Auf dieser Seite erfahren Sie, wie Sie die Vektorgleichung der Geraden berechnen. Darüber hinaus können Sie sich zahlreiche Beispiele ansehen und anhand gelöster Übungen üben. Und Sie erfahren auch, wie sich die Punkte einer Geraden aus ihrer Vektorgleichung ergeben.
Wie lautet die Vektorgleichung der Geraden?
Denken Sie daran, dass die mathematische Definition einer Linie eine Menge aufeinanderfolgender Punkte ist, die in derselben Richtung ohne Kurven oder Winkel dargestellt werden.
Die Linienvektorgleichung ist also eine Möglichkeit, jede Linie mathematisch auszudrücken. Dazu benötigt man lediglich einen zur Geraden gehörenden Punkt und den Richtungsvektor der Geraden.
Wie wird die Vektorgleichung der Geraden berechnet?
Ja
ist der Richtungsvektor der Geraden und
ein Punkt, der nach rechts gehört:
Die Formel für die Vektorgleichung der Geraden lautet:
Gold:
-
Und
sind die kartesischen Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Linie.
-
Und
sind die Koordinaten eines bekannten Punktes, der Teil der Linie ist.
-
Und
sind die Komponenten des Richtungsvektors der Geraden.
-
ist ein Skalar (eine reelle Zahl), dessen Wert von jedem Punkt auf der Linie abhängt.
Es ist die Vektorgleichung der Geraden in der Ebene, also bei der Arbeit mit Punkten und Vektoren von 2 Koordinaten (im R2). Wenn wir jedoch Berechnungen im Raum (im R3) durchführen würden, müssten wir der Geradengleichung eine zusätzliche Komponente hinzufügen:
Bedenken Sie andererseits, dass es neben der Vektorgleichung auch andere Möglichkeiten gibt, eine Linie analytisch auszudrücken: parametrische Gleichungen, kontinuierliche Gleichung, implizite (oder allgemeine) Gleichung, die explizite Gleichung und die Punkt-Steigungsgleichung einer Linie . Unter diesem Link können Sie alle Arten von Gleichungen in der Zeile sehen.
Beispiel, wie man die Vektorgleichung der Geraden findet
Sehen wir uns anhand eines Beispiels an, wie die Vektorgleichung der Geraden ermittelt wird:
- Schreiben Sie die Vektorgleichung der Geraden, die durch den Punkt verläuft
und hat
als Leitvektor:
Um die Vektorgleichung der Geraden zu finden, wenden Sie einfach deren Formel an:
Punkte aus der Vektorgleichung der Geraden ermitteln
Sobald wir die Vektorgleichung der Geraden gefunden haben, ist es sehr einfach, die Punkte zu berechnen, durch die die Gerade verläuft. Um einen Punkt auf einer Linie zu bestimmen , geben Sie einfach einen Wert für den Parameter ein
der Vektorgleichung der Geraden.
Gegeben sei beispielsweise die folgende Vektorgleichung der Geraden:
Durch Ersetzen wird ein Punkt erzielt
zum Beispiel durch eine beliebige Zahl
![\begin{aligned}(x,y)& =(1,-1)+1\cdot (2,3)\\[2ex] & =(1,-1)+(2,3) \\[2ex] & = (1+2 \ , -1+3) \\[2ex] & = \bm{(3,2)} \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-81a04a05d8ea6730567685bff8148959_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Und wir können einen weiteren Punkt auf der Geraden berechnen, der das Unbekannte ergibt
eine andere Nummer, zum Beispiel
![\begin{aligned}(x,y)& =(1,-1)+2\cdot (2,3)\\[2ex] & =(1,-1)+(4,6) \\[2ex] & = (1+4 \ , -1+6) \\[2ex] & = \bm{(5,5)} \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-70cfec547c993eddfea11d50bef03bae_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Daher können wir aufgrund der Variablen unendlich viele Punkte auf der Geraden erhalten
kann unendliche Werte annehmen.
Probleme der Vektorgleichung der Geraden gelöst
Übung 1
Finden Sie die Vektorgleichung der Linie, die durch den Punkt verläuft
und dessen Richtungsvektor ist
Um die Vektorgleichung der Geraden zu berechnen, wenden Sie einfach deren Formel an:
Übung 2
Berechnen Sie drei Punkte, die auf der Geraden der vorherigen Aufgabe liegen.
Um Punkte aus einer mit der Vektorgleichung beschriebenen Geraden zu erhalten, müssen dem Parameter Werte zugewiesen werden
Die im vorherigen Problem berechnete Vektorgleichung lautet:
Um einen Punkt zu berechnen, ersetzen wir die Unbekannte
zum Beispiel von
![\begin{aligned}(x,y)& =(-1,3)+1\cdot (4,-2)\\[2ex] & =(-1,3)+ (4,-2) \\[2ex] & = (-1+4 \ , 3-2) \\[2ex] & = \bm{(3,1)} \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-36452411cca47b72db95b2876b03f69d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Um einen zweiten Punkt zu finden, geben wir an
zum Beispiel der Wert von
![\begin{aligned}(x,y)& =(-1,3)+2\cdot (4,-2)\\[2ex] & =(-1,3)+ (8,-4) \\[2ex] & = (-1+8 \ , 3-4) \\[2ex] & = \bm{(7,-1)} \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5a5fe3c08ab62695f62cf76df97aac2e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Und schließlich erhalten wir durch Zuweisen den dritten Punkt
der Wert von
![\begin{aligned}(x,y)& =(-1,3)+3\cdot (4,-2)\\[2ex] & =(-1,3)+ (12,-6) \\[2ex] & = (-1+12 \ , 3-6) \\[2ex] & = \bm{(11,-3)} \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9710aef8527fc6c53d21109ea01a1b6e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Möglicherweise haben Sie unterschiedliche Punkte erhalten, da dies von den Werten abhängt, die Sie dem Parameter zuweisen
Aber wenn Sie das gleiche Verfahren befolgt haben, ist alles in Ordnung.
Übung 3
Oder zwei Punkte:
Finden Sie die Vektorgleichung der Geraden, die durch diese beiden Punkte verläuft.
In diesem Fall haben wir den Richtungsvektor der Linie nicht, wir müssen zuerst ihren Richtungsvektor und dann die Gleichung der Linie finden.
Um den Richtungsvektor der Linie zu finden, müssen wir den durch die beiden gegebenen Punkte definierten Vektor berechnen:
Und wenn wir den Richtungsvektor der Geraden bereits kennen, können wir ihre Vektorgleichung aus einem der angegebenen Punkte und der Formel bestimmen:
Die Gleichung, die durch Einsetzen des anderen gegebenen Punktes in die Formel gefunden wird, ist ebenfalls gültig:
