Was ist das arithmetische Mittel und wie wird es berechnet? Der Durchschnitt ist ein numerischer Wert, der durch Addition einer bestimmten Zahlenmenge und Division des Ergebnisses durch die Anzahl der Werte ermittelt wird. Wenn wir beispielsweise das arithmetische Mittel der Daten 2, 4, 1 und 6 berechnen möchten, müssen wir die folgende Berechnung durchführen: (2 + 4 + 1 + 5) / 4 = 3. Später in diesem Artikel werden wir wird ausführlicher erklären, wie man den Durchschnitt einer Reihe von Zahlen ermittelt. Darüber hinaus steht Ihnen der folgende arithmetische Mittelwertrechner zur Verfügung, mit dem Sie überprüfen können, ob Ihre Ergebnisse korrekt sind.
Online-Durchschnittsrechner
Wenn Sie den Durchschnitt einer Reihe von Zahlen berechnen möchten, können Sie diesen Online-Rechner für den arithmetischen Durchschnitt verwenden, mit dem Sie die Ergebnisse Ihrer Übungen überprüfen und feststellen können, ob Sie sie richtig gelöst haben. Die Verwendung ist sehr einfach, da Sie nur die Zahlen eingeben müssen, aus denen sich die Menge zusammensetzt (durch Kommas getrennt) und dann auf die Schaltfläche „Berechnen“ klicken müssen. Denken Sie daran, Dezimalzahlen mit einem Punkt (kein Komma) einzugeben.
Wie berechnet man den arithmetischen Durchschnitt?
Es gibt eine Formel für das arithmetische Mittel, mit der wir es auf der Grundlage einer beliebigen Reihe oder Menge von Zahlen berechnen können:
Wenn Sie beispielsweise den Durchschnitt einer Reihe von Zahlen [1, 4, 7, 2, 5, 10] berechnen möchten, addieren Sie sie einfach und dividieren das Ergebnis durch die Anzahl der zuvor hinzugefügten Werte: ( 1 + 4 + 7 + 3 + 5 + 10) / 6 = 5. Obwohl wir manchmal das arithmetische Mittel der Werte in einer Häufigkeitstabelle berechnen müssen. In diesen Fällen müssen wir dieselbe Formel anwenden, aber jede Zahl mit der Häufigkeit ihres Auftretens (ihrer absoluten Häufigkeit ) multiplizieren und N mit der Summe der absoluten Häufigkeiten gleichsetzen. Beispiel: (1 x 4 + 3 x 2 + 5 x 4) / (4 + 2 + 4) = 3.
Wir können diese Formel auch als Summe von N mit der Basis i (Σ i N ) und dann dividiert durch N ausdrücken. Dieser letzte Ausdruck ist eine andere Möglichkeit, dasselbe auszudrücken wie im Bild oben. Obwohl dies normalerweise eher in Mathematiklehrbüchern zu finden ist, ist es deshalb wichtig, es zu wissen.
Eigenschaften des arithmetischen Mittels
- Summe der Abweichungen: Die Summe der Abweichungen aller Daten vom Mittelwert des Ganzen ist gleich Null. Aus dieser Eigenschaft können wir die folgende Formel ableiten: Σ(X i - x̄) = 0.
- Summe der Abweichungsquadrate: Wenn wir die Abweichungsquadrate aller Daten vom arithmetischen Mittel addieren, erhalten wir einen minimalen Zahlenwert. Dann ist Σ(X i - x̄) 2 ≤ Σ(X i - a) 2 , a ∈ ℝ.
- Äquivalentes arithmetisches Mittel: Wenn wir zu allen Werten, aus denen die Zahlenmenge besteht, einen Wert x addieren, dann ist der Mittelwert dieser Zahlen gleich der Summe des vorherigen arithmetischen Mittels und der hinzugefügten Zahl: x̄ = x̄ 0 + hat. Dies geschieht auch im Falle des Produkts.
Mittelungsanwendungen
Im Allgemeinen verwenden wir diese mathematische Ressource, um einen repräsentativen Wert unserer Menge zu berechnen, mit dem wir das Verhalten der numerischen Gruppe auf vereinfachte Weise verstehen können. Ein Beispiel wäre die Berechnung der Durchschnittsnote der Klasse. Auf diese Weise können wir eine Punktzahl ermitteln, die Aufschluss über die Gesamtzahl der Schüler gibt. In wissenschaftlichen Experimenten verwenden wir in der Regel auch die Mittelwertbildung, da wir häufig mehrere Ergebnisse sammeln und mitteln müssen, um ein genaueres Ergebnis zu erhalten.
Arithmetische Mittel gelöste Probleme
Als Nächstes stellen wir Ihnen einige Übungen zu den drei Hauptarten des arithmetischen Durchschnitts vor. Denken Sie daran, dass diese alle mit den in diesem Artikel erläuterten Methoden gelöst werden können. Und wenn Sie möchten, können Sie den numerischen Teil (Rechnungen) mit dem oben genannten Rechner und mit unserem Online-Rechner durchführen. Das heißt, wir lassen Sie üben:
grundlegendes arithmetisches Mittel
Berechnet das arithmetische Mittel des folgenden Datensatzes [2, 5, 3, 7, 6, 1]. Sobald Sie das getan haben, müssen Sie den Durchschnitt derselben Zahlengruppe berechnen, jedoch alle mit 2 multipliziert:
Um den ersten Abschnitt zu lösen, müssen wir einfach die Formel verwenden, die wir oben etwas kommentiert haben: x̄ = (2 + 5 + 3 + 7 + 6 + 1) / 6 = 4. Und um den Durchschnitt im zweiten Abschnitt zu berechnen, Wir müssen die gleiche Berechnung durchführen, aber jede Zahl mit 2 multiplizieren: (2 x 2 + 5 x 2 + 3 x 2 + 7 x 2 + 6 x 2 + 1 x 2) / 6 = 8. Wie wir sehen können, Das Ergebnis der Mittelung ist im zweiten Fall doppelt so hoch, was vorhersehbar war, da die Eigenschaft des äquivalenten Produkts überprüft wird.
Arithmetisches Mittel für gruppierte Daten
Die Mathematiknoten von fünfzehn Schülern sind: 5, 8, 7, 4, 9, 3, 6, 8, 7, 8, 9, 7, 5, 8, 8. Berechnen Sie den Klassendurchschnitt:
In diesem Fall müssen wir zählen, wie oft jede Zahl in der Liste vorkommt, und dann die Berechnung mit der Formel des arithmetischen Mittels lösen, das auf die gruppierten Daten angewendet wird (Formel, in die die absolute Häufigkeit eingreift): x̄ = (3 x 1 + 4x1 + 5x2 + 6x1 + 7x3 + 8x5 + 9x2) / 15 = 6,8. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass sich trotz teilweise hoher Werte niedrige Werte sehr negativ auf den Gesamtdurchschnitt auswirken.
Berechnung aus einem bekannten Durchschnitt
Wenn wir wissen, dass der Durchschnitt zweier Zahlen 9,25 beträgt und eine der beiden Zahlen 6 ist, wie lautet dann die zweite Zahl?
Um den zweiten Wert zu berechnen, müssen wir eine Gleichung aufstellen, die auf der Formel basiert, die wir in den Übungen immer verwendet haben: (6 + x) / 2 = 9,25. Schließlich isolieren wir x und erhalten seinen numerischen Wert, der dem der zweiten Zahl entspricht. In diesem Fall ist x = 12,5.