Abstand zwischen zwei sich schneidenden Linien (Formel)

Auf dieser Seite erfahren Sie, wie Sie den Abstand zwischen zwei sich schneidenden Geraden bestimmen (Formel). Darüber hinaus können Sie Beispiele sehen und anhand gelöster Übungen Abstände zwischen sich kreuzenden Linien üben.

Was sind zwei Schnittlinien?

Bevor wir uns ansehen, wie der Abstand zwischen zwei sich schneidenden Linien berechnet wird, erinnern wir uns kurz daran, woraus genau diese Art der relativen Position zwischen zwei Linien besteht:

Zwei sich schneidende Linien, auch Schnittlinien genannt, sind zwei unterschiedliche Linien, die unterschiedliche Richtungen haben und sich an keinem Punkt schneiden . Daher liegen zwei gekreuzte Linien nicht in derselben Ebene.

Abstand zwischen zwei Linien, die zwei Abschnitte schneiden

Beispielsweise in der grafischen Darstellung oberhalb der Linie

$s$

ist immer einen Schritt voraus

$r$

, sodass sie sich niemals berühren werden.

So berechnen Sie den Abstand zwischen zwei sich schneidenden Linien

Es gibt verschiedene Methoden, den Abstand zwischen zwei sich schneidenden Linien im Raum zu bestimmen. Auf dieser Seite erklären wir nur ein Verfahren, das einfachste, da die beiden anderen Methoden länger und komplizierter sind und tatsächlich selten verwendet werden.

Der Richtungsvektor und ein beliebiger Punkt zweier Schnittlinien seien:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} \\[2ex] A\end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}} \\[2ex] B\end{cases}$

Die Formel für den Abstand zwischen zwei sich schneidenden Geraden lautet:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

Gold

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|$

ist der Absolutwert des gemischten Produkts der Vektoren

$\vv{\text{u}}, \vv{\text{v}}$

und der durch die Punkte definierte Vektor

$A$

Und

$B$

. Und andererseits,

$\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert$

ist der Betrag des Vektorprodukts der Richtungsvektoren der beiden gekreuzten Linien.

Um den Abstand zwischen zwei sich schneidenden Linien zu ermitteln, müssen Sie daher wissen, wie das Dreifachpunktprodukt (oder gemischte Produkt aus drei Vektoren) und das Vektorprodukt (oder Vektorprodukt aus zwei Vektoren) berechnet werden. Wie das gemacht wurde, können Sie in den vorherigen Links nachlesen, dort finden Sie die entsprechenden Formeln, Beispiele und gelösten Übungen.

Beispiel für die Ermittlung des Abstands zwischen zwei sich schneidenden Linien

Damit Sie sehen können, wie Sie den Abstand zwischen zwei sich kreuzenden Linien ermitteln, lösen wir beispielhaft eine Aufgabe:

Wie groß ist der Abstand zwischen den nächsten beiden Schnittlinien?

$r: \ \cfrac{x-1}{2} = \cfrac{y-2}{4} = \cfrac{z+2}{-1}$

$s: \ \cfrac{x-3}{1} = \cfrac{y+1}{3} = \cfrac{z-1}{-2}$

Zuerst müssen wir den Richtungsvektor und einen Punkt auf jeder Linie identifizieren. Die beiden Geraden werden in Form einer kontinuierlichen Gleichung ausgedrückt, daher:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(2,4,-1) \\[2ex] A(1,2,-2) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(1,3,-2) \\[2ex] B(3,-1,1)\end{cases}$

Und jetzt wenden wir die Formel für den Abstand zwischen zwei Schnittlinien an:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

Einerseits lösen wir das gemischte Produkt:

$\vv{AB} = B - A = (3,-1,1) - (1,2,-2) = (2,-3,3)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} 2&4&-1 \\[1.1ex] 1&3&-2 \\[1.1ex] 2&-3&3 \end{vmatrix}\right| = \left| -13 \right| =13$

Und andererseits finden wir den Betrag des Vektorprodukts:

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 2&4&-1 \\[1.1ex] 1&3&-2 \end{vmatrix}=-5\vv{i} +3\vv{j}+2\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{5^2+3^2+2^2} = \sqrt{25+9+4} = \sqrt{38}$

Schließlich ersetzen wir den Wert jedes Termes in der Formel durch den Abstand zwischen zwei gekreuzten Linien:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{13}{\sqrt{38}}= \bm{2,11}$

Lösen von Abstandsproblemen zwischen zwei sich schneidenden Linien

Übung 1

Ermitteln Sie den Abstand zwischen den folgenden zwei Geraden, die sich in einem Punkt schneiden:

$r: \ \cfrac{x-1}{2} = \cfrac{y+1}{1} = \cfrac{z+3}{2}$

$s: \ \cfrac{x-2}{3} = \cfrac{y-4}{-1} = \cfrac{z-1}{2}$

siehe Lösung

Zuerst müssen wir den Richtungsvektor und einen Punkt auf jeder Linie finden. Die beiden Geraden sind in Form einer kontinuierlichen Gleichung definiert, daher:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(2,1,2) \\[2ex] A(1,-1,-3) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(3,-1,2) \\[2ex] B(2,4,1)\end{cases}$

Und jetzt verwenden wir die Formel für den Abstand zwischen zwei Schnittlinien:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

Wir ermitteln das Mischprodukt:

$\vv{AB} = B - A = (2,4,1) - (1,-1,-3) = (1,5,4)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} 2&1&2 \\[1.1ex] 3&-1&2 \\[1.1ex] 1&5&4 \end{vmatrix}\right| = \left| -6 \right| =6$

Als nächstes berechnen wir den Betrag des Kreuzprodukts:

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 2&1&2 \\[1.1ex] 3&-1&2 \end{vmatrix}=4\vv{i} +2\vv{j}-5\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{4^2+2^2+(-5)^2} = \sqrt{16+4+25} = \sqrt{45}$

Und schließlich ersetzen wir den Wert jedes Termes in der Formel durch den Abstand zwischen zwei Schnittlinien:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{6}{\sqrt{45}}= \bm{0,89}$

Übung 2

Berechnen Sie den Abstand zwischen den beiden Schnittlinien:

$r: \ \cfrac{x-2}{3} = \cfrac{y-4}{1} = \cfrac{z+2}{-1}$

$s: \ \cfrac{x+1}{2} = \cfrac{y+2}{-2} = \cfrac{z-1}{5}$

siehe Lösung

Zuerst müssen wir den Richtungsvektor und einen Punkt auf jeder Linie identifizieren. Die beiden Geraden werden in Form einer kontinuierlichen Gleichung ausgedrückt, daher:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(3,1,-1) \\[2ex] A(2,4,-2) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(2,-2,5) \\[2ex] B(-1,-2,1)\end{cases}$

Und jetzt verwenden wir die Formel für den Abstand zwischen zwei Schnittlinien:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

Wir ermitteln das Mischprodukt:

$\vv{AB} = B - A = (-1,-2,1) - (2,4.-2) = (-3,-6,3)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} 3&1&-1 \\[1.1ex] 2&-2&5 \\[1.1ex] -3&-6&3 \end{vmatrix}\right| = \left| 69 \right| =69$

Als nächstes berechnen wir den Betrag des Kreuzprodukts:

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 3&1&-1 \\[1.1ex] 2&-2&5 \end{vmatrix}=3\vv{i} -17\vv{j}-8\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{3^2+(-17)^2+(-8)^2} = \sqrt{9+289+64} = \sqrt{362}$

Und schließlich ersetzen wir den Wert jeder Unbekannten in der Formel durch den Abstand zwischen zwei gekreuzten Linien:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{69}{\sqrt{362}}= \bm{3,63}$

Übung 3

Finden Sie den Abstand zwischen den beiden Schnittlinien:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x= -4t \\[1.7ex] y=2+3t \\[1.7ex] z=-1+t \end{cases}$

$\displaystyle s: \ (x,y,z)=(4,2,1)+t(3,2,-5)$

siehe Lösung

Zuerst müssen wir den Richtungsvektor und einen Punkt auf jeder Linie finden. das Recht

$r$

liegt in Form parametrischer Gleichungen und der Geraden vor

$s$

in Vektorgleichungsform, also:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(-4,3,1) \\[2ex] A(0,2,-1) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(3,2,-5) \\[2ex] B(4,2,1)\end{cases}$

Und jetzt verwenden wir die Formel für den Abstand zwischen zwei Schnittlinien:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

Wir bestimmen das dreifache Skalarprodukt:

$\vv{AB} = B - A = (4,2,-1) - (0,2,1) = (4,0,-2)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} -4&3&1 \\[1.1ex] 3&2&-5 \\[1.1ex] 4&0&-2 \end{vmatrix}\right| = \left| -34 \right| =34$

Als nächstes berechnen wir den Betrag des Kreuzprodukts:

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] -4&3&1 \\[1.1ex] 3&2&-5 \end{vmatrix}=-17\vv{i} -17\vv{j}-17\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{(-17)^2+(-17)^2+(-17)^2} = \sqrt{289+289+289} = \sqrt{867}$

Und schließlich ersetzen wir den Wert jedes Termes in der Formel durch den Abstand zwischen zwei Schnittlinien:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{34}{\sqrt{867}}= \bm{1,15}$

Abstand zwischen zwei schnittlinien (formel)

Was sind zwei Schnittlinien?

So berechnen Sie den Abstand zwischen zwei sich schneidenden Linien

Beispiel für die Ermittlung des Abstands zwischen zwei sich schneidenden Linien

Lösen von Abstandsproblemen zwischen zwei sich schneidenden Linien

Übung 1

Übung 2

Übung 3

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