Zusammenfallende Linien

Hier finden Sie alles über zusammenfallende Linien: Was sie bedeuten, wie man feststellt, ob zwei Linien zusammenfallen, welche Eigenschaften sie haben usw. Darüber hinaus können Sie sich Beispiele und gelöste Übungen zu koinzidenten Linien ansehen.

Was sind zwei zusammenfallende Linien?

Zwei zusammenfallende Geraden sind zwei Geraden, die alle ihre Punkte gemeinsam haben. Daher sind zwei zusammenfallende Linien völlig identisch.

Unten sehen Sie beispielsweise zwei zusammenfallende Linien. Was passiert, ist, dass Sie nur eine sehen, weil sie sich überlappen (sie sind gleich).

Zwei zusammenfallende Geraden haben immer die gleiche Richtung, bilden also geometrisch einen Winkel von 0°.

Denken Sie andererseits daran, dass es in der Ebene vier Möglichkeiten für das Konzept der relativen Position zwischen zwei Linien gibt: Zwei Linien können zusammenfallen, parallel , sekante und senkrecht sein. Wenn Sie möchten, können Sie in diesen drei Links die Bedeutung der einzelnen Linientypen und den Unterschied zwischen ihnen überprüfen.

Woher wissen Sie, ob zwei Linien zusammenfallen?

Zu wissen, wann zwei Geraden zusammenfallen, hängt davon ab, ob Sie mit zwei Koordinaten (in R2) oder mit drei Koordinaten (in R3) arbeiten.

Bestimmen Sie zwei zusammenfallende Linien in der Ebene

Wenn wir im zweidimensionalen (2D) Raum arbeiten, ist es sehr leicht zu erkennen, wann zwei Linien zusammenfallen und wann sie nicht aus der impliziten Gleichung oder der expliziten Gleichung der Linie entstehen.

Abgesehen von diesen beiden Möglichkeiten können wir auch überprüfen, ob zwei Geraden übereinstimmen, indem wir das Gleichungssystem lösen, das aus den Gleichungen der beiden Geraden besteht (wenn das System unendlich viele Lösungen liefert, bedeutet dies, dass sie übereinstimmen). Dieses Verfahren ist jedoch komplizierter und zeitaufwändiger, weshalb wir es nicht im Detail erklären, da es besser ist, es anhand der Koeffizienten der impliziten Gleichung oder der expliziten Gleichung durchzuführen.

Aus der impliziten (oder allgemeinen) Gleichung der Geraden

Eine Möglichkeit, festzustellen, ob zwei Linien zusammenfallen, besteht darin, die implizite Gleichung der Linie zu verwenden, die auch als allgemeine oder kartesische Gleichung bekannt ist.

Die implizite Gleichung der Geraden entspricht dem folgenden Ausdruck:

$Ax+By+C=0$

Wenn zwei Geraden die drei Proportionalkoeffizienten (A, B und C) haben , bedeutet dies, dass sie übereinstimmen.

$r: \ Ax+By+C=0 \qquad \qquad s: \ A'x+B'y+C'=0$

$\cfrac{A}{A'} = \cfrac{B}{B'}= \cfrac{C}{C'} \quad \longrightarrow \quad \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

Beispielsweise stimmen die folgenden zwei Zeilen überein:

$r: \ 4x+6y-2=0 \qquad \qquad s: \ 2x+3y-1=0$

Und sie fallen zusammen, weil die Parameter A, B und C proportional zueinander sind:

$\cfrac{4}{2} = \cfrac{6}{3}= \cfrac{-2}{-1}= 2$

Aus der expliziten Gleichung der Geraden

Eine andere Möglichkeit herauszufinden, ob zwei Geraden tatsächlich zusammenfallen, besteht darin, die explizite Geradengleichung zu verwenden. Denken Sie daran, dass die explizite Gleichung der Geraden wie folgt lautet:

$y=mx+n$

Wenn zwei Linien die gleiche Steigung (Koeffizient m) und die gleiche Ordinate im Ursprung (Koeffizient n) haben, handelt es sich um zwei kombinierte Linien.

$r: \ y=m_rx+n_r \qquad \qquad s: \ y=m_sx+n_s$

$\left.\begin{array}{c} m_r = m_s \\[2ex] n_r=n_s \end{array} \right\} \longrightarrow \ \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

Beispielsweise sind die beiden folgenden Linien identisch, da sie ursprünglich äquivalente Steigungen und Ordinaten haben:

$r: \ y=3x-1 \qquad \qquad s: \ y=3x-1$

Es ist zu beachten, dass sie parallele und keine zusammenfallenden Linien wären, wenn sie die gleiche Steigung hätten, aber im Ursprung unterschiedlich angeordnet wären.

Schließlich haben die beiden zusammenfallenden Linien, wie Sie im Beispiel sehen können, dieselbe explizite Gleichung. Dies gilt für jede Art von Geradengleichung: Wenn zwei Geraden in ihrer Gleichung zusammenfallen, bedeutet dies, dass sie koinzident sind.

Finden Sie zwei zusammenfallende Linien im Raum

Die Identifizierung zweier zusammenfallender Linien im Raum (in R3) unterscheidet sich von der in der kartesischen Ebene (in R2), da Berechnungen mit einer weiteren Koordinate durchgeführt werden müssen. Schauen wir uns also an, wie es gemacht wird:

Gegeben sind die Gleichungen zweier verschiedener Linien im Raum:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\[2ex]A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} A_1'x+B_1'y+C_1'z+D_1'=0 \\[2ex]A_2'x+B_2'y+C_2'z+D_2'=0 \end{cases}$

Und seien M und M‘ die durch die Koeffizienten der Geraden gebildeten Matrizen:

$\displaystyle M=\begin{pmatrix} A_1&B_1&C_1\\[1.1ex]A_2&B_2&C_2 \\[1.1ex]A_1'&B_1'&C_1'\\[1.1ex]A_2'&B_2'&C_2' \end{pmatrix}\qquad \qquad M'=\begin{pmatrix} A_1&B_1&C_1&D_1 \\[1.1ex]A_2&B_2&C_2&D_2 \\[1.1ex]A_1'&B_1'&C_1'&D_1'\\[1.1ex]A_2'&B_2'&C_2'&D_2' \end{pmatrix}$

Wenn dann der Rang der Matrizen M und M‘ gleich 2 ist, fallen die beiden Geraden zusammen.

$rg(M)=rg(M') = 2 \ \longrightarrow \ \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

Sehen wir uns anhand einer Schritt-für-Schritt-Übung ein Beispiel für zusammenfallende Linien im Raum an:

Stellen Sie fest, ob die folgenden beiden Zeilen übereinstimmen:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x+2y+z+3=0 \\[2ex]3x+4y+z+8=0 \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} x-z+2=0 \\[2ex]2y+2z+1=0 \end{cases}$

Die Matrix M und die erweiterte Matrix M‘ der Koeffizienten der Linien sind:

$\displaystyle M=\begin{pmatrix} 1&2&1 \\[1.1ex]3&4&1 \\[1.1ex]1&0&-1\\[1.1ex]0&2&2\end{pmatrix}\qquad \qquad M'=\begin{pmatrix} 1&2&1&3 \\[1.1ex]3&4&1&8 \\[1.1ex]1&0&-1&2\\[1.1ex]0&2&2&1\end{pmatrix}$

Nachdem wir beide Matrizen erstellt haben, müssen wir den Bereich jeder Matrix berechnen:

$rg(M)=2 \qquad \qquad rg(M') = 2$

Die Ränge der beiden Matrizen sind gleichwertig und haben darüber hinaus den Wert 2. Die beiden Zeilen sind also verwechselt.

$rg(M)=rg(M') = 2 \ \longrightarrow \ \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

Eigenschaften zusammenfallender Linien

Koinzidente Linien haben die folgenden Eigenschaften:

Die Richtungsvektoren (Vektor, der die Richtung der Geraden angibt) zweier zusammenfallender Geraden sind proportional und daher linear abhängig. Auch parallele Linien haben diese Eigenschaft.

Ebenso haben die Richtungsvektoren zweier zusammenfallender Geraden die gleiche Richtung.

Zwei zusammenfallende Linien werden im Diagramm durch dieselbe Linie dargestellt.

In diesem Sinne haben zwei zusammenfallende Linien alle Gemeinsamkeiten. Und deshalb sind die Schnittpunkte mit den Achsen gleich.

Offensichtlich sind zwei zusammenfallende Linien koplanar, das heißt, sie liegen in derselben Ebene.

Zusammenfallende linien