Arten von diskontinuitäten

September 17, 2023

Hier erfahren Sie, welche Arten von Diskontinuitäten es gibt. Darüber hinaus können Sie Beispiele für alle Arten von Unstetigkeitsstellen sehen und mit gelösten Übungen zu Arten von Unstetigkeitsstellen von Funktionen üben.

Was sind alle Arten von Diskontinuitäten?

Es gibt drei Arten von Diskontinuitäten, nämlich:

Vermeidbare Diskontinuität : Die seitlichen Grenzen einer Funktion an einem Punkt stimmen nicht mit dem Wert der Funktion überein.
Unvermeidliche Diskontinuität bei endlichen Sprüngen : Die seitlichen Grenzen einer Funktion an einem Punkt sind unterschiedlich.
Unvermeidliche Diskontinuität bei unendlichen Sprüngen : Eine der seitlichen Grenzen der Funktion ergibt Unendlich oder existiert nicht.

Um das Verständnis der Konzepte zu vervollständigen, werden wir jede Art von Diskontinuität detaillierter erläutern und Beispiele für Funktionen mit den drei Arten von Diskontinuitäten sehen.

Vermeidbare Diskontinuität

Eine vermeidbare Diskontinuität ist eine Art von Diskontinuität, die eine Funktion an einem Punkt hat, wenn die Grenze an diesem Punkt existiert, sie aber nicht mit dem Wert der Funktion übereinstimmt oder das Bild der Funktion nicht existiert.

$\displaystyle \exists \lim_{x \to a} f(x) \neq f(a) \qquad | \qquad \displaystyle \exists\lim_{x \to a} f(x) \text{ y } \ \cancel{\exists} \ f(a)$

vermeidbare Diskontinuität einer Funktion

Die seitlichen Grenzen dieser Funktion sind einander gleich, unterscheiden sich jedoch vom Wert der Funktion an diesem Punkt. Die Funktion weist daher eine vermeidbare Diskontinuität auf.

$\displaystyle \left. \begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) =b \\[3ex] \displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x)=b \end{array} \right\} \ \bm{\longrightarrow} \ \lim_{x \to a} f(x)=b$

$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=b \qquad f(a)=c$

$\displaystyle \exists \lim_{x \to a} f(x) \neq f(a)$

vermeidbare Diskontinuität einer Funktion ohne Bild

Die Funktion im vorherigen Beispiel weist eine vermeidbare Diskontinuität auf, da die seitlichen Grenzen bei x=a den gleichen Wert haben, das Bild der Funktion an diesem Punkt jedoch nicht existiert.

$\displaystyle \left. \begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) =b \\[3ex] \displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x)=b \end{array} \right\} \ \bm{\longrightarrow} \ \lim_{x \to a} f(x)=b$

$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=b \qquad \cancel{\exists} \ f(a)$

➤ Siehe: Seitengrenzen einer Funktion

Unvermeidliche Diskontinuität des endlichen Sprungs

Die unvermeidliche endliche Sprungdiskontinuität ist eine Art von Diskontinuität, die eine Funktion an einem Punkt darstellt, an dem die seitlichen Grenzen der Funktion an diesem Punkt nicht gleich sind.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)$

Beispielsweise sind die seitlichen Grenzen der nächsten stückweise definierten Funktion am Definitionsänderungspunkt unterschiedlich, daher weist die Funktion an diesem Punkt unvermeidlich eine endliche Sprungdiskontinuität auf.

unvermeidliche Diskontinuität des endlichen Sprungs

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x)=b \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)=c$

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)$

Diese Art von Diskontinuität tritt im Allgemeinen bei Funktionen auf, die stückweise (oder stückweise) definiert sind.

➤ Siehe: Stetigkeit einer stückweisen Funktion

Unendlicher Sprung Unvermeidliche Diskontinuität

Die unvermeidliche Unendlichkeitssprung-Diskontinuität ist eine Art von Diskontinuität, die zeitweise eine Funktion hat, wenn eine der seitlichen Grenzen an diesem Punkt unendlich ist oder nicht existiert.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)= \pm \infty$

Der linke Grenzwert der folgenden Funktion ergibt eine reelle Zahl, der rechte Grenzwert ergibt jedoch Unendlich. Die Funktion weist daher unvermeidlich eine unendliche Sprungdiskontinuität auf.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x)=b \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)=+\infty$

Unten sehen Sie eine Graphenfunktion, deren zwei Seitengrenzen Unendlich ergeben und die Funktion daher unvermeidlich eine unendliche Sprungdiskontinuität aufweist.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x)=-\infty \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)=+\infty$

Diese Art von Diskontinuität tritt normalerweise bei rationalen (oder gebrochenen) Funktionen auf.

Gelöste Übungen zu Arten von Diskontinuitäten

Übung 1

Bestimmen Sie die Art der Diskontinuität der folgenden stückweisen Funktion am Punkt x=3:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} -2x+1 & \text{si} & x\leq 3 \\[2ex] 4x - 5 & \text{si} & x > 3 \end{array} \right.“ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“65″ width=“232″ style=“vertical-align: 0px;“></p> </p> <div class=$

Sehen Sie sich die Lösung an

Der Definitionsbereich des ersten Elements der Funktion,

$-2x+1$

, wie das des zweiten Stückes,

$4x-5$

sind alle reelle Zahlen, da es sich um Polynomfunktionen handelt.

Der einzige Punkt, an dem die Funktion unstetig sein könnte, ist also der Stopppunkt der stückweisen Funktion. Daher berechnen wir an dieser Stelle die seitlichen Grenzen:

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x)=\lim_{x \to 3} (-2x+1) = -2\cdot 3+1=-5$

$\displaystyle \lim_{x \to 3^+} f(x)=\lim_{x \to 3}(4x-5)=4\cdot 3-5=7$

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x) \neq \lim_{x \to 3^+} f(x)$

Die beiden seitlichen Grenzen bei x=3 führen zu unterschiedlichen Ergebnissen. Daher ist der Punkt x=3 eine unvermeidliche endliche Sprungdiskontinuität.

Übung 2

Finden Sie heraus, welche Art von Diskontinuität die folgende rationale Funktion an Punkten aufweist, die nicht zu ihrem Definitionsbereich gehören:

$f(x)= \cfrac{x^2-4}{x+2}$

Sehen Sie sich die Lösung an

Um diese Aufgabe zu lösen, müssen Sie logischerweise zunächst den Definitionsbereich der Funktion ermitteln. Da es sich also um eine rationale Funktion handelt, setzen wir den Nenner gleich 0 und lösen die resultierende Gleichung:

$x+2=0$

$x=-2$

$\text{Dom } f = \mathbb{R} - \{-2\}$

Die Funktion ist daher an allen Punkten außer x=-2 stetig. Sehen wir uns also an, welche Art von Diskontinuität der Punkt x=-2 hat. Dazu berechnen wir den Grenzwert der Funktion an der Stelle:

$\displaystyle \lim_{x \to -2} \cfrac{x^2-4}{x+2} = \cfrac{ (-2)^2-4}{-2+2}= \cfrac{0}{0}$

Aber wir erhalten eine Nullunbestimmtheit zwischen Null, also faktorisieren wir die Polynome von Zähler und Nenner und vereinfachen:

$\displaystyle \lim_{x \to -2} \cfrac{x^2-4}{x+2}=\lim_{x \to -2} \cfrac{ (x-2)\cancel{(x+2)}}{\cancel{x+2}} =\lim_{x \to -2} (x-2)$

Jetzt lösen wir den Grenzwert:

$\displaystyle \lim_{x \to -2} (x-2) =-2-2=-4$

Folglich existiert der Grenzwert der Funktion am Punkt x=-2 und ergibt -4. Lassen Sie uns nun prüfen, ob es existiert

$f(-2):$

$f(-2)=\cfrac{(-2)^2-4}{-2+2}= \cfrac{4-4}{0} = \cfrac{0}{0} \quad \bm{\longrightarrow} \quad \cancel{\exists} \ f(2)$

Bei der Berechnung des Bildes einer Funktion kann die Unbestimmtheit 0/0 nicht vereinfacht werden und hat keine Lösung. ALSO

$f(-2)$

ist nicht vorhanden.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass der Grenzwert der Funktion bei x=-2 existiert, aber

$f(-2)$

Nein. Daher ist x=-2 eine vermeidbare Diskontinuität.

Übung 3

Analysieren Sie die Stetigkeit der folgenden rationalen Funktion:

$\displaystyle f(x)= \frac{2}{x-5}$

Sehen Sie sich die Lösung an

Um zu sehen, ob es sich um eine stetige Funktion handelt, müssen wir zunächst ihren Definitionsbereich berechnen. Wir setzen daher den Nenner der rationalen Funktion gleich Null, um zu sehen, welche Punkte nicht zum Definitionsbereich gehören:

$x-5=0$

$x=5$

$\text{Dom } f = \mathbb{R} - \{5\}$

Die Funktion ist daher an allen Punkten außer x=5 stetig. Sehen wir uns also an, um welche Art von Diskontinuität x=5 es sich handelt, indem wir den Grenzwert an dieser Stelle berechnen:

$\displaystyle \lim_{x \to 5} \frac{2}{x-5} = \frac{2}{5-5} = \frac{2}{0} = \infty$

Wir befinden uns in der Unbestimmtheit einer durch 0 geteilten Zahl. Wir berechnen daher die seitlichen Grenzen der Funktion bei x=5:

$\displaystyle \lim_{x \to 5^{-}} \frac{2}{x-5}=\frac{2}{4,999-5}=\frac{2}{-0}= \bm{-\infty}$

$\displaystyle \lim_{x \to 5^{+}} \frac{2}{x-5}=\frac{2}{5,001-5}=\frac{2}{+0}=\bm{+\infty}$

Der linke Grenzwert der Funktion bei x=5 ergibt minus Unendlich und der rechte Grenzwert ergibt plus Unendlich. Daher weist die Funktion bei x = 5 zwangsläufig eine unendliche Sprungunstetigkeit auf, da mindestens eine seitliche Grenze an dieser Stelle gegen Unendlich tendiert.

Übung 4

Bestimmen Sie alle Diskontinuitäten der in der folgenden Grafik gezeigten stückweisen Funktion:

Übung löste die Diskontinuitäten der Funktionen

Sehen Sie sich die Lösung an

Um die Funktion zu zeichnen, müssen Sie den Bleistift bei x=-2, bei x=1 und bei x=4 anheben. Die Funktion ist daher an diesen drei Punkten unstetig.

Bei x=-2 beträgt die linke Grenze +∞ und die rechte Grenze 3. Da also eine der Seitengrenzen unendlich ist, weist die Funktion bei x=-2 unvermeidlich eine unendliche Sprungdiskontinuität auf.

$\displaystyle \lim_{x \to -2^-} f(x) = +\infty \ \neq \ \lim_{x \to -2^+} f(x) = 3$

Der Grenzwert der Funktion bei x=1 ist 0 und andererseits ist der Wert der Funktion bei x=1 gleich 2. Die Funktion weist daher bei x=1 eine vermeidbare Diskontinuität auf.

$\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = 0 \ \bm{\longrightarrow} \ \lim_{x \to 1} f(x) = 0$

$\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = 0 \neq f(1) = 2$

Bei x = 4 beträgt der linke Grenzwert -3 und der rechte Grenzwert 1. Da die beiden seitlichen Grenzwerte unterschiedlich sind und keiner von ihnen Unendlichkeit ergibt, weist die Funktion bei x = 4 zwangsläufig eine endliche Sprungunstetigkeit auf.

$\displaystyle \lim_{x \to 4^-} f(x) = -3 \ \neq \ \lim_{x \to 4^+} f(x) = 1$

Übung 5

Finden Sie alle Asymptoten und Diskontinuitäten der im folgenden Diagramm dargestellten Funktion:

gelöste Übung zu den Arten von Unstetigkeiten einer Funktion

Sehen Sie sich die Lösung an

Asymptoten

Die Funktion liegt sehr nahe an der vertikalen Linie x=3, berührt diese jedoch nie. Zusätzlich beträgt die linke seitliche Grenze bei x=3 +∞ und die rechte seitliche Grenze -∞. Daher ist x=3 eine vertikale Asymptote.

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x)=+\infty \qquad \lim_{x \to 3^+} f(x)=-\infty$

Und das Gleiche passiert mit der horizontalen Linie y=-1, die Funktion kommt y=-1 sehr nahe, kreuzt sie aber nie. Darüber hinaus beträgt der Grenzwert der Funktion -1, wenn x sich +∞ und -∞ nähert. Daher ist y=-1 eine horizontale Asymptote.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=-1 \qquad \lim_{x \to -\infty} f(x)=-1$

Diskontinuitäten

Bei x=6 wird die Funktion unterbrochen, da ein offener Punkt vorliegt. Wenn x sich 6 nähert, liegt die Grenze bei -1,4, aber f(6)=1. Die Funktion weist daher bei x=6 eine vermeidbare Diskontinuität auf, da der Wert des Grenzwerts nicht mit dem Wert der Funktion übereinstimmt:

$\displaystyle \left. \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x \to 6^-} f(x)=-1,4\\[3ex] \displaystyle \lim_{x \to 6^+} f(x)=-1,4 \end{array} \right\} \bm{\longrightarrow} \lim_{x \to 6} f(x)=-1,4$

$\displaystyle\lim_{x \to 6} f(x)=-1,4 \neq f(6)=1$

Bei x=-3 fallen die seitlichen Grenzen nicht zusammen und keine ergibt Unendlich. Die Funktion weist daher zwangsläufig eine endliche Sprungunstetigkeit bei x=-3 auf.

$\displaystyle \lim_{x \to -3^-} f(x)=-2 \neq \lim_{x \to -3^+} f(x)=1$

Und schließlich weist die Funktion bei x = 3 zwangsläufig eine Sprungunstetigkeit ins Unendliche auf, da mindestens eine seitliche Grenze an dieser Stelle zur Unendlichkeit führt.

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x)=+\infty \qquad \lim_{x \to 3^+} f(x)=-\infty$

Was sind alle Arten von Diskontinuitäten?

Vermeidbare Diskontinuität

Unvermeidliche Diskontinuität des endlichen Sprungs

Unendlicher Sprung Unvermeidliche Diskontinuität

Gelöste Übungen zu Arten von Diskontinuitäten

Übung 1

Übung 2

Übung 3

Übung 4

Übung 5

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