Eigenwerte (oder eigenwerte) und eigenvektoren (oder eigenvektoren) einer matrix

Auf dieser Seite erklären wir, was Eigenwerte und Eigenvektoren sind, auch Eigenwerte bzw. Eigenvektoren genannt. Außerdem finden Sie Beispiele zur Berechnung sowie Schritt für Schritt gelöste Übungsaufgaben zum Üben.

Was ist ein Eigenwert und ein Eigenvektor?

Obwohl der Begriff Eigenwert und Eigenvektor schwer zu verstehen ist, lautet seine Definition wie folgt:

Eigenvektoren oder Eigenvektoren sind die Nicht-Null-Vektoren einer linearen Karte, die bei ihrer Transformation ein skalares Vielfaches davon ergeben (sie ändern ihre Richtung nicht). Dieser Skalar ist der Eigenwert oder Eigenwert .

Av = \lambda v

Gold

A

ist die Matrix der linearen Karte,

v

ist der Eigenvektor und

\lambda

eigenen Wert.

Der Eigenwert wird auch als charakteristischer Wert bezeichnet. Und es gibt sogar Mathematiker, die die deutsche Wurzel „eigen“ verwenden, um Eigenwerte und Eigenvektoren zu bezeichnen: Eigenwerte für Eigenwerte und Eigenvektoren für Eigenvektoren.

Wie berechnet man die Eigenwerte (oder Eigenwerte) und die Eigenvektoren (oder Eigenvektoren) einer Matrix?

Um die Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix zu finden, muss man einem ganzen Verfahren folgen:

  1. Die charakteristische Gleichung der Matrix wird durch Lösen der folgenden Determinante berechnet:
  2. \displaystyle \text{det}(A-\lambda I)

  3. Wir finden die Wurzeln des in Schritt 1 erhaltenen charakteristischen Polynoms. Diese Wurzeln sind die Eigenwerte der Matrix.
  4. \displaystyle \text{det}(A-\lambda I)=0 \ \longrightarrow \ \lambda

  5. Der Eigenvektor jedes Eigenwerts wird berechnet. Dazu wird für jeden Eigenwert das folgende Gleichungssystem gelöst:
  6. \displaystyle (A-\lambda I)v=0

Dies ist die Methode zum Finden der Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix, aber hier geben wir Ihnen auch einige Tipps: 😉

Tipps : Wir können die Eigenschaften von Eigenwerten und Eigenvektoren nutzen, um sie einfacher zu berechnen:

Die Spur der Matrix (Summe ihrer Hauptdiagonalen) ist gleich der Summe aller Eigenwerte.

\displaystyle tr(A)=\sum_{i=1}^n \lambda_i

Das Produkt aller Eigenwerte ist gleich der Determinante der Matrix.

\displaystyle det(A)=\prod_{i=1}^n \lambda_i

Liegt eine Linearkombination zwischen Zeilen oder Spalten vor, ist mindestens ein Eigenwert der Matrix gleich 0.

Sehen wir uns ein Beispiel an, wie die Eigenvektoren und Eigenwerte einer Matrix berechnet werden, um die Methode besser zu verstehen:

Beispiel für die Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix:

  • Finden Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrix:

\displaystyle A= \begin{pmatrix}1&0\\[1.1ex] 5&2\end{pmatrix}

Zuerst müssen wir die charakteristische Gleichung der Matrix finden. Und dazu muss folgende Determinante gelöst werden:

\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}1- \lambda &0\\[1.1ex] 5&2-\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2-3\lambda +2

Jetzt berechnen wir die Wurzeln des charakteristischen Polynoms, setzen also das erhaltene Ergebnis auf 0 und lösen die Gleichung:

\displaystyle \lambda^2-3\lambda +2 = 0

\lambda= \cfrac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 1 \cdot 2}}{2\cdot 1} = \cfrac{+3\pm 1}{2}=\begin{cases} \lambda = 1 \\[2ex] \lambda = 2 \end{cases}

Die Lösungen der Gleichung sind die Eigenwerte der Matrix.

Sobald wir die Eigenwerte haben, berechnen wir die Eigenvektoren. Dazu müssen wir für jeden Eigenwert das folgende System lösen:

\displaystyle (A-\lambda I)v=0

Wir berechnen zunächst den Eigenvektor zum Eigenwert 1:

\displaystyle (A-\lambda I)v=0

\displaystyle (A-1 I)\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}

\displaystyle \begin{pmatrix}0&0\\[1.1ex] 5&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}

\displaystyle \left.\begin{array}{l} 0x+0y = 0 \\[2ex] 5x+y = 0\end{array}\right\}

Aus diesen Gleichungen erhalten wir den folgenden Unterraum:

\displaystyle y=-5x

Eigenvektor-Unterräume werden auch Eigenräume genannt.

Jetzt müssen wir eine Basis für diesen Reinraum finden, also geben wir der Variablen beispielsweise den Wert 1

x

und wir erhalten den folgenden Eigenvektor:

\displaystyle x = 1 \ \longrightarrow \ y=-5\cdot 1 = -5

\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -5\end{pmatrix}

Sobald schließlich der Eigenvektor zu Eigenwert 1 gefunden wurde, wiederholen wir den Vorgang, um den Eigenvektor für Eigenwert 2 zu berechnen:

\displaystyle (A-\lambda I)v=0

\displaystyle (A-2I)\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}

\displaystyle \begin{pmatrix}-1&0\\[1.1ex] 5&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}

\displaystyle \left.\begin{array}{l} -x+0y = 0 \\[2ex] 5x+0y = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ x=0

In diesem Fall muss nur die erste Komponente des Vektors 0 sein, sodass wir ihr einen beliebigen Wert zuweisen können

y

. Aber der Einfachheit halber ist es besser, eine 1 zu setzen:

\displaystyle v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 1 \end{pmatrix}

Zusammenfassend sind die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix:

\displaystyle \lambda = 1 \qquad v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -5 \end{pmatrix}

\displaystyle \lambda = 2 \qquad v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 1 \end{pmatrix}

Sobald Sie wissen, wie man die Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix findet, fragen Sie sich vielleicht … und wozu dienen sie? Nun, es stellt sich heraus, dass sie für die Matrixdiagonalisierung sehr nützlich sind, tatsächlich ist dies ihre Hauptanwendung. Um mehr zu erfahren, empfehlen wir Ihnen, sich mit dem Link „Diagonalisieren einer Matrix“ anzuschauen. Dort wird die Vorgehensweise Schritt für Schritt erklärt und es gibt auch Beispiele und gelöste Übungen zum Üben.

Gelöste Aufgaben zu Eigenwerten und Eigenvektoren (Eigenwerte und Eigenvektoren)

Übung 1

Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden quadratischen Matrix der Ordnung 2:

\displaystyle A= \begin{pmatrix}3&1\\[1.1ex] 2&4\end{pmatrix}

Übung 2

Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden 2×2-Quadratmatrix:

\displaystyle A= \begin{pmatrix}2&1\\[1.1ex] 3&0\end{pmatrix}

Übung 3

Bestimmen Sie die Eigenwerte und die Eigenvektoren der folgenden Matrix der Ordnung 3:

\displaystyle A= \begin{pmatrix}1&2&0\\[1.1ex] 2&1&0\\[1.1ex] 0&1&2\end{pmatrix}

Übung 4

Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden 3×3-Quadratmatrix:

\displaystyle A= \begin{pmatrix}2&1&3\\[1.1ex]-1&1&1\\[1.1ex] 1&2&4\end{pmatrix}

Übung 5

Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden 3×3-Matrix:

\displaystyle A= \begin{pmatrix}2&2&2\\[1.1ex] 1&2&0\\[1.1ex] 0&1&3\end{pmatrix}

Übung 6

Finden Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden 4×4-Matrix:

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\[1.1ex] 2&-1&-3&0\\[1.1ex] -2&0&2&0\\[1.1ex] 0&0&0&3\end{pmatrix}

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