Matrix transponieren (oder transponieren)

Auf dieser Seite erfahren Sie, wie Sie die Transpositionsmatrix (oder Transpositionsmatrix) berechnen. Sie sehen auch gelöste Übungen, sodass Sie keine Zweifel haben, wie eine Matrix transponiert wird.

Wie berechnet man die transponierte Matrix (oder Transposition)?

Die Transponierungsmatrix , auch Transponierungsmatrix genannt, ist die Matrix, die durch die Umwandlung von Zeilen in Spalten erhalten wird. Die transponierte Matrix wird dargestellt, indem oben rechts in der Matrix ein „t“ eingefügt wird (A ^t ).

Transponieren wir zum Beispiel die folgende Matrix:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 4 & 5 & 0 \end{pmatrix}$

Um die Matrix A zu transponieren, ändern Sie einfach die Zeilen durch die Spalten . Mit anderen Worten: Die erste Zeile der Matrix wird zur ersten Spalte der Matrix und die zweite Zeile der Matrix wird zur zweiten Spalte der Matrix:

$\displaystyle A^t= \begin{pmatrix} 2 & 4 \\[1.1ex] 3 & 5 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

Hier sind einige Beispiele, wie man die transponierte Matrix findet:

Beispiele für transponierte Matrizen

Beispiel 1

$\displaystyle B= \begin{pmatrix} 1 & 5\\[1.1ex] 7 & 2 \end{pmatrix}$

siehe Lösung

$\displaystyle B^t= \begin{pmatrix} 1 & 7\\[1.1ex] 5 & 2 \end{pmatrix}$

Beispiel 2

$\displaystyle C= \begin{pmatrix} -1 & 4 & 3 \\[1.1ex] 5 & 3 & 2 \\[1.1ex] 6 & 0 & 9 \end{pmatrix}$

siehe Lösung

$\displaystyle C^t= \begin{pmatrix} -1 & 5 & 6 \\[1.1ex] 4 & 3 & 0 \\[1.1ex] 3 & 2 & 9 \end{pmatrix}$

Beispiel 3

$\displaystyle D= \begin{pmatrix} 2 & 6 & -1 \end{pmatrix}$

siehe Lösung

$\displaystyle D^t= \begin{pmatrix}2 \\[1.1ex] 6 \\[1.1ex] -1 \end{pmatrix}$

Beispiel 4

$\displaystyle E= \begin{pmatrix} 9 & 0 \\[1.1ex] 2 & -1 \\[1.1ex] 5 & 3 \end{pmatrix}$

siehe Lösung

$\displaystyle E^t= \begin{pmatrix} 9 & 2 & 5 \\[1.1ex] 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}$

Eine Verwendung der Matrixtransponierung besteht darin , die inverse Matrix mit der beigefügten Matrixformel oder anhand von Determinanten zu berechnen . Um diese Methode anwenden zu können, müssen Sie zwar auch wissen, wie man Determinanten löst, auf der verlinkten Seite finden Sie jedoch eine Erklärung des gesamten Verfahrens und können sich auch Beispiele und Übungen ansehen, die Schritt für Schritt gelöst werden.

Eigenschaften der transponierten Matrix

Die transponierte Matrix weist folgende Eigenschaften auf:

Involutionelle Eigenschaft: Die Transponierte einer transponierten Matrix ist gleich der Originalmatrix.

$\left(A^t\right)^t = A$

Verteilungseigenschaft: Das Hinzufügen zweier Matrizen und das anschließende Transponieren des Ergebnisses läuft darauf hinaus, zunächst jede Matrix zu transponieren und sie dann zu addieren:

$\left(A+B\right)^t = A^t+B^t$

Lineare Eigenschaft (Produkt von Matrizen): Das Multiplizieren zweier Matrizen und das anschließende Transponieren des Ergebnisses ist gleichbedeutend damit, zunächst jede Matrix zu transponieren und sie dann zu multiplizieren, wobei jedoch die Reihenfolge der Multiplikation geändert wird:

$\left(A\cdot B\right)^t = B^t\cdot A^t$

Lineare (konstante) Eigenschaft: Das Transponieren des Ergebnisses des Produkts einer Matrix durch eine Konstante entspricht der Multiplikation der bereits mit der Konstanten transponierten Matrix.

$\left(c\cdot A\right)^t = c\cdot A^t$

Symmetrische Matrix: Wenn die Transponierte einer Matrix gleich der Matrix ohne Transponierte ist, sagen wir, dass es sich um eine symmetrische Matrix handelt:

$\left.\begin{pmatrix} 7 & 1 & 3 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \\[1.1ex] 3 & 2 & 5 \end{pmatrix} \right.^t = \begin{pmatrix} 7 & 1 & 3 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \\[1.1ex] 3 & 2 & 5 \end{pmatrix}$

Antisymmetrische Eigenschaft: Wenn wir beim Transponieren einer mathematischen Matrix dieselbe Matrix erhalten, jedoch mit geändertem Vorzeichen aller Elemente, handelt es sich um eine antisymmetrische Matrix:

$\left.\begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\[1.1ex] -2 & 0 & 6 \\[1.1ex] -4 & -6 & 0 \end{pmatrix}\right.^t = \begin{pmatrix} 0 & -2 & -4 \\[1.1ex] 2 & 0 & -6 \\[1.1ex] 4 & 6 & 0 \end{pmatrix}$

Wie berechnet man die transponierte Matrix (oder Transposition)?

Beispiele für transponierte Matrizen

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Eigenschaften der transponierten Matrix

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