▷ Was sind die Eigenschaften (oder Gesetze) von Grenzwerten?

Hier finden Sie alle Eigenschaften (bzw. Gesetze) von Funktionsgrenzen. Diese Eigenschaften dienen der Vereinfachung von Grenzwertberechnungen, insbesondere bei Grenzwerten mit Funktionsoperationen.

Was sind die Eigenschaften (oder Gesetze) von Funktionsgrenzen?

Als nächstes erklären wir alle Eigenschaften von Funktionsgrenzen, oder auch Funktionsgrenzengesetze genannt. Darüber hinaus können Sie gelöste Übungen für jede Grenzwerteigenschaft sehen, damit Sie das Konzept vollständig verstehen können.

Eigenschaft der Grenze einer Summe

Der Grenzwert der Summe zweier Funktionen an einem Punkt ist gleich der Summe der Grenzwerte jeder Funktion an demselben Punkt einzeln.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \Bigl[ f(x)+g(x)\Bigr]=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x)$

Angenommen, es gibt zwei Funktionen:

$f(x)=x^2\qquad g(x)=2x+1$

Der Grenzwert jeder Funktion bei x gleich 1 ist:

$\displaystyle \lim_{x\to 1}x^2=1^2=1$

$\displaystyle \lim_{x\to 1}(2x+1)=2\cdot1+1=3$

Daher ergibt der Grenzwert der beiden am selben Punkt addierten Funktionen 4 (1+3=4).

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 1} \Bigl[ f(x)+g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 1}f(x)+\lim_{x\to 1}g(x)=\\[3ex]=1+3=4\end{array}$

Die Eigenschaft kann durch die schrittweise Berechnung des Grenzwerts nachgewiesen werden:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 1} \Bigl[ f(x)+g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 1}\Bigl[x^2+2x+1\Bigr]=\\[3ex]=1^2+2\cdot 1+1=4\end{array}$

Eigenschaft des Grenzwertes einer Subtraktion

Der Grenzwert der Subtraktion (oder Differenz) zweier Funktionen an einem Punkt entspricht der Subtraktion des Grenzwerts jeder Funktion an demselben Punkt einzeln.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \Bigl[ f(x)-g(x)\Bigr]=\lim_{x\to a}f(x)-\lim_{x\to a}g(x)$

Verwendung der Funktionen aus dem vorherigen Beispiel:

$f(x)=x^2\qquad g(x)=2x+1$

Der Grenzwert jeder Funktion am Punkt x=3 ist:

$\displaystyle \lim_{x\to 3}x^2=3^2=9$

$\displaystyle \lim_{x\to 3}(2x+1)=2\cdot3+1=7$

Dann ist der Grenzwert der beiden bei x=3 subtrahierten Funktionen die Differenz der im vorherigen Schritt erhaltenen Werte:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 3} \Bigl[ f(x)-g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 3}f(x)-\lim_{x\to 3}g(x)=\\[3ex]=9-7=2\end{array}$

Wir können diese Eigenschaft von Grenzwerten beweisen, indem wir die Subtraktion von Funktionen berechnen und dann nach dem Grenzwert auflösen:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 3} \Bigl[ f(x)-g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 3}\Bigl[x^2-(2x+1)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 3}\Bigl[x^2-2x-1\Bigr]\\[3ex]=3^2-2\cdot 3-1=2\end{array}$

Beschränken Sie die Eigenschaft eines Produkts

Der Grenzwert des Produkts zweier Funktionen an einem Punkt ist das Produkt des Grenzwerts jeder Funktion an diesem Punkt.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \Bigl[ f(x)\cdot g(x)\Bigr]=\lim_{x\to a}f(x)\cdot \lim_{x\to a}g(x)$

Wenn wir zum Beispiel die folgenden zwei unterschiedlichen Funktionen haben:

$f(x)=x^3\qquad g(x)=x^2-5$

Der Grenzwert jeder Funktion bei x=2 ist:

$\displaystyle \lim_{x\to 2}x^3=2^3=8$

$\displaystyle \lim_{x\to 2}(x^2-5)=2^2-5=-1$

Um den Grenzwert des Produkts der beiden Funktionen zu bestimmen, ist es daher nicht erforderlich, sie miteinander zu multiplizieren, sondern es reicht aus, das aus jedem Grenzwert erhaltene Ergebnis zu multiplizieren:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 2} \Bigl[ f(x)\cdot g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 2}f(x)\cdot \lim_{x\to 2}g(x)=\\[3ex]=8\cdot (-1)=-8\end{array}$

Dies erspart uns Zeit und Berechnungen, da die Multiplikation zweier Funktionen schwierig sein kann.

Eigenschaft des Grenzwertes eines Quotienten

Der Grenzwert des Quotienten (oder der Division) zweier Funktionen ist gleich dem Quotienten der Grenzwerte der Funktionen.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}$

Diese Bedingung ist erfüllt, solange der Grenzwert der Nennerfunktion nicht Null ist.

$\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)\neq 0$

Wir werden ein Beispiel für diese Eigenschaft (oder dieses Gesetz) von Grenzen lösen. Betrachten Sie die Funktionen f(x) und g(x):

$f(x)=5x-1\qquad g(x)=3^x$

Wir berechnen zunächst den Grenzwert jeder Funktion bei x=0:

$\displaystyle \lim_{x\to 0}(5x-1)=5\cdot 0-1=-1$

$\displaystyle \lim_{x\to 0}3^x=3^0=1$

Somit kann der Grenzwert der Division der beiden Funktionen bei x=0 leicht gefunden werden:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 0} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to 0}g(x)}=\displaystyle\frac{-1}{1}=-1\end{array}$

In diesem Fall können wir diese Eigenschaft anwenden, um den Grenzwert zu lösen, da der Grenzwert von g(x) ungleich Null ist.

Eigenschaft des Grenzwertes einer Konstanten

Der Grenzwert einer konstanten Funktion ergibt immer die Konstante selbst, unabhängig von der Stelle, an der der Grenzwert berechnet wird.

$\displaystyle \lim_{x\to a} k=k$

Diese Eigenschaft lässt sich sehr einfach überprüfen, wenn wir beispielsweise die folgende konstante Funktion haben:

$f(x)=5$

Logischerweise beträgt der Grenzwert der konstanten Funktion an jedem Punkt 5:

$\displaystyle \lim_{x\to 0}5=5\qquad\qquad\lim_{x\to 3}5=5$

$\displaystyle \lim_{x\to -2}5=5\qquad\qquad\lim_{x\to 7}5=5$

Eigenschaft des Grenzwerts eines konstanten Vielfachen

Aus den Eigenschaften des Grenzwertes eines Produkts und des Grenzwertes einer Konstanten können wir die folgende Eigenschaft ableiten:

Der Grenzwert einer Funktion multipliziert mit einer Konstante ist gleich dem Produkt aus dieser Konstante und dem Grenzwert der Funktion.

$\displaystyle \lim_{x\to a}\Bigl[ k\cdot f(x)\Bigr]=k\cdot\lim_{x\to a}f(x)$

Beachten Sie, wie wir die Berechnung des folgenden Grenzwerts mithilfe dieser Eigenschaft vereinfachen:

$\begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x\to 4} (2x^2-12x+10)=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 4}\Bigl[2\cdot(x^2-6x+5)\Bigr]=\\[3ex]=\displaystyle 2\cdot\lim_{x\to 4}(x^2-6x+5)=\\[3ex]=2\cdot (4^2-6\cdot4+5)=\\[3ex]=2\cdot (-3)=-6\end{array}$

Eigenschaft der Grenze einer Potenz

Der Grenzwert einer Funktion, der auf einen Exponenten erhöht wird, entspricht der Berechnung des Grenzwerts der Funktion und der anschließenden Erhöhung des Ergebnisses des Grenzwerts auf diesen Exponenten.

$\displaystyle \lim_{x\to a}\Bigl[f(x)^k\Bigr]=\left[\lim_{x\to a}f(x)\right]^k$

Der Grenzwert einer linearen Funktion ist beispielsweise:

$\displaystyle\lim_{x\to 6}x=6$

Nun, der Grenzwert der quadratischen Funktion kann berechnet werden, indem man den Grenzwert der linearen Funktion ermittelt und dann das Ergebnis quadriert:

$\displaystyle\lim_{x\to 6}\Bigl[x^2\Bigr]=\left[\lim_{x\to 6}x\right]^2=\bigl[6\bigr]^2=36$

Eigenschaft des Grenzwerts einer Exponentialfunktion

Der Grenzwert einer Exponentialfunktion ist gleich der Konstante der Funktion, erhöht auf den Grenzwert des algebraischen Ausdrucks der Funktion.

$\displaystyle\lim_{x\to a}\Bigl[k^{g(x)}\Bigr]=k^{^{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}}$

Anschließend berechnen wir den Grenzwert einer Exponentialfunktion auf zwei mögliche Arten, um diese Eigenschaft zu überprüfen:

$\displaystyle\lim_{x\to 1}5^{2x}=5^{2\cdot 1}=25$

$\displaystyle\lim_{x\to 1}5^{2x}=5^{^{\displaystyle\lim_{x\to 1}2x}}=5^{2\cdot 1}=25$

Eigenschaft der Grenze einer Potenz von Funktionen

Der Grenzwert einer zu einer anderen Funktion erhobenen Funktion ist der Grenzwert der ersten Funktion, erhöht zum Grenzwert der zweiten Funktion.

$\displaystyle \lim_{x\to a}\Bigl[f(x)^{g(x)}\Bigr]=\left[\lim_{x\to a}f(x)\right]^{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}$

Als Beispiel ermitteln wir durch Anwendung dieses Gesetzes den folgenden Grenzwert:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 2}\Bigl[(x^2-4x)^{4x-5}\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\left[\lim_{x\to 2}(x^2-4x)\right]^{\displaystyle\lim_{x\to 2}(4x-5)}=\\[3ex]=\displaystyle (2^2-4\cdot 2)^{4\cdot 2-5}=\\[3ex]=(-4)^3=-64\end{array}$

Eigenschaft des Grenzwertes einer irrationalen Funktion

Der Grenzwert einer Wurzel (oder Wurzel) ist gleich der Wurzel des Grenzwerts.

$\displaystyle\lim_{x\to a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x\to a}f(x)}$

Um diese Eigenschaft zu verwenden, müssen Sie bedenken, dass bei einem geraden Stammindex der Grenzwert der Funktion größer oder gleich 0 sein muss:

$\text{si } n \text{ es par} \ \longrightarrow \ \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\ge 0$

Beachten Sie, wie der folgende Grenzwert durch Anwendung dieser Formel berechnet wurde:

$\displaystyle\lim_{x\to 4}\sqrt[3]{\frac{x^2}{2}}=\sqrt[3]{\lim_{x\to 4}\frac{x^2}{2}}=\sqrt[3]{\frac{4^2}{2}}=\sqrt[3]{8}=2$

Eigenschaft des Grenzwerts einer logarithmischen Funktion

Der Grenzwert eines Logarithmus entspricht demselben Basislogarithmus des Grenzwerts.

$\displaystyle\lim_{x\to a}\Bigl[\log_k f(x)\Bigr]=\log_k \left[\lim_{x\to a}f(x)\right]$

Schauen Sie sich die Auflösung des folgenden Grenzwerts an, in dem wir diese Eigenschaft anwenden:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to -4}\Bigl[\log_3 (x^2-2x+3)\Bigr]=\\[3ex]=\displaystyle\log_3 \left[\lim_{x\to -4}(x^2-2x+3)\right]=\\[4ex]=\displaystyle\log_3\bigl[(-4)^2-2\cdot (-4)+3\bigr]=\\[3ex]=\displaystyle\log_3 27=3\end{array}$

Eigenschaften (oder gesetze) von grenzen