Abstand zwischen zwei parallelen Linien

Auf dieser Seite erfahren Sie, wie Sie den Abstand zwischen zwei parallelen Linien bestimmen. Darüber hinaus können Sie Beispiele sehen und anhand gelöster Übungen Abstände zwischen parallelen Linien üben.

Was sind zwei parallele Linien?

Bevor wir sehen, wie der Abstand zwischen zwei parallelen Linien berechnet wird, erinnern wir uns kurz an den Begriff der Parallelität zwischen zwei Linien:

Parallele Linien sind Linien, die sich niemals kreuzen, das heißt, selbst wenn ihre Flugbahnen bis ins Unendliche ausgedehnt werden, berühren sie sich nie. Daher haben die Punkte zweier paralleler Geraden immer den gleichen Abstand voneinander und außerdem haben zwei parallele Geraden keine gemeinsamen Punkte.

Beispielsweise sind die folgenden zwei Linien parallel:

Wir geben im Allgemeinen an, dass zwei Geraden parallel sind, mit zwei vertikalen Balken || zwischen den Zeilen

Andererseits sagen wir in der analytischen Geometrie, dass sie trotz der Tatsache, dass sich zwei parallele Linien nie schneiden, einen Winkel von 0° bilden, da sie die gleiche Richtung haben.

So berechnen Sie den Abstand zwischen zwei parallelen Linien in der Ebene

Um den Abstand zwischen zwei parallelen Geraden in der Ebene (in R2) zu ermitteln, nehmen Sie einfach einen Punkt auf einer der beiden Geraden und berechnen Sie den Abstand von diesem Punkt zur anderen Geraden.

Wir können es so machen, weil zwei parallele Linien immer den gleichen Abstand voneinander haben.

Um also den Abstand zwischen zwei parallelen Linien zu ermitteln, müssen Sie die Formel für den Abstand zwischen einem Punkt und einer Linie kennen. Wenn Sie sich nicht mehr daran erinnern, wie es war, können Sie im Link nachlesen, wie der Abstand zwischen einem Punkt und einer Linie bestimmt wird. Außerdem können Sie Beispiele und Übungen sehen, die Schritt für Schritt gelöst werden.

Wenn wir andererseits bei Verwendung der Formel einen Abstand von 0 Einheiten erhalten, bedeutet dies, dass sich die Linien an einem bestimmten Punkt berühren und daher nicht parallel sind, sondern sich schneiden, zusammenfallen oder senkrecht stehen. Wenn Sie möchten, können Sie die Unterschiede zwischen dieser Art von Leitungen auf unserer Website überprüfen.

Beispiel, wie man den Abstand zwischen zwei parallelen Linien ermittelt

Sehen wir uns nun anhand eines Beispiels an, wie man ein Abstandsproblem zwischen zwei parallelen Geraden löst:

Ermitteln Sie den Abstand zwischen den folgenden zwei parallelen Geraden:

$r: \ 2x-4y-6=0 \qquad \qquad s: \ -x+2y+4=0$

Als Erstes müssen wir einen Punkt auf einer der Linien (der gewünschten) erreichen. In diesem Fall berechnen wir einen Punkt auf der Linie

$s.$

Dazu müssen wir einer der Variablen einen Wert zuweisen, was wir zum Beispiel tun werden

$x=0:$

$-x+2y+4 =0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ -0+2y+4=0$

Und jetzt löschen wir die andere Variable (

$y$

) der erhaltenen Gleichung, um zu wissen, wie viel sie zu diesem Zeitpunkt wert ist:

$2y=-4$

$y= \cfrac{-4}{2}$

$y= -2$

Daher wird der Punkt aus der Linie erhalten

$s$

Ost:

$P(0,-2)$

Und sobald wir bereits einen Punkt auf einer Linie haben, berechnen wir den Abstand von diesem Punkt zur anderen Linie mithilfe der Formel für den Abstand von einem Punkt zu einer Linie:

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 2\cdot 0 + (-4)\cdot (-2) +(-6)\rvert}{\sqrt{2^2+(-4)^2}}= \cfrac{\lvert 0+8-6\rvert}{\sqrt{4+16}}={\cfrac{2}{\sqrt{20}}=\bm{0,45}$

Der Abstand zwischen den beiden parallelen Geraden beträgt also 0,45 Einheiten .

Lösung von Abstandsproblemen zwischen zwei parallelen Linien

Übung 1

Wie groß ist der Abstand zwischen den folgenden zwei parallelen Geraden?

$r: \ x+3y-4=0 \qquad \qquad s: \ 2x+6y+6=0$

siehe Lösung

Zuerst werden wir überprüfen, ob es sich um zwei parallele Linien handelt. Hierzu die Koeffizienten der Variablen

$x$

Und

$y$

müssen proportional zueinander sein, jedoch nicht zu den unabhängigen Termen:

$\cfrac{1}{2} = \cfrac{3}{6}\neq \cfrac{-4}{6} \ \longrightarrow \ \text{Paralelas}$

Da die Linien tatsächlich parallel sind, können wir das Verfahren anwenden.

Jetzt müssen wir einen Punkt von einer der Linien (der gewünschten) erhalten. In diesem Fall berechnen wir einen Punkt auf der Linie

$s.$

Dazu müssen Sie einer der Variablen einen Wert zuweisen, wie wir es beispielsweise tun

$x=0:$

$2x+6y+6=0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ 2\cdot 0+6y+6=0$

Und jetzt löschen wir die andere Variable (

$y$

) der erhaltenen Gleichung, um ihren Wert an diesem Punkt zu kennen:

$6y=-6$

$y= \cfrac{-6}{6}$

$y= -1$

Damit ergibt sich der Punkt aus der Geraden

$s$

Ost:

$P(0,-1)$

Sobald wir einen Punkt auf einer Linie kennen, berechnen wir den Abstand von diesem Punkt zur anderen Linie mit der Formel:

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 1\cdot 0 + 3\cdot (-1) +(-4)\rvert}{\sqrt{1^2+3^2}}= \cfrac{7}{\sqrt{10}}=\bm{2,21}$

Übung 2

Berechnen Sie den Abstand zwischen den folgenden zwei parallelen Linien:

$r: \ 2x+y+5=0 \qquad \qquad s: \ 8x+4y-4=0$

siehe Lösung

Zuerst werden wir überprüfen, ob es sich um zwei parallele Linien handelt. Hierzu die Koeffizienten der Variablen

$x$

Und

$y$

müssen proportional zueinander sein, jedoch nicht zu den unabhängigen Termen:

$\cfrac{2}{8} = \cfrac{1}{4}\neq \cfrac{5}{-4} \ \longrightarrow \ \text{Paralelas}$

Da die Linien tatsächlich parallel sind, können wir das Verfahren anwenden.

Jetzt müssen wir einen Punkt von einer der Linien (der gewünschten) erhalten. In diesem Fall berechnen wir einen Punkt auf der Linie

$s.$

Dazu müssen Sie einer der Variablen einen Wert zuweisen, wie wir es beispielsweise tun werden

$x=0:$

$8x+4y-4=0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ 8\cdot 0+4y-4=0$

Und jetzt löschen wir die andere Variable (

$y$

) der resultierenden Gleichung, um ihren Wert an diesem Punkt zu ermitteln:

$4y=4$

$y= \cfrac{4}{4}$

$y= 1$

Damit ergibt sich der Punkt aus der Geraden

$s$

Ost:

$P(0,1)$

Sobald wir einen Punkt auf einer Linie kennen, berechnen wir den Abstand von diesem Punkt zur anderen Linie mit der Formel:

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 2\cdot 0 + 1\cdot 1 +5\rvert}{\sqrt{2^2+1^2}}= \cfrac{6}{\sqrt{5}}=\bm{2,68}$

Übung 3

Berechnen Sie den Wert der Unbekannten

$k$

Der Abstand zwischen den nächsten beiden Zeilen beträgt also 5 Einheiten.

$r: \ 6x-8y+10=0 \qquad \qquad s: \ -3x+4y+k=0$

siehe Lösung

Da wir in zwei Dimensionen arbeiten, müssen die beiden Linien parallel sein, damit der Abstand zwischen ihnen ungleich Null ist. Deshalb werden wir die Gleichung aufstellen, indem wir versuchen, den Abstand zwischen den beiden Linien mit der Formel für den Abstand zwischen einem Punkt und einer Linie zu berechnen, und aus dieser Gleichung erhalten wir den Wert von

$k.$

Dazu müssen wir einen Punkt auf der Geraden berechnen

$r:$

$6x-8y+10=0 \ \xrightarrow{x \ = \ 1} \ 6\cdot 1 -8y+10=0$

$6-8y+10=0$

$-8y=-16$

$y=\cfrac{-16}{-8} = 2$

Also ein Punkt auf der Linie

$r$

Ost:

$P(1,2)$

Nun versuchen wir den Abstand zwischen dem Punkt zu berechnen, der zur Linie gehört

$r$

(Punkt

$P$

) und die Linie

$s$

mit der Formel:

$d(P,s)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Wir ersetzen jeden Begriff durch seinen Wert und vereinfachen den Ausdruck:

$d(P,s)= \cfrac{\lvert -3\cdot 1 + 4\cdot 2+k\rvert}{\sqrt{(-3)^2+4^2}}= \cfrac{\lvert -3+8+k\rvert}{\sqrt{9+16}}=\cfrac{\lvert 5+k\rvert}{\sqrt{25}}=\cfrac{\lvert 5+k\rvert}{5}$

Die Problemstellung sagt uns, dass der Abstand zwischen den beiden Linien gleich 5 sein muss, also setzen wir den vorherigen Ausdruck auf 5:

$\cfrac{\lvert 5+k\rvert}{5}=5$

Und wir lösen die resultierende Gleichung. Im Zähler des Bruchs steht ein Absolutwert, daher müssen wir getrennt analysieren, wann der Absolutwert positiv und wann negativ ist:

$\cfrac{+(5+k)}{5}=5$