Diskussion von Gleichungssystemen mit Parametern -

Auf dieser Seite erfahren Sie, wie Sie ein Gleichungssystem mit Parametern diskutieren und lösen. Darüber hinaus finden Sie Beispiele und gelöste Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen zum Üben.

Andererseits ist es für die Analyse linearer Gleichungssysteme wichtig, dass Sie die Cramer-Regel und den Rouché-Frobenius-Satz kennen, da wir sie ständig verwenden werden.

Beispiel eines linearen Gleichungssystems mit Parametern

Diskutieren und lösen Sie das folgende Gleichungssystem anhand des Parameters m :

$\begin{cases} x+y+2z= 2 \\[1.5ex] -x+my+2z=0 \\[1.5ex] 3x+mz = 4\end{cases}$

Wir erstellen zunächst die Matrix A und die erweiterte Matrix A‘ des Systems:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & m & 2 \\[1.1ex] 3 & 0 & m \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & m & 2 & 0 \\[1.1ex] 3 & 0 & m & 4 \end{array} \right)$

Jetzt lösen wir die Determinante von A mithilfe der Sarrus-Regel, um zu sehen, welchen Rang die Matrix hat:

$\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & m & 2 \\[1.1ex] 3 & 0 & m \end{vmatrix} & =m^2+6+0-6m-0+m \\ & = m^2-5m+6 \end{aligned}$

Das Ergebnis der Determinante von A hängt also vom Wert von m ab. Wir werden also sehen, für welche Werte von m die Determinante verschwindet. Dazu setzen wir das Ergebnis gleich 0 :

$\displaystyle m^2-5m+6 = 0$

Und wir lösen die quadratische Gleichung mit der Formel:

$\displaystyle m = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$\displaystyle m = \cfrac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \cfrac{5 \pm \sqrt{25-24}}{2} =\cfrac{5 \pm 1}{2} = \begin{cases} \bm{m = 3} \\[2ex] \bm{m =2} \end{cases}$

Wenn also m gleich 2 oder 3 ist, ist die Determinante von A 0. Und wenn m von 2 und 3 verschieden ist, ist die Determinante von A von 0 verschieden.

Wir müssen daher jeden Fall einzeln analysieren:

m≠3 und m≠2:

Wie wir gerade gesehen haben, unterscheidet sich die Determinante der Matrix A von 0, wenn der Parameter m von 2 und 3 verschieden ist. Daher ist der Rang von A 3 .

$\displaystyle rg(A)=3$

Darüber hinaus ist der Rang der Matrix A‘ ebenfalls 3 , da sich in ihr eine 3×3-Untermatrix befindet, deren Determinante von 0 verschieden ist. Und sie kann keinen Rang 4 haben, da „wir keine 4×4-Determinante erstellen können.“

$\displaystyle rg(A')=3$

Da dann der Rang der Matrix A gleich dem Rang der Matrix A‘ und der Anzahl der Unbekannten des Systems (3) ist, wissen wir durch den Satz von Rouché-Frobenius , dass es sich um ein Determined System Compatible (SCD) handelt. :

$\displaystyle \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 3 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=3 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = n = 3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SCD}\phantom{^9_9}} \end{array}$

Sobald wir wissen, dass es sich bei dem System um ein kompatibles determiniertes System (DCS) handelt, wenden wir die Cramer-Regel an, um es zu lösen. Denken Sie dazu daran, dass die Matrix A, ihre Determinante und die Matrix A‘ sind:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & m & 2 \\[1.1ex] 3 & 0 & m \end{vmatrix} = m^2-5m+6$

Um x mit der Cramer-Regel zu berechnen, ändern wir die erste Spalte der Determinante der Matrix A in die Spalte der unabhängigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:

$\displaystyle\bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 2 & 1 & 2\\[1.1ex]0&m&2 \\[1.1ex] 4 & 0 & m \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{2m^2+8-8m}{m^2-5m+6}$

Um y mit der Cramer-Regel zu berechnen, ändern wir die zweite Spalte der Determinante von A in die Spalte der unabhängigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:

$\displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix}1 & 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & 0 & 2 \\[1.1ex] 3 & 4 & m \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}=\cfrac{-4+2m}{m^2-5m+6}$

Um z mit der Cramer-Regel zu berechnen, ändern wir die dritte Spalte der Determinante von A in die Spalte der unabhängigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:

$\displaystyle \bm{z} = \cfrac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & m & 0 \\[1.1ex] 3 & 0 & 4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{-2m+4}{m^2-5m+6}$

Daher lautet die Lösung des Gleichungssystems für den Fall m≠3 und m≠2:

$\displaystyle \bm{x =} \cfrac{\bm{2m^2+8-8m}}{\bm{m^2-5m+6}} \qquad \bm{y=} \cfrac{\bm{-4+2m}}{\bm{m^2-5m+6}} \qquad \bm{z =} \cfrac{\bm{-2m+4}}{\bm{m^2-5m+6}}$

Wie Sie sehen, ist in diesem Fall die Lösung des Gleichungssystems eine Funktion von m.

Sobald wir die Lösung für den Fall gefunden haben, dass m von 2 und 3 verschieden ist, lösen wir das System für den Fall, dass m gleich 2 ist:

m=2:

Wir analysieren nun das System, wenn der Parameter m gleich 2 ist. In diesem Fall sind die Matrizen A und A‘:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 2 \\[1.1ex] 3 & 0 & 2 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 2 & 0 \\[1.1ex] 3 & 0 & 2 & 4 \end{array} \right)$

Wie wir zuvor gesehen haben, ist die Determinante von A bei m=2 0. Daher hat die Matrix A nicht den Rang 3. Sie enthält jedoch 2×2 Determinanten, die sich von 0 unterscheiden, zum Beispiel:

$\displaystyle \begin{vmatrix}1 & 1 \\[1.1ex] -1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - (-1)=3 \neq 0$

In diesem Fall ist der Rang von A also 2 :

$\displaystyle rg(A)=2$

Sobald wir den Rang der Matrix A kennen, berechnen wir den Rang von A‘. Die Determinante der ersten 3 Spalten ergibt 0, also probieren wir die anderen möglichen 3×3 Determinanten in der Matrix A‘ aus:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 0 \qquad \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 0 \\[1.1ex] 3 & 2 & 4 \end{vmatrix}=0\qquad \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 0 \\[1.1ex] 3 & 0 & 4\end{vmatrix}=0$

Alle möglichen Determinanten der Dimension 3×3 ergeben 0. Aber offensichtlich hat die Matrix A‘ die gleiche 2×2 Nicht-0-Determinante wie die Matrix A:

$\displaystyle \begin{vmatrix}1 & 1 \\[1.1ex] -1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - (-1)=3 \neq 0$

Daher hat die Matrix A‘ auch den Rang 2 :

$\displaystyle rg(A')=2$

Da also der Rang der Matrix A gleich dem Rang der Matrix A‘ ist, diese beiden jedoch kleiner sind als die Anzahl der Unbekannten des Systems (3), wissen wir durch den Satz von Rouché-Frobenius , dass es sich um ein unbestimmt kompatibles System handelt (ICS):

$\displaystyle \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 2 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=2 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = 2 \ < \ n =3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SCI}\phantom{^9_9}} \end{array}$

Da es sich um ein ICS handelt, müssen wir das System transformieren, um es zu beheben. Dazu müssen wir zunächst eine Gleichung aus dem System eliminieren, in diesem Fall löschen wir die letzte Gleichung:

$\begin{cases} x+y+2z= 2 \\[1.5ex] -x+2y+2z=0 \\[1.5ex] \cancel{3x+2z = 4} \end{cases} \longrightarrow \quad \begin{cases} x+y+2z= 2 \\[1.5ex] -x+2y+2z=0\end{cases}$

Nun wandeln wir die Variable z in λ um:

$\begin{cases}x+y+2z= 2 \\[1.5ex] -x+2y+2z=0 \end{cases} \xrightarrow{z \ = \ \lambda}\quad \begin{cases} x+y+2\lambda= 2 \\[1.5ex] -x+2y+2\lambda=0\end{cases}$

Und wir setzen die Terme mit λ mit den unabhängigen Termen zusammen:

$\begin{cases}x+y=2-2\lambda \\[1.5ex] -x+2y=-2\lambda \end{cases}$

Daher bleiben die Matrix A und die Matrix A‘ des Systems bestehen:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\[1.1ex] -1 & 2 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 2 -2\lambda \\[1.1ex] -1 & 2 & -2\lambda \end{array} \right)$

Sobald wir das System transformiert haben, wenden wir schließlich die Cramer-Regel an . Dazu lösen wir zunächst die Determinante von A:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 1 \\[1.1ex] -1 & 2\end{vmatrix} =2-(-1)=3$

Um x mit der Cramer-Regel zu berechnen, ändern wir die erste Spalte der Determinante von A in die Spalte der unabhängigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:

$\displaystyle \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 2 -2\lambda & 1 \\[1.1ex] -2\lambda & 2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{4-4\lambda-(-2\lambda)}{3} = \cfrac{\bm{4-2\lambda}}{\bm{3}}$

Um y mit der Cramer-Regel zu berechnen, ändern wir die zweite Spalte der Determinante von A in die Spalte der unabhängigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:

$\displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix} 1 & 2 -2\lambda \\[1.1ex] -1 & -2\lambda \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}=\cfrac{-2\lambda -(-2+2\lambda)}{3} = \cfrac{\bm{2-4\lambda} }{\bm{3}}$

Wenn also m=2 ist, ist die Lösung des Gleichungssystems eine Funktion von λ, da es ein SCI ist und daher unendlich viele Lösungen hat:

$\displaystyle \bm{x =} \cfrac{\bm{4-2\lambda}}{\bm{3}} \qquad \bm{y=}\cfrac{\bm{2-4\lambda}}{\bm{3}} \qquad \bm{z=\lambda}$

Wir haben bereits die Lösung des Systems analysiert, wenn der Parameter m von 2 und 3 verschieden ist und wenn er gleich 2 ist. Wir brauchen daher nur den letzten Fall: wenn m den Wert 3 annimmt:

m=3:

Wir werden nun analysieren, was passiert, wenn der Parameter m 3 ist. In diesem Fall sind die Matrizen A und A‘:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & 3 & 2 \\[1.1ex] 3 & 0 & 3 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & 3 & 2 & 0 \\[1.1ex] 3 & 0 & 3 & 4 \end{array} \right)$

Wie wir zuvor gesehen haben, ist die Determinante von A bei m=3 0. Die Matrix A hat also nicht den Rang 3. Aber in ihrem Inneren befinden sich 2×2 Determinanten, die von 0 verschieden sind, zum Beispiel:

$\displaystyle \begin{vmatrix}1 & 1 \\[1.1ex] -1 & 3 \end{vmatrix} = 3 - (-1)=4 \neq 0$

In diesem Fall ist der Rang von A also 2 :

$\displaystyle rg(A)=2$

Sobald wir den Rang der Matrix A kennen, berechnen wir den Rang von A‘. Die Determinante der ersten 3 Spalten ergibt 0, daher versuchen wir es mit einer anderen 3×3-Determinante, die innerhalb der Matrix A‘ liegt, zum Beispiel die der letzten 3 Spalten:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\[1.1ex] 3 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 & 4\end{vmatrix}=2$

Andererseits enthält die Matrix A‘ eine Determinante, deren Ergebnis von 0 verschieden ist, daher hat die Matrix A‘ den Rang 3 :

$\displaystyle rg(A')=3$

Wenn also m = 3, ist der Rang der Matrix A niedriger als der Rang der Matrix A‘. Somit leiten wir aus dem Satz von Rouché-Frobenius ab, dass das System ein inkompatibles System (IS) ist :

$\displaystyle \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 2 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=3 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas}=3\end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A)=2 \ \neq \ rg(A') = 3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SI}\phantom{^9_9}} \end{array}$

Daher hat das Gleichungssystem keine Lösung, wenn m = 3.

Zusammenfassung des Beispiels:

Wie wir gesehen haben, hängt die Lösung des Gleichungssystems vom Wert des Parameters m ab. Hier ist die Zusammenfassung aller möglichen Fälle:

m≠3 und m≠2:

$\displaystyle \bm{SCD} \longrightarrow \begin{cases} x = \cfrac{2m^2+8-8m}{m^2-5m+6} \\[3.5ex] y =\cfrac{-4+2m}{m^2-5m+6} \\[3.5ex] z = \cfrac{-2m+4}{m^2-5m+6} \end{cases}$

m=2:

$\displaystyle \bm{SCI} \longrightarrow \begin{cases} x = \cfrac{4-2\lambda}{3} \\[3.5ex] y= \cfrac{2-4\lambda}{3} \\[3.5ex] z = \lambda \end{cases}$

m=3:

$\displaystyle \bm{SI} \longrightarrow$

Das System hat keine Lösung.

Hier haben wir den gesamten Prozess mit dem Rouche-Theorem und der Cramer-Regel durchgeführt, aber Gleichungssysteme mit Parametern können auch mit der Gauß-Methode (mit Übungen) diskutiert und gelöst werden. Mehr zu dieser Methode erfahren Sie auf der verlinkten Seite, dort finden Sie eine ausführliche Erklärung des Vorgehens sowie Beispiele und gelöste Übungen Schritt für Schritt.

Gelöste Diskussionsprobleme linearer Gleichungssysteme mit Parametern

Übung 1

Diskutieren und lösen Sie das folgende System parameterabhängiger linearer Gleichungen:

gelöste Übung zu Gleichungssystemen mit Parametern

siehe Lösung

Wir erstellen zunächst die Matrix A und die erweiterte Matrix A‘ des Systems:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 4 & -1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & -2 & -m \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c}4 & -1 & 1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 & 0 \\[1.1ex] 3 & -2 & -m & 0\end{array} \right)$

Wir müssen nun den Rang der Matrix A ermitteln. Dazu prüfen wir, ob die Determinante der gesamten Matrix von 0 verschieden ist:

$\displaystyle \begin{aligned}\begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 4 & -1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & -2 & -m \end{vmatrix} & =-4m+9-2-3-24-m \\ & =-5m-20 \end{aligned}$

Das Ergebnis der Determinante von A hängt vom Wert von m ab. Wir werden also sehen, für welche Werte von m die Determinante verschwindet. Dazu setzen wir das resultierende Ergebnis auf 0 und lösen die Gleichung:

$-5m-20 = 0$

$-5m = 20$

$m = \cfrac{20}{-5} = -4$

Wenn m also -4 ist, ist die Determinante von A 0. Und wenn m von -4 verschieden ist, ist die Determinante von A von 0 verschieden. Wir müssen daher jeden Fall separat analysieren:

m≠-4:

Wie wir gerade gesehen haben, unterscheidet sich die Determinante der Matrix A von 0, wenn der Parameter m von -4 verschieden ist. Daher ist der Rang von A 3.

$\displaystyle rg(A)=3$

Darüber hinaus ist der Rang der Matrix A‘ ebenfalls 3, da sich in ihr eine 3×3-Untermatrix befindet, deren Determinante von 0 verschieden ist. Und sie kann keinen Rang 4 haben, da „wir keine 4×4-Determinante erstellen können.“

$\displaystyle rg(A')=3$

Daher wissen wir durch die Anwendung des Rouché-Frobenius-Theorems, dass es sich um ein kompatibles Determinantensystem (SCD) handelt, da der Bereich von A gleich dem Bereich von A‘ und der Anzahl der Unbekannten ist.

Sobald wir wissen, dass das System ein SCD ist, wenden wir die Cramer-Regel an, um es zu lösen. Denken Sie dazu daran, dass die Matrix A, ihre Determinante und die Matrix A‘ sind:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 4 & -1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & -2 & -m \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 4 & -1 & 1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 & 0 \\[1.1ex] 3 & -2 & -m & 0\end{array} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 4 & -1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & -2 & -m\end{vmatrix} =-5m-20$

Um xatex] mit der Cramer-Regel zu berechnen, ändern wir die erste Spalte der Determinante von A durch die Spalte der unabhängigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:

$\displaystyle \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 0 & -1 & 1 \\[1.1ex] 0 & 1 & -3 \\[1.1ex] 0 & -2 & -m\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{0}{-5m-20} = \bm{0}$

Um die Unbekannte zu berechnen, ändern wir mit der Cramer-Regel die zweite Spalte der Determinante von A durch die Spalte der unabhängigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:

$\displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix} 4 & 0 & 1 \\[1.1ex] 1 & 0 & -3 \\[1.1ex] 3 & 0 & -m \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{0}{-5m-20} = \bm{0}$

Um z mit der Cramer-Regel zu berechnen, ändern wir die dritte Spalte der Determinante von A in die Spalte der unabhängigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:

$\displaystyle \bm{z} = \cfrac{\begin{vmatrix}4 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 1 & 0 \\[1.1ex] 3 & -2 & 0 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{0}{-5m-20} = \bm{0}$

Daher lautet die Lösung des Gleichungssystems für den Fall m≠-4:

x=0 y=0 z=0

m=-4:

Wir analysieren nun das System, wenn der Parameter m -4 ist. In diesem Fall sind die Matrizen A und A‘:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 4 & -1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & -2 & 4 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c}4 & -1 & 1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 & 0 \\[1.1ex] 3 & -2 & 4 & 0\end{array} \right)$

Wie wir zuvor gesehen haben, ist bei m=-4 die Determinante von A 0. Die Matrix A hat also nicht den Rang 3. Aber in ihrem Inneren befinden sich 2×2 Determinanten, die sich von 0 unterscheiden, zum Beispiel:

$\displaystyle \begin{vmatrix}4 & -1 \\[1.1ex] 1 & 1 \end{vmatrix} =4-(-1)=5 \neq 0$

Da die Matrix eine von 0 verschiedene Determinante der Ordnung 2 hat, hat die Matrix A den Rang 2:

$\displaystyle rg(A)=2$

Sobald wir den Rang von A kennen, berechnen wir den Rang von A‘. Wir wissen bereits, dass die Determinante der ersten drei Spalten 0 ergibt, also probieren wir die anderen möglichen 3×3-Determinanten aus:

$\displaystyle \begin{vmatrix} -1 & 1 & 0 \\[1.1ex] 1 & -3 & 0 \\[1.1ex] -2 & 4 & 0 \end{vmatrix} = 0 \quad \begin{vmatrix}4 & 1 & 0 \\[1.1ex] 1 & -3 & 0 \\[1.1ex] 3 & 4 & 0 \end{vmatrix} = 0 \quad \begin{vmatrix}4 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 1 & 0 \\[1.1ex] 3 & -2 & 0\end{vmatrix} = 0$

Alle 3×3 Determinanten der Matrix A‘ sind 0, daher wird die Matrix A‘ auch nicht den Rang 3 haben. Im Inneren gibt es jedoch Determinanten der Ordnung 2, die von 0 verschieden sind. Zum Beispiel:

$\displaystyle \begin{vmatrix}4 & -1 \\[1.1ex] 1 & 1 \end{vmatrix} =4-(-1)=5 \neq 0$

Die Matrix A‘ hat also den Rang 2:

$\displaystyle rg(A')=2$

Die Ausdehnung der Matrix A ist gleich der Ausdehnung der Matrix A‘, aber diese beiden sind kleiner als die Anzahl der Unbekannten im System (3), daher ist c gemäß dem Rouché-Frobenius-Theorem ein unbestimmtes kompatibles System (ICS):

Da es sich um ein ICS-System handelt, müssen wir das System umwandeln, um es zu lösen. Wir eliminieren zunächst eine Gleichung, in diesem Fall die letzte:

$\begin{cases} 4x-y+z= 0 \\[1.5ex] x+y-3z=0 \\[1.5ex] \cancel{3x-2y+4z = 0} \end{cases} \longrightarrow \quad \begin{cases} 4x-y+z= 0 \\[1.5ex] x+y-3z=0\end{cases}$

Nun wandeln wir die Variable z in λ um:

$\begin{cases}4x-y+z= 0 \\[1.5ex] x+y-3z=0 \end{cases} \xrightarrow{z \ = \ \lambda}\quad \begin{cases} 4x-y+\lambda= 0 \\[1.5ex] x+y-3\lambda=0\end{cases}$

Und wir setzen die Terme mit λ mit den unabhängigen Termen zusammen:

$\begin{cases} 4x-y=-\lambda \\[1.5ex] x+y=3\lambda \end{cases}$

So dass die Matrix A und die Matrix A‘ des Systems bestehen bleiben:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 4 & -1 \\[1.1ex] 1 & 1 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{cc|c} 4 & -1 & -\lambda \\[1.1ex] 1 & 1 & 3\lambda \end{array} \right)$

Sobald wir das System transformiert haben, wenden wir schließlich die Cramer-Regel an. Dazu lösen wir zunächst die Determinante von A:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 4 & -1 \\[1.1ex] 1 & 1 \end{vmatrix} = 4-(-1)=5$

Um x mit der Cramer-Regel zu berechnen, ändern wir die erste Spalte der Determinante von A in die Spalte der unabhängigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:

$\displaystyle \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix}-\lambda & -1 \\[1.1ex] 3\lambda & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{-\lambda-(-3\lambda)}{5} =\cfrac{\bm{2\lambda}}{\bm{5}}$

Um die Unbekannte zu berechnen, ändern wir mit der Cramer-Regel die zweite Spalte der Determinante von A durch die Spalte der unabhängigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:

$\displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix} 4 & -\lambda \\[1.1ex] 1 & 3\lambda \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{12\lambda-(-\lambda)}{5}=\cfrac{\bm{13\lambda}}{\bm{5}}$

Wenn also m=-4 ist, ist die Lösung des Gleichungssystems eine Funktion von λ, da es ein SCI ist und daher unendlich viele Lösungen hat:

$\displaystyle \bm{x =}\cfrac{\bm{2\lambda}}{\bm{5}}\qquad \bm{y=}\cfrac{\bm{13\lambda}}{\bm{5}} \qquad \bm{z=\lambda}$

Übung 2

Diskutieren und finden Sie die Lösung für das folgende System parameterabhängiger linearer Gleichungen:

Übung löste Schritt für Schritt ein System linearer Gleichungen mit Parametern

siehe Lösung

Als erstes müssen die Matrix A und die erweiterte Matrix A‘ des Systems erstellt werden:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} m & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex] 1 & -2 & m\end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c}m & 2 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & m & 3\end{array} \right)$

Wir müssen nun den Rang der Matrix A ermitteln. Dazu prüfen wir, ob die Determinante der gesamten Matrix von 0 verschieden ist:

$\displaystyle \begin{aligned}\begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}m & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex] 1 & -2 & m\end{vmatrix} & =4m^2+4-4-4+4m-4m \\ & =4m^2-4 \end{aligned}$

$4m^2-4 = 0$

$4m^2=4$

$m^2 = \cfrac{4}{4}$

$m^2 = 1$

$m = \pm 1$

Wenn also m +1 oder -1 ist, ist die Determinante von A 0. Und wenn m von +1 und -1 verschieden ist, ist die Determinante von A von 0 verschieden. Wir müssen daher jeden Fall wie folgt analysieren:

m≠+1 und m≠-1:

Wie wir gerade gesehen haben, unterscheidet sich die Determinante der Matrix A von 0, wenn der Parameter m von +1 und -1 verschieden ist. Daher ist der Rang von A 3.

$\displaystyle rg(A)=3$

$\displaystyle rg(A')=3$

Sobald wir wissen, dass das System ein SCD ist, wenden wir die Cramer-Regel an, um es zu lösen. Denken Sie dazu daran, dass die Matrix A, ihre Determinante und die Matrix A‘ sind:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}m & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex] 1 & -2 & m\end{vmatrix}=4m^2-4$

Um x mit der Cramer-Regel zu berechnen, ändern wir die erste Spalte der Determinante von A in die Spalte der unabhängigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:

$\displaystyle \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 2& 2 & 1 \\[1.1ex] 0 & 4 & 2 \\[1.1ex] 3 & -2 & m\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{\bm{8m+8}}{\bm{4m^2-4}}$

Um die Unbekannte zu berechnen, ändern wir mit der Cramer-Regel die zweite Spalte der Determinante von A durch die Spalte der unabhängigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:

$\displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix} m & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 0 & 2 \\[1.1ex] 1 & 3 & m\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{\bm{-10m+10}}{\bm{4m^2-4}}$

Um z mit der Cramer-Regel zu berechnen, ändern wir die dritte Spalte der Determinante von A in die Spalte der unabhängigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:

$\displaystyle \bm{z} = \cfrac{\begin{vmatrix}m & 2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & 3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{\bm{12m-28}}{\bm{4m^2-4}}$

Daher lautet die Lösung des Gleichungssystems für den Fall m≠+1 und m≠-1:

$\displaystyle \bm{x = }\cfrac{\bm{8m+8}}{\bm{4m^2-4}} \qquad \bm{y=}\cfrac{\bm{-10m+10}}{\bm{4m^2-4}}\qquad \bm{z =} \cfrac{\bm{12m-28}}{\bm{4m^2-4}}$

m=+1:

Wir analysieren nun das System, wenn der Parameter m gleich 1 ist. In diesem Fall sind die Matrizen A und A‘:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex] 1 & -2 & 1 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & 1 & 3\end{array} \right)$

Wie wir zuvor gesehen haben, ist bei m=+1 die Determinante von A 0. Die Matrix A hat also nicht den Rang 3. Aber in ihrem Inneren befinden sich 2×2 Determinanten, die von 0 verschieden sind, zum Beispiel:

$\displaystyle \begin{vmatrix}2 & 4\\[1.1ex] 1 & -2 \end{vmatrix} =-4-4=-8 \neq 0$

Da die Matrix eine von 0 verschiedene Determinante der Ordnung 2 hat, hat die Matrix A den Rang 2:

$\displaystyle rg(A)=2$

Sobald wir den Rang von A kennen, berechnen wir den Rang von A‘. Wir wissen bereits, dass die Determinante der ersten 3 Spalten 0 ergibt, also versuchen wir es jetzt beispielsweise mit der Determinante der letzten 3 Spalten:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\[1.1ex] 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] -2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 16$

Andererseits enthält die Matrix A‘ eine 3×3-Determinante, deren Ergebnis von 0 verschieden ist, so dass die Matrix A‘ den Rang 3 hat:

$\displaystyle rg(A')=3$

Wenn also m=+1, ist der Rang der Matrix A kleiner als der Rang der Matrix A‘. Somit leiten wir aus dem Satz von Rouché-Frobenius ab, dass das System ein inkompatibles System (IS) ist:

$\displaystyle \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 2 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=3 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = 2 \ \neq \ rg(A') = 3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SI}\phantom{^9_9}} \end{array}$

Daher hat das Gleichungssystem keine Lösung, wenn m=+1 , da es ein inkompatibles System ist.

m=-1:

Wir analysieren nun das System, wenn der Parameter m -1 ist. In diesem Fall sind die Matrizen A und A‘:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} -1 & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex] 1 & -2 & -1 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c}-1 & 2 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & -1 & 3\end{array} \right)$

Wie wir zuvor gesehen haben, ist die Determinante von A bei m=-1 0. Die Matrix A hat also nicht den Rang 3. Sie enthält jedoch 2×2 Determinanten, die sich von 0 unterscheiden, zum Beispiel:

$\displaystyle \begin{vmatrix}-1 & 2\\[1.1ex] 2 & 4 \end{vmatrix} =-4-4=-8 \neq 0$

Da die Matrix eine von 0 verschiedene Determinante der Ordnung 2 hat, hat die Matrix A den Rang 2:

$\displaystyle rg(A)=2$

Sobald wir den Rang von A kennen, berechnen wir den Rang von A‘. Wir wissen bereits, dass die Determinante der ersten 3 Spalten 0 ergibt, daher versuchen wir es nun beispielsweise mit der Determinante der Spalten 1, 3 und 4:

$\displaystyle \begin{vmatrix} -1 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 2 & 0 \\[1.1ex] 1 & -1 & 3\end{vmatrix} = -20$

Andererseits enthält die Matrix A‘ eine 3×3-Determinante, deren Ergebnis von 0 verschieden ist, so dass die Matrix A‘ den Rang 3 hat:

$\displaystyle rg(A')=3$

Wenn also m = -1, ist der Rang der Matrix A niedriger als der Rang der Matrix A‘. Somit leiten wir aus dem Rouché-Frobenius-Theorem ab, dass das System ein inkompatibles System (IS) ist:

$\displaystyle \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 2 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=3 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = 2 \ \neq \ rg(A') = 3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SI}\phantom{^9_9}} \end{array}$

Daher hat das Gleichungssystem keine Lösung, wenn m=-1 ist , da es ein inkompatibles System ist.

Diskussion von gleichungssystemen mit parametern

Beispiel eines linearen Gleichungssystems mit Parametern

Zusammenfassung des Beispiels:

Gelöste Diskussionsprobleme linearer Gleichungssysteme mit Parametern

Übung 1

Übung 2

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