Erklärung von allem, was mit der Linie zu tun hat: Was es ist, welche verschiedenen Typen es gibt, wie man eine Linie mathematisch ausdrückt (Gleichungen), welche relativen Positionen die Linien haben, wie man den Winkel zwischen zwei Linien berechnet, die Interpretation der Steigung einer Geraden,….
Was ist eine Linie?
Die mathematische Definition der Linie lautet wie folgt:
Eine Linie ist eine unendliche Menge aufeinanderfolgender Punkte, die in derselben Richtung ohne Kurven oder Winkel dargestellt werden.
Andererseits entspricht eine Linie dem minimal möglichen Abstand zwischen zwei verschiedenen Punkten.
Darüber hinaus ist eine Linie eine Linie, die sich in die gleiche Richtung erstreckt und daher nur eine Dimension hat.
Linientypen
Wir haben gerade gesehen, was Linien sind, aber Sie sollten wissen, dass es mehr als einen Linientyp gibt, von denen jeder seine eigenen Eigenschaften hat. Somit können die Linien wie folgt klassifiziert werden:
Parallele Linien
Parallele Linien sind Linien, die sich niemals kreuzen, das heißt, selbst wenn ihre Flugbahnen bis ins Unendliche ausgedehnt werden, berühren sie sich nie. Daher haben die Punkte zweier paralleler Geraden immer den gleichen Abstand voneinander und außerdem haben zwei parallele Geraden keine gemeinsamen Punkte.
Schnittlinien
In der Mathematik schneiden sich zwei Geraden , wenn sie sich nur in einem Punkt schneiden. Schnittlinien haben daher nur einen gemeinsamen Punkt.
Ein Beispiel für sich schneidende Linien sind senkrechte Linien , also Linien, die sich in einem Punkt schneiden und vier gleiche rechte Winkel (90°) bilden.
Wie Sie wissen, sind senkrechte Linien sehr wichtig. Deshalb haben wir eine Seite mit einer Erklärung zu allem, was Sie über diese Art von Linien wissen müssen: Wenn zwei Linien senkrecht zueinander stehen, wie man eine senkrecht zueinander stehende Linie berechnet, Beispiele und gelöste Übungen zu senkrechten Linien und vieles mehr. Deshalb überlasse ich Ihnen die Seite der Rechtwinkligkeit zwischen Linien , falls Sie mehr wissen möchten.
Andererseits werden Linien, die sich schneiden, aber nicht einen 90°-Winkel bilden, sondern einen anderen Winkel bilden, als schräge Linien bezeichnet.
zusammenfallende Linien
Zwei zusammenfallende Geraden sind zwei Geraden, die alle ihre Punkte gemeinsam haben. Daher sind zwei zusammenfallende Linien völlig identisch.
Strahl
Halblinie nennt man jeden der beiden Teile, in die eine Linie geteilt wird, indem man sie an einem ihrer Punkte schneidet.
Beispielsweise kann die vorherige Zeile durch Punkt A geteilt werden, sodass Halbzeilen entstehen
Und
Gleichung der Linie
In der analytischen Geometrie verwenden wir zur analytischen Darstellung einer Geraden die Geradengleichungen . Und um die Gleichung einer Geraden zu finden, sei es in der Ebene (in R2) oder im Raum (in R3), benötigen Sie lediglich einen zur Geraden gehörenden Punkt und den Richtungsvektor dieser Geraden.
Wie Sie in der grafischen Darstellung der vorherigen Zeile sehen können, werden die Zeilen in diesem Fall mit einem Kleinbuchstaben benannt
Es gibt verschiedene Arten von Geradengleichungen. Alle Arten von Liniengleichungen haben das gleiche Ziel: eine Linie mathematisch darzustellen. Aber jede Geradengleichung hat ihre eigenen Eigenschaften und daher ist es je nach Problem besser, die eine oder die andere zu verwenden. Nachfolgend finden Sie die Formeln für alle Gleichungen der Geraden.
Vektorgleichung der Geraden
Ja
ist der Richtungsvektor der Geraden und
ein Punkt, der nach rechts gehört:
Die Formel für die Vektorgleichung der Geraden lautet:
![\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} (x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2) \end{empheq}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f6e64023d7dbfb100dc641c09e202e2e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Gold:
-
Und
sind die kartesischen Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Linie.
-
Und
sind die Koordinaten eines bekannten Punktes, der Teil der Linie ist
-
Und
sind die Komponenten des Richtungsvektors der Geraden
-
ist ein Skalar (eine reelle Zahl), dessen Wert von jedem Punkt auf der Linie abhängt.
Parametrische Gleichungen der Linie
Die Formel für die parametrische Gleichung einer Geraden lautet wie folgt:
![\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases} \end{empheq}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-46f6cdd4b1d1a92d038d140904abd119_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Gold:
-
Und
sind die kartesischen Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Linie.
-
Und
sind die Koordinaten eines bekannten Punktes, der Teil der Linie ist
-
Und
sind die Komponenten des Richtungsvektors der Geraden
-
ist ein Skalar (eine reelle Zahl), dessen Wert von jedem Punkt auf der Linie abhängt.
Kontinuierliche Gleichung der Geraden
Die Formel für die kontinuierliche Geradengleichung lautet:
![\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2} \end{empheq}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7063ed965532bc4df04315115aa10bdf_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Gold:
-
Und
sind die kartesischen Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Linie.
-
Und
sind die Koordinaten eines bekannten Punktes, der Teil der Linie ist
-
Und
sind die Komponenten des Richtungsvektors der Geraden
Implizite oder allgemeine Gleichung der Geraden
Ja
ist der Richtungsvektor der Geraden und
ein Punkt, der nach rechts gehört:
Die Formel für die implizite, allgemeine oder kartesische Gleichung der Geraden lautet:
![\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} Ax+By+C=0 \end{empheq}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-acd74645ce35f9b771269d09bb1e0b9b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Gold:
-
Und
sind die kartesischen Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Linie.
- der Koeffizient
ist die zweite Komponente des Richtungsvektors der Geraden:
- der Koeffizient
ist die erste Komponente des Richtungsvektors mit geändertem Vorzeichen:
- der Koeffizient
wird durch Ersetzen des bekannten Punktes berechnet
in der Geradengleichung.
Die Formel, die implizite Gleichung einer Geraden, kann auch durch Multiplikation der Brüche der stetigen Gleichung erhalten werden.
Explizite Gleichung der Geraden
Die Formel für die explizite Gleichung der Geraden lautet:
![\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} y=mx+n \end{empheq}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-70bd24576c0a37b64c5731799e67083e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Gold:
-
ist die Steigung der Geraden.
-
sein y-Achsenabschnitt, also die Höhe, in der er die Y-Achse schneidet.
In diesem speziellen Fall besteht eine andere Möglichkeit zur Berechnung der expliziten Gleichung darin, die implizite Gleichung zu verwenden. Löschen Sie dazu einfach die Variable
der impliziten Gleichung.
Punkt-Steigungsgleichung der Geraden
Die Formel für die Punkt-Steigungsgleichung der Geraden lautet wie folgt:
![\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} y-P_2=m(x-P_1) \end{empheq}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3d1f485a8e43f9f81d8711d2f17dac20_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Gold:
-
ist die Steigung der Geraden.
-
sind die Koordinaten eines Punktes auf der Geraden
Kanonische oder segmentale Gleichung der Geraden
Obwohl diese Variante der Geradengleichung weniger bekannt ist, kann die kanonische Geradengleichung aus den Schnittpunkten der Geraden mit den kartesischen Achsen erhalten werden.
Die beiden Schnittpunkte mit den Achsen einer gegebenen Geraden seien:
Mit der X-Achse schneiden:
Schnitt mit Y-Achse:
Die Formel für die kanonische Geradengleichung lautet:
![\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \cfrac{x}{a}+\cfrac{y}{b} = 1 \end{empheq}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9f6882981d96c9f3eb383d6a005eca81_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Wir haben gerade die Formeln für alle Geradengleichungen gesehen, aber wenn Sie möchten, können Sie tiefer gehen und mit Übungen zu den Geradengleichungen üben. Darüber hinaus finden Sie auf dieser Seite eine ausführlichere Erläuterung einzeiliger Gleichungen und Beispiele für die Berechnung aller Arten einzeiliger Gleichungen.
Bedeutung der Steigung einer Geraden
Mit all den oben genannten Informationen wissen wir bereits vollständig, wie die Gleichung einer Geraden aussieht und dass eine Möglichkeit, eine Gerade durch ihre Steigung zu beschreiben, ist. Aber wirklich … was bedeutet die Steigung einer Linie?
Die Steigung einer Linie gibt die vertikalen Einheiten an, um die die Linie für jede horizontale Einheit des Diagramms ansteigt.
In der Darstellung der folgenden Linie können Sie beispielsweise sehen, dass sie für jede horizontale Einheit um 2 vertikale Einheiten vorrückt, da ihre Steigung gleich 2 ist.
Darüber hinaus gibt die Steigung einer Linie auch deren Steilheit an:
- Wenn eine Linie zunimmt (steigt), ist ihre Steigung positiv.
- Wenn eine Linie abnimmt (absteigend), ist ihre Steigung negativ.
- Wenn eine Linie vollständig horizontal ist, ist ihre Steigung gleich 0.
- Wenn eine Linie vollständig vertikal ist, ist ihre Steigung gleich unendlich.
Relative Position zweier Linien in der Ebene
Beim Arbeiten mit zwei Dimensionen (in R2) gibt es drei Arten möglicher relativer Positionen zwischen zwei Linien:
Schnittlinien
Zwei sich schneidende Geraden haben nur einen gemeinsamen Punkt.
Parallele Linien
Zwei Geraden sind parallel, wenn sie keinen gemeinsamen Punkt haben. Das heißt, wenn sich ihre Wege nie kreuzen.
zusammenfallende Linien
Zwei Geraden sind gleich, wenn alle ihre Punkte gemeinsam sind.
Andererseits hängt der Winkel zwischen zwei Geraden in der Ebene auch von ihrer relativen Lage ab:
- Schnittlinien schneiden sich in einem Winkel zwischen 0° (nicht eingeschlossen) und 90° (einschließlich). Wenn sie außerdem nur einen rechten Winkel von 90° bilden, bedeutet das, dass die beiden Linien senkrecht zueinander stehen.
- Parallele Linien bilden einen Winkel von 0°, da sie die gleiche Richtung haben.
- Und aus dem gleichen Grund bilden die zusammenfallenden Linien auch einen Winkel von 0° zwischen sich.
Winkel zwischen zwei Linien
Es gibt mehrere Methoden zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Linien, von denen einige recht kompliziert sind. Deshalb erklären wir Ihnen die einfachste Methode zur Bestimmung des Winkels zwischen zwei Linien.
Die Formel zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Geraden anhand ihrer Richtungsvektoren lautet:
Gegeben seien die Richtungsvektoren zweier verschiedener Geraden:
Der Winkel zwischen diesen beiden Linien kann mit der folgenden Formel berechnet werden:
![\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}\rvert}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert} \end{empheq}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-622f3563061ace785425ae6d1982173c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Gold
Und
sind die Module der Vektoren
Und
jeweils.
Denken Sie daran, dass die Formel für die Größe eines Vektors lautet:
Nachdem wir den Kosinus des durch die beiden Linien gebildeten Winkels mithilfe der Formel berechnet haben, müssen wir natürlich den Kosinus umkehren, um den Wert des Winkels zu ermitteln.