zusätzliche Gleichung für die dritte Komponente Z hinzufügen:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \\[1.7ex] z=P_3+t\cdot\text{v}_3\end{cases}$

Bedenken Sie andererseits, dass es neben parametrischen Gleichungen auch andere Möglichkeiten gibt, eine Linie mathematisch zu beschreiben: die Vektorgleichung, die kontinuierliche Gleichung, die implizite (oder allgemeine) Gleichung, die explizite Gleichung und die Punkt-Steigungs-Gleichung von Eine Linie. Sie können auf unserer Website nachsehen, um was es sich dabei handelt.

Beispiel für die Bestimmung der parametrischen Gleichungen der Linie

Sehen wir uns nun anhand eines Beispiels an, wie man die parametrischen Gleichungen einer Geraden findet:

Schreiben Sie die parametrischen Gleichungen der Linie, die durch den Punkt verläuft
$P$

und hat

$\vv{\text{v}}$

als Leitvektor:

$\vv{\text{v}}= (3,-2) \qquad P(4,1)$

Um die parametrischen Gleichungen der Linie zu berechnen, müssen wir ihre Formel anwenden:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

Daher setzen wir die Koordinaten des Punktes und den Richtungsvektor in die Formel ein:

$\displaystyle \begin{cases} x=4+t\cdot 3 \\[1.7ex] y=1+t\cdot(-2) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=4+3t \\[1.7ex] y=1-2t \end{cases}$

Erhalten von Punkten aus parametrischen Liniengleichungen

Sobald wir die parametrischen Gleichungen der Linie gefunden haben, ist es sehr einfach, die Punkte zu berechnen, durch die die Linie verläuft. Um einen Punkt auf einer Geraden zu bestimmen , müssen Sie dem Parameter einen Wert zuweisen

$\bm{t}$

parametrische Gleichungen der Linie.

Zum Beispiel seien die folgenden parametrischen Gleichungen der Geraden gegeben:

$\displaystyle \begin{cases} x=2+t \\[1.7ex] y=-1+3t \end{cases}$

Durch Ersetzen können wir einen Punkt auf der Geraden erhalten

$t$

zum Beispiel durch eine beliebige Zahl

$t=1:$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+1= 3 \\[1.7ex] y=-1+3\cdot 1=2 \end{cases}$

$\bm{A(3,2)}$

Und wir können einen weiteren Punkt auf der Linie berechnen, wenn wir die Variable ersetzen

$t$

zum Beispiel durch eine andere Nummer

$t=2:$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+2= 4 \\[1.7ex] y=-1+3\cdot 2=5 \end{cases}$

$\bm{B(4,5)}$

Daher können wir aufgrund der Variablen unendlich viele Punkte auf der Geraden erhalten

$t$

kann unendliche Werte annehmen.

So berechnen Sie parametrische Geradengleichungen aus zwei Punkten

Ein weiteres typisches Problem bei parametrischen Gleichungen besteht darin, dass sie uns zwei Punkte liefern, die zur Geraden gehören, und aus ihnen müssen wir die parametrischen Gleichungen berechnen. Sehen wir uns anhand eines Beispiels an, wie es gelöst wird:

Finden Sie die parametrischen Gleichungen der Linie, die durch die folgenden zwei Punkte verläuft:

$A(2,4) \qquad B(5,-3)$

Wie wir in den obigen Abschnitten gesehen haben, benötigen wir zum Finden der parametrischen Gleichungen einer Linie ihren Richtungsvektor und einen Punkt darauf. Wir haben bereits einen Punkt auf der rechten Seite, aber uns fehlt sein Richtungsvektor. Wir müssen also zuerst den Richtungsvektor der Linie und dann die Parametergleichungen berechnen .

Um den Richtungsvektor der Linie zu ermitteln, berechnen Sie einfach den Vektor, der durch die beiden im Ausdruck angegebenen Punkte definiert wird:

$\vv{AB} = B - A = (5,-3) - (2,4) = (3,-7)$

Und sobald wir auch den Richtungsvektor der Linie kennen, müssen wir zum Finden ihrer Parametergleichungen nur noch die Formel anwenden:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+t\cdot 3 \\[1.7ex] y=4+t\cdot(-7) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+3t \\[1.7ex] y=4-7t \end{cases}$

In diesem Fall haben wir Punkt A genommen, um die parametrischen Gleichungen zu definieren, aber es ist auch richtig, sie mit dem anderen Punkt zu schreiben, den sie uns in der Aussage geben:

$\displaystyle \begin{cases} x=5+3t \\[1.7ex] y=-3-7t \end{cases}$

Probleme parametrischer Gleichungen der Geraden gelöst

Übung 1

Finden Sie die Parametergleichung der Linie, deren Richtungsvektor ist

$\vv{\text{v}}$

und geht durch den Punkt

$P:$

$\vv{\text{v}}= (-1,-2) \qquad P(5,0)$

siehe Lösung

Um die parametrischen Gleichungen der Linie zu finden, wenden Sie einfach ihre Formel an:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=5+t\cdot (-1) \\[1.7ex] y=0+t\cdot(-2) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=5-t \\[1.7ex] y=-2t \end{cases}$

Übung 2

Berechnen Sie zwei verschiedene Punkte der folgenden Linie, die durch die parametrischen Gleichungen definiert ist:

$\displaystyle \begin{cases} x=1+5t \\[1.7ex] y=-4-3t \end{cases}$

siehe Lösung

Um Punkte aus einer mit parametrischen Gleichungen ausgedrückten Linie zu erhalten, müssen dem Parameter Werte zugewiesen werden

$t.$

Um einen ersten Punkt zu berechnen, ersetzen wir daher die Unbekannte

$t$

zum Beispiel von

$t=0:$

$\displaystyle \begin{cases} x=1+5\cdot 0 = 1 \\[1.7ex] y=-4-3\cdot 0 = -4 \end{cases}$

$\bm{A(1,-4)}$

Und um einen zweiten Punkt auf der von uns angegebenen Linie zu finden

$t$

zum Beispiel der Wert von

$t=1:$

$\displaystyle \begin{cases} x=1+5\cdot 1 = 6 \\[1.7ex] y=-4-3\cdot 1 = -7 \end{cases}$

$\bm{B(6,-7)}$

Möglicherweise haben Sie unterschiedliche Punkte erhalten, da dies von den Werten abhängt, die Sie dem Parameter zuweisen

$t.$

Aber wenn Sie das gleiche Verfahren befolgt haben, ist alles in Ordnung.

Übung 3

Angesichts des folgenden Punktes:

$P(3,-1)$

Bestimmen Sie, ob dieser Punkt zur folgenden Linie gehört:

$\displaystyle \begin{cases} x=-3+2t \\[1.7ex] y=1+2t \end{cases}$

siehe Lösung

Um zu überprüfen, ob der Punkt zur Linie gehört, müssen Sie seine Koordinaten in die Gleichungen der Linie einsetzen und prüfen, ob wir in jeder Gleichung den gleichen Wert des Parameters finden

$t.$

In einem solchen Fall bedeutet dies, dass der Punkt Teil der Linie ist, andernfalls bedeutet dies, dass die Linie nicht durch diesen Punkt verläuft.

Daher setzen wir die Koordinaten des Punktes in die parametrischen Gleichungen der Linie ein:

$\displaystyle \begin{cases} 3=-3+2t \\[1.7ex] -1=1+2t \end{cases}$

Und wir lösen die beiden resultierenden Gleichungen:

X-Koordinaten

$3 = -3 +2t$

$3+3 = 2t$

$6=2t$

$\cfrac{6}{2}=t$

$3=t$

Y-Koordinaten

$-1 = 1 +2t$

$-1-1 = 2t$

$-2=2t$

$\cfrac{-2}{2}=t$

$-1=t$

Wir haben zwei Werte von erhalten

$t$

unterschiedlich, der Punkt liegt also nicht auf der Geraden.

Übung 4

Berechnen Sie die parametrischen Gleichungen der Linie, die durch die folgenden zwei Punkte verläuft:

$A(-1,4) \qquad B(-2,4)$

siehe Lösung

Um die Parametergleichungen einer Geraden zu berechnen, müssen wir ihren Richtungsvektor und einen ihrer Punkte kennen. In diesem Fall haben wir bereits einen Punkt auf der Linie, aber uns fehlt sein Richtungsvektor. Wir müssen daher zuerst den Richtungsvektor der Linie und dann die Parametergleichungen berechnen.

Um den Richtungsvektor der Linie zu ermitteln, berechnen Sie einfach den Vektor, der durch die beiden im Ausdruck angegebenen Punkte definiert wird:

$\vv{AB} = B - A = (-2,4) - (-1,4) = (-1,0)$

Und sobald wir den Richtungsvektor der Linie bereits kennen, wenden wir zum Ermitteln der Parametergleichungen einfach die Formel an:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=-1+t\cdot (-1) \\[1.7ex] y=4+t\cdot 0 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=-1-t\\[1.7ex] y=4 \end{cases}$

In diesem Fall haben wir Punkt A gewählt, um die parametrischen Gleichungen zu definieren, aber es ist auch gültig, sie mit dem anderen Punkt zu schreiben, den sie uns in der Aussage geben:

$\displaystyle \begin{cases} x=-2-t\\[1.7ex] y=4 \end{cases}$

Anwendungen parametrischer Gleichungen

Offensichtlich besteht der Hauptzweck parametrischer Gleichungen darin, Linien zu definieren, wie wir gesehen haben. Parametrische Gleichungen werden jedoch auch zur Beschreibung anderer Arten geometrischer Elemente verwendet.

Beispielsweise kann jeder Umfang durch parametrische Gleichungen ausgedrückt werden. Ja

$r$

ist der Radius des Kreises und

$C(x_0,y_0)$

sind die Koordinaten seines Mittelpunkts, die Parametrisierung eines Kreises ist:

$\displaystyle \begin{cases} x=x_0+r\cdot \text{cos}(t) \\[1.7ex] y=y_0+r\cdot\text{sen}(t) \end{cases}$

Ebenso kann auch eine Ellipse konfiguriert werden. Ja

$C(x_0,y_0)$

sind die Koordinaten des Mittelpunkts der Ellipse,

$a$

sein horizontaler Radius und

$b$

sein vertikaler Radius, die parametrischen Gleichungen einer Ellipse sind:

$\displaystyle \begin{cases} x=x_0+a\cdot \text{cos}(t) \\[1.7ex] y=y_0+b\cdot\text{sen}(t) \end{cases}$

Ebenso kann eine parametrische Darstellung anderer Kurven erfolgen, beispielsweise einer Parabel oder sogar einer Hyperbel. Obwohl wir sie in diesem Artikel nicht zeigen, weil sie viel komplizierter sind.

Schließlich kann ein Plan auch durch einen parametrischen Ausdruck definiert werden. Tatsächlich sind die parametrischen Gleichungen einer Ebene:

$\displaystyle \begin{cases} x=x_0+\lambda\cdot \text{u}_1 + \mu \cdot \text{v}_1 \\[1.7ex] y=y_0+\lambda\cdot \text{u}_2 + \mu \cdot \text{v}_2 \\[1.7ex] z=z_0+\lambda\cdot \text{u}_3 + \mu \cdot \text{v}_3 \end{cases}$