Auf dieser Seite wird erklärt, was homogene Polynome sind. Außerdem sehen Sie Beispiele für homogene Polynome und die Eigenschaften dieses Polynomtyps. Darüber hinaus finden Sie den Unterschied zwischen homogenen Polynomen und heterogenen Polynomen.
Was ist ein homogenes Polynom?
Die Definition eines homogenen Polynoms lautet wie folgt:
In der Mathematik ist ein homogenes Polynom ein Polynom, bei dem alle Terme den gleichen Grad haben.
Ein Beispiel für ein homogenes Polynom wäre:
In diesem Fall handelt es sich um ein homogenes Polynom dritten Grades, da alle Monome, die Teil des Polynoms sind, dritten Grades sind.
Wenn Sie Zweifel daran haben, wie der Grad eines Termes eines homogenen Polynoms berechnet wird, können Sie unsere Seite „Was sind die Teile eines Monoms“ konsultieren, wo Sie nicht nur erfahren, wie Sie den Grad eines Monoms ermitteln, sondern auch die Erklärung aller Teile eines Monoms und wie man sie identifiziert. Darüber hinaus können Sie Beispiele sehen und mit Schritt für Schritt gelösten Übungen üben.
Beispiele für homogene Polynome
Nachdem wir gesehen haben, was es bedeutet, dass ein Polynom homogen ist, schauen wir uns einige Beispiele für homogene Polynome an, um das Konzept besser zu verstehen:
- Beispiel eines homogenen Polynoms vom Grad 5:
- Beispiel eines homogenen Polynoms vom Grad 7:
- Beispiel eines homogenen Polynoms vom Grad 13:
Homogenes Polynom und heterogenes Polynom
Es ist zu beachten, dass ein anderes Polynom, das dem homogenen Polynom sehr ähnlich ist, das heterogene Polynom ist, obwohl zwischen ihnen ein grundlegender Unterschied besteht:
Ein heterogenes Polynom ist ein Polynom, bei dem nicht alle Terme den gleichen Grad haben.
Daher ist das Polynom nur dann heterogen, wenn ein Monom des Polynoms einen anderen Grad als die übrigen Elemente hat.
Beispielsweise ist das folgende Polynom heterogen:
Obwohl zwei der Terme im Polynom den Grad 4 haben (x 4 , 2x 3 y), handelt es sich tatsächlich um ein heterogenes Polynom, da es einen anderen Term unterschiedlichen Grades hat (8x 2 hat den Grad 2).
Wie Sie sehen, sind homogene und heterogene Polynome einander sehr ähnlich und können leicht verwechselt werden, daher müssen wir vorsichtig sein.
Eigenschaften homogener Polynome
Homogene Polynome haben die folgenden Eigenschaften
- Die Anzahl verschiedener homogener Monome vom Grad M in einem Polynom aus N Variablen kann mit der folgenden Formel berechnet werden:
Vielleicht ist das „ ! ” » Es kommt Ihnen seltsam vor, dass es in der Algebra verwendet wird. Nun, Sie sollten wissen, dass es verwendet wird, um eine spezielle mathematische Operation anzugeben, die als Fakultät einer Zahl bezeichnet wird. Woraus dieser Vorgang besteht und wofür er verwendet wird, können Sie im vorherigen Link sehen.
- Der Ausdruck für die Taylor-Reihe, die einem am Punkt x erweiterten homogenen Polynom entspricht, lautet wie folgt:
Um diese Eigenschaft anwenden (und verstehen) zu können, müssen Sie jedoch wissen, wie der Ausdruck berechnet wird
wird als kombinatorische Zahl bezeichnet. Wenn Sie die vorherige Eigenschaft nicht verstehen, empfehle ich Ihnen daher, sich die Formel für die kombinatorische Zahl anzusehen.