Hier erfahren Sie, wie Sie die Ableitung des hyperbolischen Arcsecans einer Funktion berechnen. Darüber hinaus können Sie gelöste Beispiele für die Ableitung des hyperbolischen Bogensekans sehen.
Hyperbolische Arcsecant-Ableitungsformel
Die Ableitung des hyperbolischen Arcsecant von x ist gleich minus 1 dividiert durch das Produkt aus x mal der Wurzel aus eins minus x zum Quadrat.
Daher ist die Ableitung des hyperbolischen Arcsecants einer Funktion minus der Ableitung dieser Funktion dividiert durch das Produkt der Funktion mal der Wurzel aus eins minus der quadrierten Funktion.
Kurz gesagt lautet die Formel für die Ableitung der hyperbolischen Arcsecant-Funktion:
Eigentlich entsprechen beide Ausdrücke der gleichen Formel, allerdings wird auf die zweite Formel die Kettenregel angewendet. Wenn Sie u durch die Identitätsfunktion x ersetzen, erhalten Sie tatsächlich die erste Formel, da die Ableitung von x 1 ist.
Beispiele für die Ableitung des hyperbolischen Arcsecans
Nachdem wir gesehen haben, wie die Formel für die Ableitung des hyperbolischen Arcsecans lautet, werden wir zwei Schritt-für-Schritt-Übungen dieser Art von inversen trigonometrischen Ableitungen lösen. So können Sie genau sehen, wie Sie den hyperbolischen Arcsecans einer Funktion ableiten.
Beispiel 1
In diesem Beispiel bestimmen wir die Ableitung des 2x hyperbolischen Arcsecans.
Im hyperbolischen Arcsecant-Argument haben wir eine andere Funktion als x, daher müssen wir die Kettenregelformel verwenden, um sie abzuleiten:
Die Funktion 2x ist linear, daher ist ihre Ableitung 2. Um die Ableitung zu finden, ersetzen wir einfach 2x für u und 2 für u‘ in der Formel:
Beispiel 2
In dieser zweiten Übung werden wir den hyperbolischen Arcsecans einer Polynomfunktion ableiten:
Die Funktion dieser Übung ist zusammengesetzt, da der hyperbolische Arcsecans in seiner Argumentation eine andere Funktion hat. Daher müssen wir zur Ableitung die hyperbolische Arcsecant-Ableitungsformel mit der Kettenregel verwenden:
Deshalb setzen wir im Zähler des Bruchs die Ableitung der Polynomfunktion des Arguments ein und im Nenner ändern wir das u durch die Polynomfunktion:
![\begin{aligned}f(x)=\text{arcsech}(x^3-4x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black}f'(x)&=\cfrac{-(3x^2-4)}{(x^3-4x)\sqrt{1-(x^3-4x)^2}}\\[1.5ex] &=\cfrac{-3x^2+4}{(x^3-4x)\sqrt{1-(x^3-4x)^2}}\end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1f6389de5c7761fb5d35a9861156eec1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")