Auf dieser Seite finden Sie die Erklärung, was eine Linearkombination zwischen Vektoren bedeutet. Darüber hinaus können Sie sich ein Beispiel dafür ansehen, wie ein Vektor als Linearkombination dargestellt wird, und außerdem Übungen und Aufgaben lösen, die Schritt für Schritt gelöst werden.
Was ist eine Linearkombination von Vektoren?
Die Definition der Linearkombination lautet wie folgt:
Eine lineare Kombination einer Menge von Vektoren ist der Vektor, der durch Addition aller Vektoren in der Menge multipliziert mit Skalaren (reellen Zahlen) entsteht.
Mit anderen Worten, es ist eine Menge von Vektoren gegeben
eine Linearkombination davon wäre:
Wo die Koeffizienten
Das sind reelle Zahlen.
Daher bedeutet ein Vektor, der eine lineare Kombination anderer Vektoren ist, dass der erste durch den zweiten ausgedrückt werden kann.
Dieses Konzept lässt sich besser verstehen, wenn man einen Vektor in der Ebene grafisch darstellt, der eine lineare Kombination zweier Vektoren ist:

Wie Sie in der grafischen Darstellung oben sehen können, ist der Vektor
kann aus Vektoren gewonnen werden
Und
Vektoroperationen durchführen. Daher der Vektor
ist eine Linearkombination der beiden anderen Vektoren.
Es sollte betont werden, dass diese lineare Kombination eindeutig ist, oder mit anderen Worten, dass es für jeden Vektor nur eine mögliche lineare Kombination gibt. Da wir, dem vorherigen Beispiel folgend, multipliziert haben
für 6 statt 4 würden wir einen anderen Vektor erhalten.
Darüber hinaus besteht eine der Eigenschaften der Linearkombination in der Ebene (im R2) darin, dass jeder Vektor als Linearkombination zweier anderer Vektoren dargestellt werden kann, wenn diese unterschiedliche Richtungen haben, also nicht parallel sind.
Manchmal können wir auch mit bloßem Auge erkennen, dass zwei Vektoren eine lineare Kombination sind. Dazu reicht es aus, dass seine Komponenten proportional sind. Beispielsweise sind die Koordinaten der folgenden zwei Vektoren proportional und daher eine Linearkombination:
Wenn es schließlich eine lineare Kombination innerhalb einer Menge von Vektoren gibt, bedeutet dies, dass sie linear voneinander abhängig sind, unabhängig davon, ob es sich um einen zweidimensionalen (in R2) oder einen dreidimensionalen (in R3) Vektorraum handelt. Ist hingegen keine Linearkombination zwischen den Vektoren möglich, bedeutet dies, dass sie linear unabhängig sind.
Wenn Ihnen dieses letzte Konzept nicht ganz klar ist, empfehlen wir Ihnen, sich unsere Erklärung zu linear abhängigen und unabhängigen Vektoren anzusehen. Hier finden Sie, was es bedeutet, dass Vektoren linear abhängig oder unabhängig sind, Beispiele für jeden Typ und die Unterschiede zwischen ihnen. . Dieses Konzept wird häufig verwendet und in Prüfungen tatsächlich häufig gefragt, daher ist es wichtig, dass Sie es gut verstehen.
Wie man einen Vektor als lineare Kombination anderer Vektoren ausdrückt
Wir werden dann sehen, wie wir ein typisches Problem lösen können, bei dem wir aufgefordert werden, die Linearkombination eines Vektors zu finden.
- Drücken Sie den Vektor aus
als Linearkombination von
Und
Damit der Vektor
eine Linearkombination der anderen Vektoren sein, muss die folgende Gleichung erfüllt sein:
Wo die Koeffizienten
Und
Das sind die Unbekannten, die wir finden müssen.
Wir ersetzen daher jeden Vektor durch seine Koordinaten:
Wir multiplizieren jeden Vektor mit seinem Koeffizienten:
Wir fügen Vektoren hinzu:
Jede linke Koordinate muss gleich jeder rechten Koordinate sein. Wir haben daher 3 Gleichungen:
Es bleibt nur noch die Lösung des erhaltenen Gleichungssystems. Verwenden Sie dazu die von Ihnen bevorzugte Methode (Substitutionsmethode, Cramer-Regel, Gauß-Jordan-Methode usw.). In diesem Fall verwenden wir die Gauß-Methode:
Das erhaltene Schrittsystem lautet daher:
Jetzt müssen wir nur noch das Unbekannte klären und seinen Wert herausfinden. Aus der letzten Gleichung finden wir also
Aus der zweiten Gleichung des Systems berechnen wir den Wert von
Und schließlich finden wir aus der ersten Gleichung des Stufensystems die Unbekannte
Die Lösung des linearen Gleichungssystems lautet daher:
Also der Vektor
Es kann durch die folgende Linearkombination ausgedrückt werden:
Es besteht also faktisch eine lineare Abhängigkeit zwischen den Vektoren. Wenn andererseits keine Lösung des Gleichungssystems gefunden worden wäre, würde dies bedeuten, dass der Vektor
Er ist linear unabhängig von den anderen Vektoren und daher wäre keine lineare Kombination möglich, um diesen Vektor aus den anderen Vektoren zu erhalten.
Aufgaben zur Linearkombination von Vektoren gelöst
Übung 1
Geben Sie unter den folgenden drei Vektoren an, welche Paare lineare Kombinationen voneinander sind. Ermitteln Sie außerdem die lineare Kombinationsbeziehung dieser Vektorpaare.
Übung 2
Finden Sie die lineare Beziehung zwischen dem Vektor
und die Menge der Vektoren
Und
Übung 3
Drücken Sie den Vektor aus
als Linearkombination von Vektoren
Und
Übung 4
Bestimmen Sie, ob der Vektor
kann als Linearkombination aus den Vektoren ausgedrückt werden
Und
Finden Sie in diesem Fall den Ausdruck, der sie verbindet.