▷ Fakultät einer Zahl: Was es ist und wie man es berechnet ✅

Auf dieser Seite wird erklärt, was die Fakultät einer Zahl ist und wie sie berechnet wird. Darüber hinaus werden mehrere Beispiele und eine Tabelle mit den Werten der am häufigsten verwendeten Fakultäten vorgestellt. Außerdem erfahren Sie, wie Sie mit dem Taschenrechner die Fakultät einer Zahl berechnen. Und schließlich werden die Anwendungen und Eigenschaften von Fakultäten veranschaulicht.

Was ist die Fakultät einer Zahl?

In der Mathematik ist die Fakultät einer Zahl gleich dem Produkt aller positiven ganzen Zahlen von 1 bis zu dieser Zahl. Zusätzlich wird die Fakultät einer Zahl durch ein Ausrufezeichen (!) nach der Zahl dargestellt.

Um beispielsweise die Fakultät der Zahl n , auch Fakultät n genannt, zu bestimmen, müssen Sie die Zahl n mit allen ganzen Zahlen davor multiplizieren (beginnend mit eins):

$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-2) \cdot (n-1) \cdot n$

So berechnen Sie die Fakultät einer Zahl

Nachdem wir die Bedeutung der Fakultät einer Zahl kennengelernt haben, sehen wir uns anhand eines Beispiels an, wie man eine beliebige Fakultät bestimmt:

Berechnen Sie die Fakultät von 4:

Wie wir in der mathematischen Definition gesehen haben, entspricht die Fakultät einer Zahl der Multiplikation aller positiven ganzen Zahlen, die kleiner oder gleich dieser Zahl sind. Um die Fakultät von 4 zu berechnen, müssen wir daher die Zahlen 1, 2, 3 und 4 multiplizieren:

$4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 =24$

Die Fakultät von 4 ergibt also 24.

Beispiele für Fakultäten von Zahlen

Um das Verständnis des Begriffs der Fakultät einer Zahl zu vervollständigen, hinterlassen wir Ihnen ein Beispiel für die Berechnung mehrerer Fakultäten unterschiedlicher Zahlen:

Fakultät von 3:

$3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 =6$

Fakultät von 5:

$5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5=120$

Fakultät von 6:

$6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6=720$

Fakultät von 1:

$1! = 1$

Logischerweise ist die Fakultät der Zahl 1 gleich 1, da es ausreicht, 1 zu multiplizieren.

Fakultät von 0:

$0! = 1$

Ja, okay, überraschenderweise ist die Fakultät von 0 nicht gleich Null, sondern gleich 1. Das kommt Ihnen vielleicht etwas seltsam vor, denn theoretisch muss man 0 mit 1 multiplizieren. Konventionell wird jedoch angenommen, dass 0! =1, da die Produkteigenschaft leer ist . Wir hinterlassen Ihnen diesen Link, falls Sie mehr wissen möchten. Obwohl es nicht wirklich wichtig ist, dass Sie den Grund kennen, ist es wichtig, dass Sie sich daran erinnern, dass die Fakultät von 0 gleich 1 ist .

Ergebnisliste für Fakultäten von Zahlen

Nachfolgend haben wir die Fakultäten der am häufigsten verwendeten Zahlen in einer Tabelle zusammengefasst, damit Sie sie nicht von Hand berechnen müssen.

Die Nummer	Fakultät der Zahl
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5.040
8	40.320
9	362.880
zehn	3.628.800
elf	39.916.800
12	479.001.600
13	6.227.020.800
14	87 178 291 200
fünfzehn	1.307.674.368.000
16	20.922.789.888.000
17	355.687.428.096.000
18	6.402.373.705.728.000
19	121.645.100.408.832.000
zwanzig	2.432.902.008 176.640.000
fünfzig	3.041.409.320 · ^10,64
100	9.332 621.544 · ^10.157
1.000	4.023.872.601 · ^10,2567
10.000	2.846.259.681 · ^10.35.659
100.000	2 824 229 408 · 10 ^{45 6573}
1.000.000	8.263.931.688 · 10 ^5.565.708

Fakultät einer Zahl mit dem Taschenrechner

Wie Sie in den vorherigen Beispielen sehen können, steigen die Ergebnisse von Fakultäten zweier aufeinanderfolgender Zahlen exponentiell an, weshalb es ziemlich schwierig ist, die Fakultät großer Zahlen zu kennen. Deshalb zeigen wir Ihnen, wie Sie mit dem Taschenrechner die Fakultät einer Zahl ermitteln.

Wissenschaftliche Taschenrechner haben einen Schlüssel mit dem Symbol x! oder n! die zur Berechnung der Fakultät einer ganzen Zahl verwendet wird. Um also zu bestimmen, wie viel eine Fakultät wert ist, müssen Sie die folgende Sequenz auf dem Taschenrechner ausführen:

$n! \quad \color{red} \bm{\longrightarrow} \quad \color{black} n\rightarrow \boxed{x!} \rightarrow \boxed{=}$

Normalerweise haben CASIO-Rechner den Fakultätsschlüssel x! oder n! über der Schaltfläche x ^-1 .

Als Beispiel lösen wir eine Fakultät mit dem Taschenrechner, damit Sie überprüfen können, ob Sie wissen, wie es geht. Zum Beispiel machen wir die Fakultät von 9:

$9! \quad \color{red} \bm{\longrightarrow} \quad \color{black} 9\rightarrow \boxed{x!} \rightarrow \boxed{=} \rightarrow 362880$

Um die Fakultät von 9 zu finden, müssen Sie zuerst die Zahl 9 eingeben und dann die Taste drücken

$\boxed{x!}$

und schließlich drücken Sie die Gleichheitstaste. In diesem Fall sollte uns der Rechner das Ergebnis von 362.880 anzeigen.

Anwendungen der Fakultätszahl

Die Fakultätsfunktion einer Zahl mag wie eine sehr einfache und absurde Operation erscheinen, wird aber in der fortgeschrittenen Algebra häufig verwendet. Wir werden dann die Hauptverwendungen der Fakultät sehen.

Zunächst einmal ist die Fakultät eine wesentliche Operation zur Berechnung einer kombinatorischen Zahl , eine mehr als spezielle Operation. Wenn Sie nicht wissen, was die kombinatorische Zahl ist, können Sie unter diesem Link sehen, woraus sie besteht und wie sie berechnet wird. Dort finden Sie Beispiele, gelöste Aufgaben und ihre Eigenschaften. Darüber hinaus können Sie sehen, wofür es verwendet wird, da es viele praktische Anwendungen bietet.

Die Fakultät wird in der Mathematik auch verwendet, um das Taylor-Polynom einer Funktion zu bestimmen.

Ebenso wird die Fakultät zur Lösung bestimmter kombinatorischer Probleme verwendet, insbesondere zur Berechnung von Kombinationen und Permutationen. In diesem Sinne werden Fakultäten häufig auch zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Kombinatorik verwendet.

Eine Permutation von n Elementen entspricht jeder der verschiedenen Anordnungen, die mit diesen Elementen getroffen werden können. Um eine Permutation zu berechnen, wird also die Fakultät verwendet. Wenn Sie beispielsweise in einem Problem die Anzahl der Möglichkeiten ermitteln möchten, in denen 7 Objekte angeordnet werden können, müssen Sie die Fakultät von 7 berechnen.

Schauen wir uns nun eine gelöste Übung an:

Wir haben 5 verschiedene Paar Schuhe. Auf wie viele Arten können wir sie anordnen?

In dieser Übung müssen wir alle Möglichkeiten finden, diese 5 Paar Schuhe zu kombinieren und dabei die Reihenfolge zu berücksichtigen, in der wir sie anordnen. Um das Problem zu lösen, müssen Sie also nur die Fakultät von 5 berechnen:

$5! = 1\cdot 2 \cdot 3\cdot 4\cdot 5 =120$

Kurz gesagt: Die 5 Paar Schuhe können auf 120 verschiedene Arten platziert werden.

Eigenschaften der Fakultätszahl

Die Fakultätszahl weist folgende Merkmale auf:

Da es sich um zwei positive ganze Zahlen n und m handelt, sodass n größer als m ist, ist der Wert der Fakultät von n offensichtlich größer als der Wert der Fakultät von m .

$n>m \quad \longrightarrow \quad n! > m!“ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“15″ width=“183″ style=“vertical-align: -2px;“> <ul style=$

Die Fakultät einer Zahl kann faktoriell zerlegt werden, sodass einer der Faktoren die Fakultät einer kleineren Zahl ist.

$n>m \quad \longrightarrow \quad n!= n\cdot (n-1) \cdots (m+1)\cdot m!“ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“19″ width=“361″ style=“vertical-align: -5px;“> Beispielsweise ist 6 größer als 4, sodass der Ausdruck für die Fakultät von 6 wie folgt vereinfacht werden kann: <p class=$ $6! = 6 \cdot 5 \cdot 4!$

Der folgende algebraische Ausdruck gilt für die Fakultät einer beliebigen Zahl außer der Fakultät von 1:

$\displaystyle n!< \left( \frac{n+1}{2} \right)^n$

Fakultät einer negativen oder dezimalen Zahl

Wir haben gerade gesehen, wie man den Wert der Fakultät einer positiven ganzen Zahl ermittelt, aber … können wir die Fakultät einer negativen Zahl oder einer Dezimalzahl berechnen? Die Antwort lautet „Ja“, es sind jedoch fortgeschrittene Mathematikkenntnisse erforderlich.

Die Fakultät einer negativen Zahl und einer Dezimalzahl wird mithilfe einer speziellen Funktion namens Eulers „Gamma-Funktion“ berechnet, die durch das folgende Integral definiert ist:

$\displaystyle \Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\, \mathrm{d}t$

Somit kann jede Art von Fakultät mit der Gamma-Funktion gelöst werden, da die folgende Gleichung immer wahr ist:

$n! = \Gamma(n+1)$

Um beispielsweise die Fakultät von 0,5 zu finden, müssen wir den Wert von ermitteln

$\Gamma(1,5)$

Weil:

$0,5! = \Gamma(0,5+1) =\Gamma(1,5)$

Und die Lösung des Integrals entspricht der Fakultät von 0,5.

Offensichtlich ist die Lösung des Integrals der Gamma-Funktion nicht einfach und wir werden sie in diesem Artikel nicht behandeln, da viele mathematische Konzepte vorher erklärt werden müssten. Wir möchten Sie jedoch darüber informieren, dass es die Möglichkeit gibt, die Fakultät einer negativen Zahl oder einer Dezimalzahl zu berechnen.

Tatsächlich haben wir als Beispiel einige negative Fakultäts- und Dezimalwerte berechnet:

$\underline{\bm{n}}$	$\underline{\bm{n!}}$
$\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)!$	$\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{\pi}$
$\displaystyle \left(-\frac{1}{2}\right)!$	$\displaystyle \sqrt{\pi}$
$\displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)!$	$\displaystyle \frac{3}{4}\sqrt{\pi}$
$\displaystyle \left(\frac{5}{2}\right)!$	$\displaystyle \frac{15}{8}\sqrt{\pi}$