Derivate – Mathematik

Hier erklären wir, wie man alle Arten von Funktionen ableitet. Sie finden die Formeln für alle Ableitungen, begleitet von Beispielen und schrittweisen Ableitungsübungen.

Was sind derivative Produkte?

Ableitungen sind mathematische Regeln zur Untersuchung von Funktionen. Insbesondere ist die Ableitung einer Funktion an einem Punkt das Ergebnis einer Grenze und gibt das Verhalten der Funktion an diesem Punkt an.

Die Ableitung einer Funktion wird mit dem Primzeichen ‚ ausgedrückt, das heißt, dass die Funktion f'(x) die Ableitung der Funktion f(x) ist.

Geometrisch gesehen ist die Bedeutung der Ableitung einer Funktion an einem Punkt die Steigung der Tangente an die Funktion an diesem Punkt.

Die mathematische Definition der Ableitung einer Funktion lautet wie folgt:

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Die Ableitung einer Funktion wird jedoch normalerweise nicht mit der oben genannten Formel berechnet, sondern es gelten Differenzierungsregeln, je nachdem, um welche Art von Funktion es sich handelt. Nachfolgend werden alle Ableitungsformeln erläutert.

abgeleitete Formeln

Nachdem wir die Definition von Derivaten kennengelernt haben, werden wir sehen, wie sie hergestellt werden, und jede Art von Derivat anhand eines Beispiels erklären. Das Ziel dieses Beitrags besteht darin, dass Sie das Konzept der Ableitungen gut verstehen. Wenn Sie also Zweifel daran haben, wie eine Funktion abgeleitet wird, können Sie uns in den Kommentaren fragen.

abgeleitet von einer Konstante

Die Ableitung einer Konstante ist immer Null, unabhängig vom Wert der Konstante.

Um die Ableitung einer konstanten Funktion zu finden, ist daher keine Mathematik erforderlich, die Ableitung ist lediglich Null.

Schauen Sie sich die folgenden praktischen Beispiele für Ableitungen von Konstanten an:

$\begin{array}{c}f(x)=3 \qquad \longrightarrow\qquad f'(x)=0\\[3ex]g(x)=-5 \qquad \longrightarrow\qquad g'(x)=0\\[3ex]h(x)=291 \qquad \longrightarrow\qquad h'(x)=0\end{array}$

Ableitung einer linearen Funktion

Die Ableitung einer linearen Funktion ist der Koeffizient ersten Grades, d. h. die Ableitung einer linearen Funktion f(x)=Ax+B ist gleich A

Schauen Sie sich die folgenden Beispiele an, wie diese Art von Funktion abgeleitet wurde:

$\begin{array}{c}f(x)=3x-1\quad\longrightarrow\quad f'(x)=3\\[3ex]f(x)=5x\quad\longrightarrow\quad f'(x)=5\\[3ex] f(x)=-2x+9\quad\longrightarrow\quad f'(x)=-2\end{array}$

abgeleitet von einer Macht

Die Ableitung einer Potenz oder Potentialfunktion ist das Produkt aus dem Exponenten der Potenz mal der Basis erhöht zum Exponenten minus 1.

Um eine Potenz abzuleiten, multiplizieren Sie daher einfach die Funktion mit dem Exponenten und subtrahieren Sie eine Einheit vom Exponenten.

Die Ableitung der Potenz x kubisch lautet beispielsweise:

$f(x)=x^3 \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=3\cdot x^{3-1}=3x^2$

Hier können Sie Übungen (und schwierigere) dieser Art von Ableitung üben:

➤ Siehe: gelöste Übungen zur Ableitung einer Potenz

abgeleitet von einer Wurzel

Die Ableitung einer Wurzel oder irrationalen Funktion ist gleich eins dividiert durch das Produkt aus dem Index der Wurzel mal derselben Wurzel, wobei 1 vom Exponenten des Radikanden abgezogen wird.

Als Beispiel sehen Sie unten die gelöste Ableitung der Quadratwurzel von x:

$f(x)=\sqrt{x}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=\cfrac{1}{2\sqrt{x^{2-1}}}=\cfrac{1}{2\sqrt{x}}$

➤ Siehe: gelöste Übungen zur Ableitung einer Wurzel

Ableitung einer Exponentialfunktion

Die Ableitung einer Exponentialfunktion hängt davon ab, ob die Basis die Zahl e oder eine andere Zahl ist. Es gibt daher zwei Formeln, um diese Art von Funktion abzuleiten, und Sie müssen diejenige verwenden, die der Potenzbasis entspricht:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=1.8mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}f(x)=a^x \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^x\cdot \ln(a)\\[3ex] f(x)=e^x \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^x \end{array} \end{empheq}$

Unten sehen Sie zwei gelöste Ableitungen dieser Art von Funktionen:

$f(x)=7^{x} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=7^x\cdot \ln(7)$

$f(x)=e^{x} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^x$

➤ Siehe: gelöste Aufgaben zur Ableitung einer Exponentialfunktion

Ableitung einer logarithmischen Funktion

Die Ableitung einer logarithmischen Funktion hängt von der Basis des Logarithmus ab, denn wenn der Logarithmus natürlich ist, muss eine Formel angewendet werden, um die Ableitung zu finden, und wenn der Logarithmus eine andere Zahl als Basis hat, muss eine andere Regel verwendet werden.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=1.8mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}f(x)=\ln(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x}\\[3ex] f(x)=\log_a(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot\ln(a)}\end{array} \end{empheq}$

Die Ableitung des Logarithmus zur Basis drei von x lautet beispielsweise:

$f(x)=\log_3(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot\ln(3)}$

➤ Siehe: gelöste Aufgaben zur Ableitung einer logarithmischen Funktion

Trigonometrische Ableitungen

Die drei wichtigsten trigonometrischen Ableitungen sind die Ableitung der Sinusfunktion, der Kosinusfunktion und der Tangensfunktion, deren Formeln wie folgt lauten:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=1.8mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}f(x)=\text{sen}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x)\\[2.5ex] f(x)=\text{cos}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\text{sen}(x)\\[1.1ex]f(x)=\text{tan}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{\text{cos}^2(x)}\end{array} \end{empheq}$

Logischerweise gibt es verschiedene Arten von trigonometrischen Funktionen, wie Sekante, Kosekans, Kotangens, hyperbolische trigonometrische Funktionen, inverse trigonometrische Funktionen usw. Die am häufigsten verwendeten Regeln zum Driften sind jedoch die drei oben genannten.

Überweisungsregeln

Bei Operationen mit Funktionen werden die Ableitungen unterschiedlich gelöst. Dazu müssen wir die Regeln der Differenzierung anwenden, die es uns ermöglichen, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Funktionen abzuleiten.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}z(x)=f(x)\pm g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)\pm g'(x)\\[4ex] z(x)=f(x)\cdot g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\\[4ex]z(x)=\cfrac{f(x)}{g(x)} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=\cfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^2}\end{array} \end{empheq}$

Um Ableitungen mit Operationen zu lösen, müssen wir daher nicht nur die Ableitungsregeln anwenden, sondern auch die Formel für jeden Ableitungstyp verwenden.

Damit Sie sehen können, wie Sie diese Art von Ableitung finden, lösen wir im Folgenden einige Übungen:

Ableitung einer Summe:

$f(x)=3x^2+5x$

$f'(x)=6x+5$

Wie Sie sehen können, wurde zur Lösung der Ableitung der gesamten Funktion die Formel für die Ableitung einer Potenz auf jeden Term der Summe angewendet.

Abgeleitet von einem Produkt:

$f(x)=4^{x}\cdot \text{sen}(x)$

Die Ableitung des ersten Termes des Produkts ist 4 ^x ln(4) und die Ableitung des Sinus ist der Kosinus. Die Ableitung der Multiplikation lautet also:

$f'(x)=4^{x}\cdot \ln (4) \cdot \text{sen}(x) +4^{x}\cdot \text{cos}(x)$

Ableitung eines Quotienten:

$f(x)=\cfrac{x^3+4x^2}{5x^2-8}$

Im Zähler und Nenner des Bruchs haben wir ein Polynom. Um die Ableitung zu erhalten, müssen wir die Formel für die Ableitung eines Quotienten, die Formel für die Ableitung einer Addition (oder Subtraktion) und die Formel für die Ableitung von verwenden hat Macht:

$\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{(3x^2+8x)\cdot (5x^2-8)-(x^3+4x^2)\cdot 10x}{\left(5x^2-8\right)^2}\\[2ex]&=\cfrac{15x^4-24x^2+40x^3-64x-10x^4-40x^3}{25x^4+64-80x^2}\\[2ex]&=\cfrac{5x^4-24x^2-64x}{25x^4-80x^2+64}\end{aligned}$

Kettenregel

Die Kettenregel ist eine Formel zur Ableitung zusammengesetzter Funktionen. Die Kettenregel besagt, dass die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion f(g(x)) gleich der Ableitung f'(g(x)) multipliziert mit der Ableitung g'(x) ist.

Dieser Begriff von Derivaten ist im Allgemeinen schwieriger zu verarbeiten, daher lösen wir als Beispiel eine Übung Schritt für Schritt:

$f(x)=\text{sen}(x^3)$

Tatsächlich handelt es sich um eine Zusammensetzung von Funktionen, da wir die Funktion x ³ innerhalb der Sinusfunktion haben. Daher müssen wir die Kettenregel verwenden, um die Ableitung der zusammengesetzten Funktion zu finden.

Einerseits ist die Ableitung des Sinus der Kosinus, also ist die Ableitung der äußeren Funktion der Kosinus mit dem gleichen Argument des Sinus:

$f\bigl(g(x)\bigr)=\text{sen}(x^3) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'\bigl(g(x)\bigr)=\text{cos}(x^3)$

Und andererseits berechnen wir die Ableitung von x ³ mit der Formel für die Ableitung einer Potenz:

$g(x)=x^3\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} g'(x)=3x^2$

Somit ist die Ableitung der ganzzahligen zusammengesetzten Funktion das Produkt der beiden Ableitungen:

$f(x)=\text{sen}(x^3) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x^3)\cdot 3x^2$

➤ Siehe: Gelöste Ableitungsaufgaben mit der Kettenregel

Differenzierbarkeit einer Funktion

Die Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Funktion an einem Punkt hängen wie folgt zusammen:

Wenn eine Funktion an einem Punkt differenzierbar ist, ist die Funktion an diesem Punkt stetig.
Wenn eine Funktion an einem Punkt nicht stetig ist, ist sie an diesem Punkt auch nicht differenzierbar.

Die Umkehrung dieses Theorems ist jedoch falsch, dh nur weil eine Funktion an einem Punkt stetig ist, heißt das nicht, dass sie an diesem Punkt immer differenzierbar ist.

Sie können auch sehen, ob eine Funktion an einem Punkt in ihrem Diagramm differenzierbar ist oder nicht:

Handelt es sich um einen glatten Punkt, ist die Funktion an diesem Punkt differenzierbar.
Handelt es sich um einen Winkelpunkt, ist die Funktion an diesem Punkt stetig, aber nicht differenzierbar.

Glatter Punkt bei x=0:
stetige und differenzierbare Funktion an dieser Stelle.

Schrägpunkt bei x=2:
Funktion stetig, aber zu diesem Zeitpunkt nicht differenzierbar.

Sie können auch feststellen, ob eine stückweise Funktion an einem Punkt differenzierbar ist, indem Sie die lateralen Ableitungen an diesem Punkt berechnen:

Wenn die lateralen Ableitungen an einem Punkt ungleich sind, ist die Funktion an diesem Punkt nicht differenzierbar:

$f'(x_o^-) \neq f'(x_o^+) \ \longrightarrow$

Es ist nicht differenzierbar

$x_o$

Wenn die lateralen Ableitungen an einem Punkt zusammenfallen, ist die Funktion an diesem Punkt differenzierbar:

$f'(x_o^-) = f'(x_o^+) \ \longrightarrow$

Ja, es ist ableitbar in

$x_o$

Sehen wir uns nun ein Beispiel für die Berechnung der Ableitung einer Funktion an, die stückweise an einem Punkt definiert ist:

Untersuchen Sie die Stetigkeit und Differenzierbarkeit der folgenden stückweisen Funktion am Punkt x=2:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 3x^2-6x & \text{si} & x<2 \\[2ex] 6\ln (x-1) & \text{si} & x\geq 2 \end{array} \right.$

Die Funktionen beider Abschnitte sind in ihren jeweiligen Intervallen stetig, es muss jedoch überprüft werden, ob die Funktion am kritischen Punkt x=2 stetig ist. Dazu lösen wir die seitlichen Grenzen der Funktion im Punkt:

$\lim\limits_{x\to 2^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^-} \bigl(3x^2-6x\bigr) = 3\cdot2^2-6\cdot2=12-12=\bm{0}$

$\lim\limits_{x\to 2^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^+} 6\ln (x-1) = 6\ln (2-1)=6 \ln 1=6 \cdot 0= \bm{0}$

Die seitlichen Grenzen am kritischen Punkt lieferten das gleiche Ergebnis, sodass die Funktion am Punkt x=2 stetig ist.

Sobald wir wissen, dass die Funktion bei x=2 stetig ist, werden wir an dieser Stelle die Differenzierbarkeit der Funktion untersuchen. Dazu berechnen wir die lateralen Ableitungen der stückweise definierten Funktion:

$\displaystyle f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 6x-6 & \text{si} & x<2 \\[2ex] \cfrac{6}{x-1} & \text{si} & x\geq 2 \end{array} \right.$

Nun bewerten wir jede laterale Ableitung am kritischen Punkt:

$f'(2^-)=6\cdot2-6=12-6 = \bm{6}$

$f'(2^+)=\cfrac{6}{2-1} = \cfrac{6}{1} = \bm{6}$

Die beiden lateralen Ableitungen lieferten das gleiche Ergebnis, sodass die Funktion bei x=2 differenzierbar ist und der Wert der Ableitung 6 beträgt:

$f'(2^-) = f'(2^+) = 6 \ \longrightarrow \ \bm{f'(2) = 6}$

Hätten uns die lateralen Ableitungen andererseits ein anderes Ergebnis geliefert, würde dies bedeuten, dass die Funktion bei x=2 nicht differenzierbar ist. Mit anderen Worten, die Ableitung würde zu diesem Zeitpunkt nicht existieren.

➤ Siehe: gelöste Aufgaben zur Differenzierbarkeit einer Funktion