Berechnen Sie das Skalarprodukt zweier Vektoren -

Auf dieser Seite erfahren Sie, was das ist und wie Sie das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen. Außerdem erfahren Sie, wie Sie mit dem Skalarprodukt den Winkel zwischen zwei Vektoren ermitteln und darüber hinaus alle Eigenschaften des Skalarprodukts. Abschließend können Sie anhand von Schritt für Schritt gelösten Beispielen und Übungen üben.

So berechnen Sie das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren

In der Mathematik ist das Skalarprodukt eine Vektoroperation, die zwei Vektoren multipliziert und in eine reelle Zahl umwandelt. Es gibt also zwei Möglichkeiten, das Skalarprodukt zweier Vektoren zu berechnen:

Wenn wir die Koordinaten zweier Vektoren kennen, können wir ihr Skalarprodukt ermitteln, indem wir die X- und Y-Komponenten miteinander multiplizieren und dann die Ergebnisse addieren. Mit anderen Worten, wenn wir zwei Vektoren haben:

$\vv{\text{u}} = (\text{u}_x,\text{u}_y) \qquad \vv{\text{v}} = (\text{v}_x,\text{v}_y)$

Das Skalarprodukt zwischen ihnen ist:

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} = \text{u}_x\cdot \text{v}_x + \text{u}_y\cdot \text{v}_y$

Das Skalarprodukt zwischen den folgenden zwei Vektoren ist beispielsweise:

$\vv{\text{u}} = (1,2) \qquad \vv{\text{v}} = (-1,3)$

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}&=(1,2)\cdot (-1,3) \\[1.5ex]&=1\cdot (-1) + 2 \cdot 3 \\[1.5ex] & = -1+6 \\[1.5ex] & =\bm{5} \end{aligned}$

Es ist eine Möglichkeit, das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren zu finden. Es gibt jedoch auch eine andere Methode:

Wenn wir andererseits den Modul und den Winkel zwischen zwei Vektoren kennen, kann das Skalarprodukt zwischen den beiden Vektoren bestimmt werden, indem das Produkt ihrer Module mit dem Kosinus des von ihnen gebildeten Winkels berechnet wird:

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha )$

Gold

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert$

Und

$\lvert \vv{\text{v}} \rvert$

sind die Module der Vektoren

$\vv{\text{u}}$

Und

$\vv{\text{v}}$

bzw. und

$\alpha$

der Winkel, den sie bilden.

Denken Sie daran, dass der Betrag eines Vektors die Wurzel der Quadrate seiner Komponenten ist:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ \text{u}_x^2+\text{u}_y^2}$

Als Beispiel lösen wir das Skalarprodukt zweier Vektoren, deren Module und der Winkel zwischen ihnen sind:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert =3 \qquad \lvert \vv{\text{v}} \rvert = 4 \qquad \alpha=60º$

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha ) \\[1.5ex] &= 3 \cdot 4 \cdot \cos(60º)\\[1.5ex] & = 3 \cdot 4 \cdot 0,5 \\[1.5ex] &= \bm{6} \end{aligned}$

Andererseits wird das Skalarprodukt auch Skalarprodukt, Skalarprodukt oder Skalarprodukt genannt.

Hinweis: Verwechseln Sie Punktprodukt nicht mit Kreuzprodukt, denn obwohl sie ähnliche Namen haben, handelt es sich um völlig unterschiedliche Konzepte.

Ermitteln Sie den Winkel zwischen zwei Vektoren mithilfe des Skalarprodukts

Sobald wir die Definition des Skalarprodukts kennengelernt haben, fragen Sie sich vielleicht, wozu die Multiplikation zweier Vektoren dient? Nun, eine der Anwendungen des Skalarprodukts besteht darin, den Winkel zu berechnen, der von zwei Vektoren gebildet wird.

Winkel zwischen zwei Skalarproduktvektoren

Durch Lösen des Kosinus der Skalarproduktformel erhalten wir:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}\newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}\end{empheq}$

Sehen wir uns anhand eines Beispiels an, wie das geht:

Finden Sie den Winkel zwischen den folgenden zwei Vektoren:

$\vv{\text{u}} = (4,2) \qquad \vv{\text{v}} = (-1,5)$

Zuerst müssen wir den Betrag der beiden Vektoren ermitteln:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ 4^2+2^2}= \sqrt{20}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ (-1)^2+5^2}= \sqrt{26}$

Nun berechnen wir mit der Formel den Kosinus des Winkels zwischen den beiden Vektoren:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 4\cdot (-1) + 2\cdot 5}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{26}} = \cfrac{6}{\sqrt{520}} = 0,26$

Schließlich ermitteln wir den entsprechenden Winkel, indem wir mit dem Taschenrechner die Umkehrung des Kosinus berechnen:

$\displaystyle \cos^{-1}(0,26) = \bm{74,93º}$

Daher bilden die Vektoren einen Winkel von 74,93º.

Eigenschaften des Skalarprodukts zweier Vektoren

Das Skalarprodukt weist folgende Eigenschaften auf:

Kommutative Eigenschaft : Die Reihenfolge, in der die Vektoren multipliziert werden, spielt keine Rolle.

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} =\vv{\text{v}} \cdot \vv{\text{u}}$

Verteilungseigenschaft : Das Skalarprodukt ist distributiv in Bezug auf die Addition und Subtraktion von Vektoren:

$\displaystyle \vv{\text{u}}( \vv{\text{v}}+ \vv{\text{w}} )=\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}+ \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{w}}$

$\displaystyle \vv{\text{u}}( \vv{\text{v}}- \vv{\text{w}} )=\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}- \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{w}}$

Assoziative Eigenschaft : Wir können das Skalarprodukt vor oder nach der Ausführung der Operation mit einer Konstanten multiplizieren, da die Ergebnisse äquivalent sind:

$\displaystyle k\cdot (\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}) = (k\cdot\vv{\text{u}}) \cdot \vv{\text{v}} =\vv{\text{u}} \cdot (k\cdot\vv{\text{v}})$

Wenn zwei Vektoren orthogonal (oder senkrecht) sind, ist ihr Skalarprodukt Null. Diese Eigenschaft lässt sich leicht demonstrieren, da zwei senkrecht zueinander stehende Vektoren einen Winkel von 90 Grad bilden und der Kosinus von 90 Grad gleich 0 ist:

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(90º ) \\[1.5ex] &=\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot 0 \\[1.5ex] &= 0 \end{aligned}$

Sind hingegen zwei Vektoren parallel , dann ist ihr Skalarprodukt dasselbe wie das Produkt ihrer Module. Diese Eigenschaft kann auch leicht überprüft werden, da zwei Vektoren derselben Richtung einen Winkel von 0° bilden, dessen Kosinus gleich 1 ist:

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(0º) \\[1.5ex] &=\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot 1 \\[1.5ex] &= \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \end{aligned}$

Schließlich entspricht das Skalarprodukt eines Vektors für sich genommen seinem Betrag im Quadrat:

$\displaystyle\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{u}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert ^2$

Skalarproduktprobleme zwischen zwei Vektoren gelöst

Übung 1

Berechnen Sie das Skalarprodukt in der Ebene der folgenden zwei Vektoren:

$\vv{\text{u}} = (4,-3) \qquad \vv{\text{v}} = (5,2)$

siehe Lösung

Um das Skalarprodukt zweier Vektoren zu berechnen, müssen wir ihre X-Koordinaten und ihre Y-Koordinaten miteinander multiplizieren und dann die Ergebnisse addieren:

$\displaystyle \begin{aligned}\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = (4,-3)\cdot (5,2) \\[1.5ex] & = 4\cdot 5 + (-3) \cdot 2 \\[1.5ex] & = 20-6\\[1.5ex] & =\bm{14} \end{aligned}$

Übung 2

Bestimmen Sie das Skalarprodukt zweier Vektoren, deren Module und Winkel sie bilden:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert =6 \qquad \lvert \vv{\text{v}} \rvert = 3 \qquad \alpha=45º$

siehe Lösung

Da wir ihre Module und ihren Winkel zwischen ihnen kennen, können wir die Skalarproduktformel direkt anwenden:

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha ) \\[1.5ex] &= 6 \cdot 3 \cdot \cos(45º)\\[1.5ex] & = 6 \cdot 3 \cdot 0,71 \\[1.5ex] &= \bm{12,73} \end{aligned}$

Übung 3

Wie groß ist der Winkel zwischen den folgenden beiden Vektoren?

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(3,8) \qquad \vv{\text{v}} =(-4,1)$

siehe Lösung

Zuerst müssen wir den Betrag der beiden Vektoren berechnen:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ 3^2+8^2}= \sqrt{73}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ (-4)^2+1^2}= \sqrt{17}$

Wir verwenden die Formel, um den Kosinus des von den Vektoren gebildeten Winkels zu berechnen:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 3\cdot (-4) + 8\cdot 1}{\sqrt{73}\cdot \sqrt{17}} = \cfrac{-4}{\sqrt{1241}} = -0,11$

Und schließlich finden wir den entsprechenden Winkel, indem wir mit dem Taschenrechner die Umkehrung des Kosinus berechnen:

$\displaystyle \cos^{-1}(-0,11) = \bm{96,52º}$

Übung 4

Betrachten Sie die folgenden zwei Vektoren:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(5,2) \qquad \vv{\text{v}} =(-1,6)$

Berechnen Sie die folgende Operation:

$4 \bigl(\vv{\text{u}} \cdot\vv{\text{v}}\bigr)$

siehe Lösung

Wir müssen zuerst nach dem Skalarprodukt innerhalb der Klammern auflösen und dann die Multiplikation mit dem Skalarprodukt außerhalb durchführen:

$4 \bigl(\vv{\text{u}} \cdot\vv{\text{v}}\bigr)$

$4 \bigl((5,2) \cdot (-1,6) \bigr)$

$4 \bigl(5 \cdot (-1) + 2 \cdot 6 \bigr)$

$4 \bigl(-5 + 12 \bigr)$

$4 \cdot 7$

$\bm{28}$

Übung 5

Gegeben sind die folgenden drei zweidimensionalen Vektoren:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-2,6) \qquad \vv{\text{v}} =(4,-3)\qquad \vv{\text{w}} =(-1,2)$

Berechnen Sie die folgende Operation:

$\vv{\text{w}} \cdot \bigl( 5 \vv{\text{u}}- 2 \vv{\text{v}}\bigr)$

siehe Lösung

Zuerst multiplizieren wir die Vektoren mit den Skalaren in Klammern:

$\vv{\text{w}} \cdot \bigl( 5 \vv{\text{u}}- 2 \vv{\text{v}}\bigr)$

$(-1,2) \cdot \bigl( 5 (-2,6)- 2(4,-3)\bigr)$

$(-1,2) \cdot \bigl( (-10,30)- (8,-6)\bigr)$

Jetzt führen wir die Vektorsubtraktion durch:

$(-1,2) \cdot (-10 -8,30-(-6))$

$(-1,2) \cdot (-18,36)$

Und schließlich lösen wir das Skalarprodukt:

$(-1)\cdot (-18) + 2 \cdot 36$

$18 + 72$

$\bm{90}$

Übung 6

Berechnen Sie den Wert von

$k$

so dass die folgenden Vektoren senkrecht stehen:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-2,-3) \qquad \vv{\text{v}} =(k,6)$

siehe Lösung

Zwei senkrecht zueinander stehende Vektoren bilden einen Winkel von 90°. Der Kosinus des Winkels muss also Null sein, da cos(90º)=0. Noch:

$\displaystyle \cos(90º) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

$\displaystyle 0=\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

Der Nenner des Bruchs teilt die gesamte rechte Seite der Gleichung, sodass wir sie durch Multiplikation auf der anderen Seite weitergeben können:

$\displaystyle 0 \cdot \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

$\displaystyle 0 =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

Wir lösen nun das Skalarprodukt:

$\displaystyle 0 =(-2,-3) \cdot (k,6)$

$\displaystyle 0 =-2 \cdot k + (-3)\cdot 6$

$\displaystyle 0 =-2 k -18$

Und schließlich klären wir das Unbekannte:

$\displaystyle 2k =-18$

$\displaystyle k =\cfrac{-18}{2}$

$\displaystyle \bm{k =-9}$

Übung 7

Winkel berechnen

$\alpha , \beta$

Und

$\gamma$

die die Seiten des folgenden Dreiecks bilden:

Übungen und Schritt für Schritt gelöste Probleme des Skalarprodukts zweier Vektoren

siehe Lösung

Die Eckpunkte, aus denen das Dreieck besteht, sind die folgenden Punkte:

$A(2,1) \qquad B(4,4) \qquad C(6,2)$

Um die Innenwinkel des Dreiecks zu berechnen, können wir die Vektoren jeder seiner Seiten berechnen und dann den Winkel, den sie bilden, mithilfe der Skalarproduktformel ermitteln.

Zum Beispiel, um den Winkel zu finden

$\alpha$

Wir berechnen die Vektoren seiner Seiten:

$\vv{AB} = B - A = (4,4)-(2,1)= (2,3)$

$\vv{AC} = C - A = (6,2)-(2,1)= (4,1)$

Und wir ermitteln den Winkel, den die beiden Vektoren bilden, mithilfe der Skalarproduktformel:

$\lvert \vv{AB} \rvert = \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13}$

$\lvert \vv{AC} \rvert = \sqrt{4^2+1^2} = \sqrt{17}$

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{AC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{AC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 4 + 3\cdot 1}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{17}} = \cfrac{11}{\sqrt{221}} =0,74$

$\bm{\alpha = 42,27º}$

Jetzt wiederholen wir den gleichen Vorgang, um den Winkel zu bestimmen

$\beta:$

$\vv{BC} = C - B = (6,2)-(4,4)= (2,-2)$

$\lvert \vv{BC} \rvert = \sqrt{2^2+(-2)^2} = \sqrt{8}$

$\displaystyle \cos(\beta) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{BC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{BC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 2 + 3\cdot (-2)}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{8}} = \cfrac{-2}{\sqrt{104}} =-0,20$

$\bm{\beta = 101,31º}$

Um schließlich den letzten Winkel zu finden, können wir den gleichen Vorgang wiederholen. Allerdings müssen sich alle Winkel in einem Dreieck zu 180 Grad addieren, also:

$\gamma = 180 -42,27-101,31 = \bm{36,42º}$

Berechnen sie das skalarprodukt zweier vektoren

So berechnen Sie das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren

Ermitteln Sie den Winkel zwischen zwei Vektoren mithilfe des Skalarprodukts

Eigenschaften des Skalarprodukts zweier Vektoren

Skalarproduktprobleme zwischen zwei Vektoren gelöst

Übung 1

Übung 2

Übung 3

Übung 4

Übung 5

Übung 6

Übung 7

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