Auf dieser Seite erfahren Sie, was Matrixgleichungen sind und wie Sie sie lösen. Darüber hinaus finden Sie Beispiele und gelöste Aufgaben zu Gleichungen mit Matrizen.
Was sind Matrixgleichungen?
Matrixgleichungen sind wie normale Gleichungen, bestehen jedoch nicht aus Zahlen, sondern aus Matrizen. Zum Beispiel:
Daher wird Lösung X auch eine Matrix sein.
Wie Sie bereits wissen, können Matrizen nicht geteilt werden. Daher kann die Matrix X nicht durch Division der Matrix, die sie multipliziert hat, auf der anderen Seite der Gleichung gelöscht werden:
Im Gegenteil, um die X-Matrix zu löschen, muss ein ganzes Verfahren befolgt werden. Sehen wir uns also an, wie man Matrixgleichungen mit einer gelösten Übung löst:
So lösen Sie Matrixgleichungen. Beispiel:
- Lösen Sie die folgende Matrixgleichung:
Als Erstes müssen wir nach Matrix X auflösen . Also subtrahieren wir Matrix B von der anderen Seite der Gleichung:
Zum Abschluss kann die Clearing-Matrix nicht geteilt werden. Aber wir müssen Folgendes tun:
Wir müssen beide Seiten der Gleichung mit der Umkehrung der Matrix multiplizieren, die die Matrix X multipliziert, und außerdem beide Seiten mit der Seite multiplizieren, auf der sich diese Matrix befindet.
In diesem Fall ist die Matrix, die X multipliziert, A und befindet sich links davon. Wir multiplizieren daher links beide Seiten der Gleichung mit der Umkehrung von A (A -1 ):
Eine mit ihrer Umkehrung multiplizierte Matrix ist gleich der Identitätsmatrix. Noch
Jede mit der Identitätsmatrix multiplizierte Matrix ergibt dieselbe Matrix. Noch:
Und auf diese Weise haben wir X bereits gelöscht. Führen Sie nun nur noch die Matrixoperationen durch. Also berechnen wir zunächst die 2 × 2-Umkehrmatrix von A:
Wir berechnen den Adjungierten der Matrix A:
Und sobald die adjungierte Matrix gefunden ist, fahren wir mit der Berechnung der transponierten Matrix fort, um die inverse Matrix zu bestimmen:
Jetzt setzen wir alle Matrizen in den Ausdruck ein, um X zu berechnen:
Und wir fahren damit fort, die Operationen mit Matrizen zu lösen. Wir berechnen zunächst die Klammern, indem wir die Matrizen subtrahieren:
Und schließlich multiplizieren wir die Matrizen:
Probleme mit Matrixgleichungen gelöst
Damit Sie das Konzept üben und somit gut verstehen können, hinterlassen wir Ihnen im Folgenden einige gelöste Matrixgleichungen. Sie können die Übungen ausprobieren und sehen, ob Ihnen die Lösungen gelungen sind. Vergessen Sie nicht, dass Sie uns auch alle Fragen stellen können, die in den Kommentaren auftauchen.
Übung 1
Sei
Und
die folgenden quadratischen Matrizen der Dimension 2×2:
Berechnen Sie die Matrix
welches die folgende Matrixgleichung erfüllt:
Übung 2
Sei
,
Und
die folgende Reihenfolge 2 Matrizen:
Berechnen Sie die Matrix
welches die folgende Matrixgleichung erfüllt:
Übung 3
Sei
,
Und
die folgenden Matrizen zweiter Ordnung:
Finden Sie die Matrix
welches die folgende Matrixgleichung erfüllt:
Übung 4
Sei
Und
die folgenden Matrizen der Dimension 3×3:
Berechnen Sie die Matrix
welches die folgende Matrixgleichung erfüllt: