Binomial gewürfelt - Mathematik

Hier finden Sie die Erklärung der Auflösung des bemerkenswerten Produkts einer binomialen Kubikzahl (Formel), entweder (a+b) ³ oder (ab) ³ . Darüber hinaus können Sie Beispiele und Übungen sehen, die Schritt für Schritt von Binomialen bis zum Würfel gelöst werden.

Was ist ein kubisches Binomial?

Ein kubisches Binomial ist ein Polynom, das aus zwei Termen hoch 3 besteht. Folglich kann der algebraische Ausdruck eines kubischen Binomials (a+b) ³ oder (ab) ³ sein, je nachdem, ob wir ihre Monome addieren oder subtrahieren.

Darüber hinaus ist das kubische Binomial eine der bemerkenswerten Identitäten (oder bemerkenswerten Produkte). Genauer gesagt entspricht es einer der bemerkenswerten Identitäten des Würfels (oder Kubik).

binomiale Würfelformel

Wie wir in der Definition von Binomialwürfeln gesehen haben, kann diese Art bemerkenswerter Identität aus Addition oder Subtraktion bestehen. Daher variiert die Formel geringfügig, je nachdem, ob es sich um ein positives oder ein negatives Binomial handelt, und wir werden daher jeden Fall separat betrachten.

Würfel einer Summe

Wenn eine Summe quadriert wird, können wir sie mithilfe der Formel für die Kubik einer Summe berechnen:

Damit ist ein binomisches Kubikmaß (Addition) gleich der dritten Potenz des ersten, plus dem Tripel des Quadrats des ersten mal dem zweiten, plus dem Tripel des ersten mal dem Quadrat des zweiten, plus der dritten Potenz des zweiten.

Eine weitere Methode zur Berechnung der Potenz eines Binomials ist Newtons Binomialsatz (oder Binomialsatz). Wir hinterlassen Ihnen den folgenden Link mit der Erklärung dieses Theorems, da es sehr nützlich ist, diese Formel zu kennen, da sie nicht nur für Potenzen von Binomialen dritten Grades, sondern auch für höhere Exponenten funktioniert. Klicken Sie also auf diesen Link, um es herauszufinden und mit gelösten Newton-Binomialübungen üben zu können.

Würfel einer Differenz

Wenn wir hingegen anstelle einer Summe eine Differenz (oder Subtraktion) zur Kubik haben, ändert sich die Formel des Binomials zur Kubik im Vorzeichen der geraden Terme:

Binomial einer Differenz oder Subtraktion zur Würfelformel

Daher ist eine binomiale Kubik (Subtraktion) gleich der dritten Potenz des ersten, minus dem Dreifachen des Quadrats des ersten mal dem zweiten, plus dem dreifachen des ersten Quadrats des zweiten, minus der dritten Potenz des zweiten.

Somit unterscheiden sich die Formeln für die Potenz einer Summe und die Potenz einer Differenz nur in den Vorzeichen des zweiten und vierten Termes, da im Binomial einer Summe alle positiv sind und im Gegenteil in Die Binomiale einer Subtraktion sind beide negativ.

Wir haben gerade gesehen, was das Summenbinomial und das Differenzbinomial sind. Nun, Sie sollten wissen, dass die Differenzsumme zweier Binome ebenfalls eine bemerkenswerte Identität ist und tatsächlich zu den Top 3 (den wichtigsten) gehört. Wie die Formel für Summe mal Differenz lautet und wie sie angewendet wird, können Sie auf der verlinkten Seite sehen.

Beispiele für kubische Binome

Nachdem wir nun die Formel für die Potenz einer Summe und die Formel für die Potenz einer Differenz kennen, sehen wir uns ein Beispiel für die Lösung jeder Art von Binomialwürfeln an, um das Verständnis des Konzepts zu vervollständigen.

Beispiel für den Würfel einer Summe

Lösen Sie das Binomial in den folgenden Würfel auf, indem Sie die Formel anwenden:

$(x+2)^3$

In diesem Problem haben wir ein Binomial, dessen zwei Terme positiv sind. Wir müssen daher die Formel für eine Kubiksumme anwenden:

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

Wir müssen nun den Wert der Parameter ermitteln

$a$

Und

$b$

der Formel. In diesem Fall,

$a$

entsprechen der Variablen

$x$

Und

$b$

ist Nummer 2.

$\left. \begin{array}{l} (a+b)^3\\[2ex] (x+2)^3 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x \\[2ex] b=2 \end{array}$

Daher berechnen wir die Kubikzahl des Binomials, indem wir die Werte von ersetzen

$a$

und von

$b$

in der Formel:

Beispiel für ein Summen- und Differenz-Kubik-Binom

Beispiel eines Differenzwürfels

Berechnen Sie das nächste kubische Binomial (Differenz) mithilfe der entsprechenden Formel:

$(3x-2)^3$

In dieser Übung haben wir ein Paar mit einem positiven und einem negativen Element. Wir müssen daher die Formel für eine kubische Differenz verwenden:

$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2 -b^3$

Daher ist es notwendig, den Wert der Unbekannten zu ermitteln

$a$

Und

$b$

der Formel. In diesem Fall,

$a$

stellt das Monom 3x und dar

$b$

ist der unabhängige Term des Binomials, also 2.

$\left. \begin{array}{l} (a-b)^3\\[2ex] (3x-2)^3 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=3x \\[2ex] b=2 \end{array}$

Beachten Sie, dass der Parameter

$b$

ist einfach gleich 2, ohne das negative Vorzeichen der Zahl. Es ist wichtig, dies im Hinterkopf zu behalten, um die Formel richtig anzuwenden.

Schließlich lösen wir das kubische Binomial, indem wir die Werte von einsetzen

$a$

und von

$b$

in der Formel:

Negatives Binomial des perfekten Würfels

Beweis der Binomialwürfelformel

Als nächstes demonstrieren wir die Formel für ein kubisches Binomial. Obwohl es natürlich nicht notwendig ist, es zu wissen, ist es immer gut, die Algebra hinter einer Formel zu verstehen.

Aus einem positiven kubischen Binomial:

$(a+b)^3$

Der obige Ausdruck kann mathematisch in das Produkt des Faktors zerlegt werden

$(a+b)$

durch sein Quadrat:

$(a+b)^3=(a+b)\cdot (a+b)^2$

Darüber hinaus das Paar

$(a+b)$

Auf 2 erhöht ist es eine bemerkenswerte Identität, deshalb können wir es mit der Formel für das Quadrat einer Summe lösen:

$(a+b)\cdot (a+b)^2=(a+b)\cdot (a^2+2ab+b^2)$

Jetzt multiplizieren wir die beiden Klammern mit der Verteilungseigenschaft:

$\begin{aligned} (a+b)\cdot (a^2+2ab+b^2) & = a\cdot a^2 +a\cdot 2ab + a\cdot b^2+b\cdot a^2 +b\cdot 2ab +b \cdot b^2 \\[2ex] & = a^3+2a^2b+ab^2+ba^2+2ab^2+b^3 \end{aligned}$

Und zum Schluss müssen wir nur noch die Begriffe gruppieren, die ähnlich aussehen:

$a^3+2a^2b+ab^2+ba^2+2ab^2+b^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

Um die Formel eines kubischen Binomials zu überprüfen:

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

Um die negative Binomialwürfelformel abzuleiten, führen Sie logischerweise die gleichen Schritte aus, die wir gerade ausgeführt haben, beginnen jedoch mit dem Term

$b$

Vorzeichen geändert.

Andererseits lässt sich die Formel eines kubischen Binomials auch anhand des Pascalschen (oder Tartagliaschen) Dreiecks demonstrieren. Falls Sie nicht wissen, was dieser mathematische Trick ist, hinterlassen wir Ihnen diesen Link, in dem er Schritt für Schritt erklärt wird. Darüber hinaus können Sie alle Anwendungen und die besondere Geschichte dieses ganz besonderen algebraischen Dreiecks sehen.

Binomialwürfelprobleme gelöst

Damit Sie die Theorie, die wir gerade gesehen haben, zur Berechnung eines Binomials hoch 3 üben können, haben wir mehrere Übungen vorbereitet, die Schritt für Schritt zum Binomial hoch 3 gelöst werden.

Vergessen Sie also nicht, uns Ihre Meinung zu dieser Erklärung mitzuteilen! Und Sie können uns auch alle aufkommenden Fragen stellen! 👍👍👍

Übung 1

Finden Sie die folgenden kubischen Binome:

$\text{A)} \ (x+4)^3$

$\text{B)} \ \left(x^2-5\right)^3$

$\text{C)} \ \left(2x-1\right)^3$

$\text{D)} \ (5x+2)^3$

siehe Lösung

Um alle nennenswerten Identitäten des Problems zu finden, wenden Sie einfach die Binomialformel auf den Würfel an, je nachdem, ob es sich um eine Addition oder eine Subtraktion handelt:

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

$\text{A)} \ \begin{aligned}(x+4)^3& =x^3+3\cdot x^2\cdot 4 +3\cdot x\cdot 4^2+4^3\\[2ex] & =x^3+3\cdot x^2\cdot 4 +3\cdot x\cdot 16+64 \\[2ex] & = \bm{x^3+12x^2+48x+64}\end{aligned}$

$\text{B)} \ \begin{aligned}\left(x^2-5\right)^3& =\left(x^2\right)^3-3\cdot \left(x^2\right)^2\cdot 5 +3\cdot x^2\cdot 5^2-5^3\\[2ex] & =x^6-3\cdot x^4\cdot 5 +3\cdot x^2\cdot 25-125 \\[2ex] & = \bm{x^6-15x^4+75x^2-125}\end{aligned}$

$\text{C)} \ \begin{aligned}\left(2x-1\right)^3& =\left(2x\right)^3-3\cdot \left(2x\right)^2\cdot 1 +3\cdot 2x\cdot 1^2-1^3\\[2ex] & =8x^3-3\cdot 4x^2\cdot 1 +3\cdot 2x\cdot 1-1 \\[2ex] & = \bm{8x^3-12x^2+6x-1}\end{aligned}$

$\text{D)} \ \begin{aligned}(5x+2)^3& =(5x)^3+3\cdot \left(5x\right)^2\cdot 2 +3\cdot 5x\cdot 2^2+2^3\\[2ex] & =125x^3+3\cdot 25x^2\cdot 2 +3\cdot 5x\cdot 4+8 \\[2ex] & = \bm{125x^3+150x^2+60x+8}\end{aligned}$

Übung 2

Bestimmen Sie die folgenden Binome zur Potenz zweier Größen, indem Sie die entsprechende Formel anwenden:

$\text{A)} \ \left(4x^2-y^5\right)^3$

$\text{A)} \ \left(6x^3+2y^4\right)^3$

$\text{C)} \ \displaystyle \left(\frac{9}{2}x^2-\frac{4}{3}x\right)^3$

siehe Lösung

Um alle nennenswerten Produkte der Übung zu berechnen, müssen Sie die Formel für eine Summe und eine kubische Subtraktion verwenden:

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

$\text{A)} \ \begin{aligned}\left(4x^2-y^5\right)^3& =\left(4x^2\right)^3-3\cdot \left(4x^2\right)^2\cdot y^5 +3\cdot 4x^2\cdot \left(y^5\right)^2-\left(y^5\right)^3\\[2ex] & =64x^6-3\cdot 16x^4\cdot y^5 +3\cdot 4x^2\cdot y^{10}-y^{15} \\[2ex] & = \bm{64x^6-48x^4y^5+12x^2y^{10}-y^{15}}\end{aligned}$

$\text{B)} \ \begin{aligned}\left(6x^3+2y^4\right)^3& =\left(6x^3\right)^3+3\cdot \left(6x^3\right)^2\cdot 2y^4 +3\cdot 6x^3\cdot \left(2y^4\right)^2+\left(2y^4\right)^3\\[2ex] & =216x^9+3\cdot 36x^6\cdot 2y^4 +3\cdot 6x^3\cdot 4y^8+8y^{12} \\[2ex] & = \bm{216x^9+216x^6y^4 +72x^3y^8+8y^{12}}\end{aligned}$

Die Monome des letzten kubischen Binomials haben gebrochene Koeffizienten, daher müssen wir zur Lösung die Eigenschaften von Brüchen verwenden:

$\text{C)} \ \displaystyle \begin{aligned}\left(\frac{9}{2}x^2-\frac{4}{3}x\right)^3 & =\left(\frac{9}{2}x^2\right)^3-3\cdot \left(\frac{9}{2}x^2\right)^2\cdot \frac{4}{3}x +3\cdot \frac{9}{2}x^2\cdot \left(\frac{4}{3}x\right)^2-\left(\frac{4}{3}x\right)^3\\[3ex] & =\frac{9^3}{2^3}x^6-3\cdot \frac{9^2}{2^2}x^4\cdot \frac{4}{3}x +3\cdot \frac{9}{2}x^2\cdot \frac{4^2}{3^2}x^2-\frac{4^3}{3^3}x^3 \\[3ex] &= \frac{729}{8}x^6-3\cdot \frac{81}{4}x^4\cdot \frac{4}{3}x +3\cdot \frac{9}{2}x^2\cdot \frac{16}{9}x^2-\frac{64}{27}x^3 \\[3ex] &= \frac{729}{8}x^6-3\cdot \frac{324}{12}x^5 +3\cdot \frac{144}{18}x^4-\frac{64}{27}x^3 \\[3ex] &= \frac{729}{8}x^6-3\cdot 27x^5 +3\cdot 8x^4-\frac{64}{27}x^3 \\[3ex] & = \mathbf{\frac{729}{8}}\bm{x^6-81x^5 +24x^4-}\mathbf{\frac{64}{27}}\bm{x^3}\end{aligned}$

Was ist ein kubisches Binomial?

binomiale Würfelformel

Würfel einer Summe

Würfel einer Differenz

Beispiele für kubische Binome

Beispiel für den Würfel einer Summe

Beispiel eines Differenzwürfels

Beweis der Binomialwürfelformel

Binomialwürfelprobleme gelöst

Übung 1

Übung 2

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