Auf dieser Seite wird die Bedeutung der Extrapolation einer Funktion erläutert. Außerdem finden Sie ein Beispiel für die Durchführung einer linearen Extrapolation und schließlich die Unterschiede zwischen Interpolation und Extrapolation.
Was ist Extrapolation?
Die Definition der Extrapolation lautet wie folgt:
In der Mathematik ist Extrapolation ein Verfahren zur Näherung des Werts, den eine Funktion an einem Punkt außerhalb eines beobachteten Intervalls annimmt.
Daher gehen wir bei der Extrapolation immer davon aus, dass die Funktion auf eine bestimmte Weise verläuft, da uns keine Daten außerhalb der Intervallgrenzen vorliegen. Daher kann nie vollständig garantiert werden, dass die Funktion diesen ungefähren Wert annimmt.
Was ist der Unterschied zwischen Interpolation und Extrapolation?
Interpolieren und Extrapolieren haben eine sehr ähnliche Bedeutung, da es bei beiden darum geht, den Wert einer Funktion an einem Punkt anhand zweier bekannter Punkte zu schätzen.
Die Extrapolation läuft jedoch darauf hinaus, den Wert der Funktion an einem Punkt zu schätzen, der außerhalb des von diesen beiden bekannten Punkten gebildeten Intervalls liegt. Stattdessen beinhaltet die Interpolation die Annäherung an einen Punkt innerhalb des Bereichs, der durch diese beiden bekannten Punkte gebildet wird.
Wie Sie in der Grafik oben sehen können, sind die bekannten Punkte (2,3) und (6,5). In diesem Fall möchten wir eine Interpolation bei x=4 durchführen, da es zwischen den bekannten Punkten liegt, andererseits möchten wir eine Extrapolation bei x=8 durchführen, da es außerhalb des bekannten Intervalls liegt.
Offensichtlich ist ein interpolierter Wert viel zuverlässiger als ein extrapolierter Wert, da wir bei der Extrapolation davon ausgehen, dass die Funktion einem ähnlichen Pfad folgt. Es ist jedoch möglich, dass sich die Steigung der Funktion außerhalb der Grenzen des bekannten Intervalls ändert und die Schätzung fehlerhaft ist. Aus diesem Grund ist die Vorhersage des Wertes umso zuverlässiger, je näher der extrapolierte Punkt am bekannten Intervall liegt.
lineare Extrapolation
Linear extrapolieren bedeutet, die Funktion einer linearen oder affinen Funktion, also einer Polynomfunktion vom Grad 1, anzunähern.
Die einfachste Möglichkeit zur linearen Extrapolation ist die Newtonsche Polynominterpolation. In diesem Fall wird ein Polynom ersten Grades verwendet, um zu versuchen, den Wert der Funktion an einem Punkt vorherzusagen.
Angesichts zweier bekannter Punkte:
Und
, die Formel zur Durchführung der linearen Extrapolation lautet:
Gold
Und
sind die Koordinaten des extrapolierten Punktes.
Wir können überprüfen, dass diese Formel der Punkt-Steigungsgleichung der Geraden entspricht.
Beispiel einer linearen Extrapolation
Dann werden wir uns ein Problem als Beispiel ansehen, um das Konzept der linearen Extrapolation vollständig zu verstehen:
- Der Preis pro Person einer Busfahrt hängt linear von den zurückgelegten Kilometern ab. 70 km kosten 15 € und 120 km 20 €. Berechnen Sie die Kosten für eine 150 km lange Fahrt.
Zunächst müssen wir die lineare Funktion definieren, die die zurückgelegten Kilometer mit dem Reisepreis in Beziehung setzt. In diesem Fall ist X die zurückgelegten Kilometer und Y der Preis. Denn der Preis variiert je nach zurückgelegten Kilometern, das heißt, der Preis hängt von den zurückgelegten Kilometern ab und nicht umgekehrt.
Aus der Aussage wissen wir, dass die Funktion die Punkte (70.15) und (120.20) durchläuft. Es reicht also aus, die Formel zur Extrapolation auf den Punkt anzuwenden
Wir setzen die Werte der Punkte in die Gleichung ein:
Und wir machen die Berechnungen:
Eine 150-km-Fahrt kostet also 23 €.
Auf diese Weise haben wir die Übung bereits gelöst, sie ist, wie Sie gesehen haben, nicht sehr kompliziert. Vergessen Sie nicht, dass Sie Ihre Fragen in den Kommentaren hinterlassen können!