▷ Ableitung einer Summe (Formel und gelöste Aufgaben)

Hier erklären wir, wie man eine Summe von Funktionen (Formel) herleitet. Darüber hinaus können Sie Beispiele für Ableitungen von Summen sehen und sogar mit gelösten Aufgaben zur Ableitung einer Summe üben. Und schließlich finden Sie die Demonstration der Formel für die Ableitung einer Summe.

Formel für die Ableitung einer Summe

Die Ableitung einer Summe zweier Funktionen ist gleich der Summe der Ableitungen jeder einzelnen Funktion.

$z(x)=f(x)+g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)+g'(x)$

Mit anderen Worten: Die getrennte Ableitung zweier Funktionen und deren anschließende Addition ist gleichbedeutend damit, zuerst die Funktionen zu addieren und dann die Ableitung zu bilden.

Beachten Sie, dass die Ableitungsregel der Addition auch für die Subtraktion gilt. Wenn also vor einer Funktion ein negatives Vorzeichen anstelle eines positiven Vorzeichens steht, müssen wir auch zur Differenzierung dieselbe Formel verwenden.

$z(x)=f(x)\pm g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)\pm g'(x)$

Darüber hinaus ist die Addition eine Operation mit assoziativer Eigenschaft, was bedeutet, dass die Anzahl der an der Addition beteiligten Additionen gleichgültig ist, da die Ableitung der gesamten Funktion weiterhin die Addition der Ableitung jeder Funktion ist.

$\begin{array}{c}z(x)=f(x)\pm g(x) \pm h(x)\pm \dots\\[1.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex]z'(x)=f'(x)\pm g'(x)\pm h'(x)\pm \dots\end{array}$

Beispiele für die Ableitung einer Summe

Sobald wir gesehen haben, wie die Formel für die Ableitung einer Summe lautet, werden wir einige Beispiele für Ableitungen dieser Art von Operation sehen, um vollständig zu verstehen, wie die Summen von Funktionen abgeleitet werden.

Beispiel 1: Ableitung einer Summe potentieller Funktionen

$f(x)=3x^2+5x$

Die Ableitung der Summe zweier Funktionen ist gleich der Ableitung jeder einzelnen Funktion. Daher berechnen wir zunächst die Ableitung jeder Funktion separat:

$\cfrac{d}{dx} \ 3x^2=6x$

$\cfrac{d}{dx}\ 5x=5$

Somit ist die Ableitung der gesamten Funktion die Summe der beiden berechneten Ableitungen:

$f'(x)=6x+5$

Beispiel 2: Ableitung einer Summe verschiedener Funktionen

$f(x)=\text{sen}(x)+\ln(x)$

Um die Summe der Funktionen zu differenzieren, müssen Sie die beiden Funktionen separat differenzieren und dann addieren. Wir leiten daher die Funktionen ab:

$\cfrac{d}{dx} \ \text{sen}(x)=\text{cos}(x)$

$\cfrac{d}{dx}\ \ln (x)=\cfrac{1}{x}$

Und dann addieren wir die beiden gefundenen Ableitungen:

$f'(x)=\text{cos}(x)+\cfrac{1}{x}$

Beispiel 3: Ableitung einer quadrierten Summe

$f(x)=\left(3x^4+7x^2+1\right)^2$

In diesem Fall haben wir eine zusammengesetzte Funktion, da wir eine Summe von Funktionen potenziert haben. Daher müssen wir die Kettenregel anwenden, um die gesamte Funktion abzuleiten:

$f(x)=2\left(3x^4+7x^2+1\right)\cdot (12x^3+14x)$

➤ Siehe: Eine Potenz ableiten

Aufgaben zu Ableitungen von Funktionssummen gelöst

Leiten Sie die folgenden Funktionssummen her

$\text{A) } f(x)=6x^3+9x^2$

$\text{B) } f(x)=x^4+10x^3+5x$

$\text{C) } f(x)=3x^2-4x+7$

$\text{D) } f(x)=\text{cos}(x)+e^{3x}$

$\text{E) } f(x)=\left(x^3+4x^2+6x\right)^3$

$\text{F) } f(x)=\log_3(8x^2+2x)-x^7+e^{x^2}$

Sehen Sie sich die Lösung an

$\text{A) } f'(x)=18x^2+18x$

$\text{B) } f'(x)=4x^3+30x^2+5$

$\text{C) } f'(x)=6x-4$

$\text{D) } f'(x)=-\text{sen}(x)+3e^{3x}$

$\text{E) } f'(x)=3\left(x^3+4x^2+6x\right)^2\cdot (3x^2+8x+6)$

$\text{F) } f'(x)=\cfrac{16x+2}{(8x^2+2x)\ln(3)}-7x^6+2x\cdot e^{x^2}$

Demonstration der Formel für die Ableitung einer Summe

In diesem letzten Abschnitt werden wir die Formel für die Ableitung einer Summe von Funktionen demonstrieren. Und dazu greifen wir auf die mathematische Definition der Ableitung zurück, die wie folgt lautet:

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Dann sei z die Summe zweier verschiedener Funktionen:

$z(x)=f(x)+g(x)$

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{z(x+h)-z(x)}{h}$

Wir ersetzen nun z durch die Summe der Funktionen im Grenzwertausdruck:

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\bigl[f(x+h)+g(x+h)\bigr]-\bigl[f(x)+g(x)\bigr]}{h}$

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}$

Wir transformieren den Bruch so, dass er eine Summe aus zwei Brüchen hat, die jeweils einer Additionsfunktion entsprechen:

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\left[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right]$

Dank der Eigenschaften von Grenzwerten können wir den vorherigen Ausdruck in zwei Grenzwerte aufteilen, da der Grenzwert einer Summe der Summe der Grenzwerte entspricht:

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim_{h \to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$

Und wie wir oben bei der Definition der Ableitung gesehen haben, entspricht jeder Grenzwert der Ableitung einer Funktion. Somit wird folgende Gleichheit erreicht:

$\displaystyle z'(x)=f'(x)+g'(x)$

Abgeleitet von einer summe