Abstand zwischen zwei Ebenen (Formel)

Auf dieser Seite erfahren Sie, wie Sie den Abstand zwischen zwei Ebenen ermitteln. Sie werden insbesondere sehen, welche beiden Methoden es gibt und wann es besser ist, die eine oder andere zu verwenden. Darüber hinaus haben Sie Beispiele und gelöste Übungen zum Abstand zwischen zwei Ebenen, damit Sie es gut verstehen können.

Wie berechnet sich der Abstand zwischen zwei Ebenen?

Der Abstand zwischen zwei Ebenen im Raum hängt von der relativen Position zwischen diesen beiden Ebenen ab:

Wenn sich die beiden Ebenen schneiden oder zusammenfallen , ist der Abstand zwischen ihnen Null, da sie sich in einem Punkt schneiden.
Wenn die beiden Ebenen parallel sind, wird der Abstand zwischen den beiden Ebenen berechnet, indem man einen Punkt auf einer Ebene nimmt und den Abstand zwischen diesem Punkt und der anderen Ebene berechnet.

Denken Sie daran, dass senkrechte Ebenen eine Art Schnittebenen sind, sodass der Abstand zwischen zwei senkrechten Ebenen ebenfalls Null ist.

Um also den Abstand zwischen zwei Ebenen zu berechnen, müssen Sie zunächst die relative Position zwischen ihnen bestimmen. Daher ist es wichtig, dass Sie wissen , wie Sie die relative Position zweier Ebenen ermitteln . Wenn Sie nicht ganz sicher sind, wie es geht, empfehlen wir Ihnen, einen Blick auf den Link zu werfen. Dort finden Sie eine sehr ausführliche Erklärung sowie Beispiele und gelöste Übungen.

So berechnen Sie den Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen

Zwei parallele Ebenen haben immer den gleichen Abstand voneinander. Um den Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen zu ermitteln, können wir daher einen Punkt auf einer der beiden Ebenen nehmen und den Abstand von diesem Punkt zur anderen Ebene berechnen.

Die Formel zur Berechnung des Abstands zwischen zwei parallelen Ebenen lautet also:

Betrachten Sie zwei parallele Ebenen mit einem Punkt auf einer der Ebenen und der allgemeinen (oder impliziten) Gleichung der anderen Ebene:

$P(x_0,y_0,z_0) \qquad \qquad \pi: \ Ax+By+Cz+D=0$

Die Formel zum Ermitteln des Abstands zwischen zwei parallelen Ebenen, die durch den Punkt einer Ebene und die allgemeine Gleichung der anderen Ebene verlaufen, lautet:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert A\cdot x_0+B\cdot y_0+C\cdot z_0+D\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Dies ist eine Formel, mit der der Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen ermittelt werden kann. Manchmal können wir jedoch eine andere, noch einfachere Methode verwenden:

Die Koeffizienten A, B und C der impliziten (oder allgemeinen) Gleichungen zweier Pläne müssen proportional sein. Wenn wir in einem Problem zwei Ebenen finden, deren Koeffizienten A, B und C genau gleich sind, können wir eine andere Formel verwenden, ohne einen Punkt einer Ebene kennen zu müssen:

Betrachten Sie die allgemeinen (oder impliziten) Gleichungen zweier paralleler Ebenen mit identischen Koeffizienten A, B und C :

$\pi_1 : \ Ax+By+Cz+D_1=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ Ax+By+Cz+D_2=0$

Die Formel zum Ermitteln des Abstands zwischen den beiden parallelen Ebenen aus den allgemeinen Gleichungen der beiden Ebenen lautet:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert D_2-D_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Letztendlich gibt es zwei Möglichkeiten, den Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen zu ermitteln. Die erste ist nützlicher, wenn wir einen Punkt auf einer der beiden Ebenen kennen. Wenn wir jedoch die allgemeine Gleichung der beiden Ebenen kennen, ist es besser, den Abstand mit der zweiten Formel zu berechnen.

Beispiel für die Berechnung des Abstands zwischen zwei parallelen Ebenen

Als Beispiel berechnen wir den Abstand zwischen den folgenden zwei Ebenen:

$\pi_1 : \ 4x-2y-4z+7=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ 8x-4y-8z+2=0$

Wir müssen zunächst überprüfen, ob es sich um zwei parallele Ebenen handelt. Somit sind alle Koeffizienten der Ebenengleichungen mit Ausnahme der unabhängigen Terme proportional, sodass es sich effektiv um zwei parallele Ebenen handelt.

$\cfrac{4}{8}=\cfrac{-2}{-4}=\cfrac{-4}{-8}\neq \cfrac{7}{2} \quad \longrightarrow \quad \pi_1 \parallel \pi_2$

In diesem Fall stimmen die Terme A, B und C der Gleichungen der beiden Ebenen nicht überein, aber wir können dies erreichen, indem wir die gesamte Gleichung der zweiten Ebene durch zwei teilen:

$\pi_2 : \ \cfrac{8x-4y-8z+2}{2}=\cfrac{0}{2}$

$\pi_2 : \ 4x-2y-4z+1=0$

Die Gleichungen der beiden Ebenen haben nun also bereits die gleichen Koeffizienten A, B und C. Daher können wir den Abstand zwischen den beiden Ebenen einfach mit der folgenden Formel für den Abstand zwischen 2 parallelen Ebenen berechnen:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert D_2-D_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Wir ersetzen die Werte und lösen die Operationen:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert 1-7\rvert}{\sqrt{4^2+(-2)^2+(-4)^2}}= \cfrac{\lvert -6\rvert}{\sqrt{36}} = \cfrac{6}{6} = \bm{1}$

Damit ist der Abstand zwischen einer Ebene und der anderen Ebene gleich Eins.

Entfernungsprobleme zwischen zwei Ebenen lösen

Übung 1

Finden Sie den Abstand zwischen den folgenden zwei Ebenen:

$\pi_1 : \ 2x-y+5z-3=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ 2x-y+5z-7=0$

siehe Lösung

Wir müssen zunächst überprüfen, ob es sich um zwei parallele Ebenen handelt. Mit Ausnahme der unabhängigen Terme sind alle Koeffizienten der Gleichungen der beiden Ebenen proportional, es handelt sich also tatsächlich um zwei parallele Ebenen.

$\cfrac{2}{2}=\cfrac{-1}{-1}=\cfrac{5}{5} \neq \cfrac{-3}{-7} \quad \longrightarrow \quad \pi_1 \parallel \pi_2$

In diesem Fall berechnen wir den Abstand zwischen den beiden Ebenen mit der direkten Formel, da ihre Koeffizienten A, B und C gleich sind:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert D_2-D_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Also setzen wir die Werte in die Formel ein und führen die Operationen aus:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert -7-3\rvert}{\sqrt{2^2+(-1)^2+5^2}}= \cfrac{\lvert -10\rvert}{\sqrt{30}} = \cfrac{\bm{10}}{\bm{\sqrt{30}}}$

Übung 2

Berechnen Sie den Abstand zwischen den folgenden zwei Ebenen:

$\pi_1 : \ 3x-2y+6z+4=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ 6x-4y+3z+1=0$

siehe Lösung

Zunächst müssen wir überprüfen, ob es sich um zwei parallele Ebenen handelt, um den Abstand zu bestimmen, der sie trennt. Dazu prüfen wir die Proportionalität zwischen den Koeffizienten der beiden Pläne:

$\cfrac{3}{6}=\cfrac{-2}{-4}\neq\cfrac{6}{3} \neq \cfrac{4}{1} \quad \longrightarrow \quad \pi_1 \ \cancel{\parallel} \ \pi_2$

Aber die Koeffizienten A, B und C der beiden Ebenen sind nicht proportional, sondern nur die Parameter A und B. Daher sind die beiden Ebenen nicht parallel, sondern schneiden sich, und daher ist der Abstand zwischen ihnen gleich 0:

$\bm{d(\pi_1,\pi_2)=0}$

Übung 3

Ermitteln Sie den Abstand zwischen den folgenden zwei parallelen Ebenen:

$\pi_1 : \ \begin{cases} x=3+4\lambda-2 \mu \\[1.7ex]y=-2+\lambda+6 \mu \\[1.7ex]z=5-\lambda+3 \mu \end{cases}\qquad \qquad \pi_2 : \ 3x+2y-2z-9=0$

siehe Lösung

Die Vordergrundebene wird in Form parametrischer Gleichungen definiert. Um die direkte Formel für den Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen anzuwenden, müssen wir sie zunächst in die Form einer allgemeinen Gleichung umwandeln, was viele Berechnungen und Zeit erfordert. Deshalb geht es schneller, wenn wir einen Punkt auf dieser Ebene nehmen und den Abstand von diesem Punkt zur anderen Ebene berechnen.

Somit entsprechen die Koordinaten eines Punktes, der zur Ebene π ₁ gehört, den unabhängigen Termen jeder parametrischen Gleichung:

$P(3,-2,5)$