Ableitung der exponentialfunktion

In diesem Artikel erklären wir, wie man eine Exponentialfunktion ableitet. Sie finden die Formel für die Exponentialableitung (mit Basis a und Basis e) und gelöste Aufgaben zu Ableitungen von Exponentialfunktionen.

Die Regel für die Ableitung der Exponentialfunktion hängt von der Basis der Potenz ab , denn je nachdem, ob die Basis eine beliebige Zahl (a) oder die Zahl e ist, ergibt sich die Funktion unterschiedlich. Aus diesem Grund betrachten wir im Folgenden jeden Fall einzeln und fassen dann die beiden Formeln zusammen, um vollständig zu verstehen, wie eine Exponentialfunktion abgeleitet wird.

Ableitung der Exponentialfunktion mit Basis a

Die Ableitung der Exponentialfunktion zur Basis a ist gleich dem Produkt der Funktion und dem natürlichen Logarithmus der Basis der Potenz und der Ableitung des Exponenten.

f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'

Die Ableitung der folgenden Exponentialfunktion lautet beispielsweise:

f(x)=5^{x^2+1} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=5^{x^2+1}\cdot \ln(5) \cdot 2x

Ableitung der Exponentialfunktion mit Basis e

Die Ableitung der Exponentialfunktion zur Basis e entspricht dem Produkt derselben Funktion mit der Ableitung des Exponenten.

f(x)=e^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^u\cdot u'

Die Ableitung der auf 4x erhöhten Zahl e lautet beispielsweise:

f(x)=e^{4x}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^{4x} \cdot 4=4e^{4x}

Exponentielle Ableitungsformel

Wie wir gesehen haben, hängt die Ableitung einer Exponentialfunktion von ihrer Basis ab. Und die beiden Formeln, die zur Ableitung der Exponentialfunktionen verwendet werden, sind:

exponentielle Ableitung

Exponentielle Ableitung von e nach x

Sobald wir gesehen haben, wie die Exponentialableitungsformel lautet, werden wir den Fall der Ableitung von e in x analysieren, da es sich um einen merkwürdigen Fall handelt.

Die Ableitung der Funktion e nach x ergibt immer die Funktion selbst , d. h. egal wie oft wir die Funktion e x differenzieren, wir erhalten immer die gleiche Funktion.

\begin{array}{c} f(x)=e^x \\[2ex] f'(x)=e^x\\[2ex] f''(x)=e^x\\[2ex] f'''(x)=e^x\\ \vdots\\ f^n(x)=e^x\end{array}

Diese Eigenschaft der auf x erhobenen Funktion e beruht auf der Tatsache, dass die Ableitung von x 1 ist. Daher multiplizieren wir beim Ableiten immer die Funktion selbst mit 1 und erhalten als Ergebnis immer die Funktion d’origin.

f(x)=e^x \quad\longrightarrow\quad f'(x)=e^x\cdot 1= e^x

Probleme mit Ableitungen von Exponentialfunktionen gelöst

Übung 1

Leiten Sie die folgende Exponentialfunktion ab:

f(x)=3^x

Die Funktion basiert auf einer anderen Zahl als e, daher müssen wir die folgende Formel verwenden:

f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'

Die Ableitung der Exponentialfunktion zur Basis 3 lautet daher:

f(x)=3^x \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=3^x\cdot \ln(3) \cdot 1=3^x\cdot \ln(3)

Übung 2

Berechnen Sie die Ableitung der folgenden Exponentialfunktion:

f(x)=7^{3x^2-4x}

Die Funktion in dieser Übung basiert auf einer anderen Zahl als e, daher muss die folgende Formel angewendet werden:

f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'

Die Ableitung der Funktion lautet also:

f(x)=7^{3x^2-4x} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=7^{3x^2-4x}\cdot \ln(7) \cdot (6x-4)

Übung 3

Finden Sie die Ableitung der folgenden Exponentialfunktion zur Basis e:

f(x)=e^{(5x^2-9x)^3}

Die Funktion in dieser Übung hat die Zahl e als Basis, daher können wir die folgende Formel verwenden:

f(x)=e^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^u\cdot u'

Und die Ableitung der Exponentialfunktion ergibt:

f'(x)=e^{(5x^2-9x)^3} \cdot 3(5x^2-9x)^2\cdot (10x-9)

Beachten Sie, dass wir zur Lösung dieser Ableitung die Kettenregel verwenden müssen.

Übung 4

Finden Sie die Ableitung der folgenden Exponentialfunktion mit einer Wurzel als Exponent:

f(x)=9^{\sqrt{5x}}

➤ Siehe: Ableitung einer Wurzelfunktion

Obwohl der Exponent einen radikalen Ausdruck enthält, müssen wir dennoch die Regel verwenden, um die Exponentialfunktion aus der Basis a abzuleiten:

f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'

Die Ableitung der zusammengesetzten Exponentialfunktion lautet daher:

f'(x)=9^{\sqrt{5x}}\cdot \ln(9) \cdot \cfrac{5}{2\sqrt{5x}}

Übung 5

Leiten Sie die folgende Exponentialfunktion von der Basis e mit einem gebrochenen Exponenten ab:

f(x)=e^{\frac{x^2}{5-3x}}

➤ Siehe: Ableitung eines Quotienten von Funktionen

Die Basis der Potenz ist die Zahl e, daher verwenden wir die folgende Regel, um die Funktion zu dividieren:

f(x)=e^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^u\cdot u'

Die Ableitung der Exponentialfunktion lautet daher:

\begin{aligned}f'(x)&=e^{\frac{x^2}{5-3x}} \cdot \cfrac{2x\cdot (5-3x)-x^2\cdot (-3)}{(5-3x)^2}\\[3ex] &=e^{\frac{x^2}{5-3x}} \cdot \cfrac{10x-6x^2+3x^2}{(5-3x)^2}\\[3ex] &=e^{\frac{x^2}{5-3x}} \cdot \cfrac{10x-3x^2}{(5-3x)^2}\end{aligned}

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