Ableitung einer logarithmischen funktion

Hier erfahren Sie, wie Sie die Ableitung einer logarithmischen Funktion in einer beliebigen Basis (Formel) lösen. Darüber hinaus können Sie mit Schritt-für-Schritt-Übungen zu Ableitungen logarithmischer Funktionen üben.

Die Formel zur Division einer logarithmischen Funktion variiert je nachdem, ob der Logarithmus natürlich (mit Basis e) oder eine andere Basis ist . Deshalb werden wir uns die beiden Formeln zunächst getrennt mit einem Beispiel für jeden Fall ansehen und dann eine Zusammenfassung der beiden Regeln erstellen.

Ableitung eines natürlichen oder natürlichen Logarithmus

Die Ableitung eines natürlichen Logarithmus (oder natürlicher Logarithmus) ist der Quotient aus der Ableitung des Arguments des Logarithmus dividiert durch die Funktion des Arguments.

f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}

Wenn die Funktion innerhalb des Logarithmus die Identitätsfunktion ist, verbleibt logischerweise eine 1 im Zähler der Ableitung:

f(x)=\ln(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x}

Schauen Sie sich das folgende Beispiel an, in dem die Ableitung des natürlichen Logarithmus von 3x gelöst wird:

f(x)=\ln(3x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{3}{3x}=\cfrac{1}{x}

Denken Sie daran, dass der natürliche Logarithmus ein Logarithmus ist, dessen Basis die Zahl e (Euler-Zahl) ist.

\ln(x)=\log_e(x)

Ableitung eines Logarithmus basierend auf

Die Ableitung eines Logarithmus nach einer beliebigen Basis ist gleich 1 geteilt durch das Produkt aus x mal dem natürlichen Logarithmus der Basis des ursprünglichen Logarithmus.

f(x)=\log_a(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot\ln(a)}

Wenn wir also die Kettenregel anwenden, lautet die logarithmische Ableitungsregel:

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

Die Ableitung des Logarithmus zur Basis 2 von x im Quadrat lautet beispielsweise:

f(x)=\log_2(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{2x}{x^2\cdot\ln(2)}=\cfrac{2}{x\ln(2)}

Formel für die Ableitung einer logarithmischen Funktion

In Anbetracht der Definition der logarithmischen Ableitung und ihrer beiden möglichen Varianten finden Sie hier eine Zusammenfassung der beiden Formeln, damit Sie sie sich leichter merken können.

Ableitung einer logarithmischen Funktion

Probleme mit Ableitungen logarithmischer Funktionen gelöst

Übung 1

Leiten Sie die folgende logarithmische Funktion her:

f(x)=\log(3x^2)

In diesem Fall ist es notwendig, die Ableitung eines Logarithmus in Dezimalbasis zu lösen, wir müssen daher die folgende Formel anwenden:

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

Die Ableitung des Logarithmus zur Basis 10 ist daher:

f(x)=\log(3x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{6x}{3x^2\cdot \ln(10)}=\cfrac{2}{x \ln(10)}

Denken Sie daran: Wenn ein Logarithmus keine Basis hat, bedeutet dies, dass seine Basis 10 ist.

Übung 2

Leiten Sie den folgenden natürlichen (oder natürlichen) Logarithmus ab:

f(x)=\ln\left(x^3+4x^2\right)^5

Die Funktion in diesem Problem ist ein natürlicher Logarithmus, daher müssen wir die folgende Regel verwenden, um die logarithmische Funktion abzuleiten:

f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus lautet daher:

\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{5\left(x^3+4x^2\right)^4\cdot (3x^2+8x)}{\left(x^3+4x^2\right)^5}\\[2ex] &=\cfrac{5\cdot (3x^2+8x)}{x^3+4x^2}\\[2ex] &=\cfrac{15x^2+40x}{x^3+4x^2}\\[2ex] &=\cfrac{15x+40}{x^2+4x}\end{aligned}

Übung 3

Leiten Sie den folgenden Logarithmus ab:

f(x)=\log_7(x^5+7x^2-3x+1)

In dieser Übung müssen wir einen Logarithmus zur Basis 7 ableiten, daher verwenden wir die folgende Formel:

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

Und die Ableitung des Logarithmus ist:

f'(x)=\cfrac{5x^4+14x-3}{(x^5+7x^2-3x+1)\cdot \ln(7)}

Übung 4

Finden Sie die Ableitung der folgenden logarithmischen Funktion mit einem Bruch:

\displaystyle f(x)=\log_4\left(\frac{5x}{8x^2-1}\right)

Um die logarithmische Ableitung zu lösen, können wir zunächst die Funktion vereinfachen, indem wir die Eigenschaften von Logarithmen anwenden:

f(x)=\log_4(5x)-\log_4(8x^2-1)

Jetzt müssen wir die logarithmische Ableitungsformel zweimal verwenden, aber beide Ableitungen sind einfacher zu berechnen.

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

Zusammenfassend lautet die Ableitung der Funktion:

\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{5}{5x\cdot \ln(4)}-\cfrac{16x}{(8x^2-1)\cdot \ln(4)}\\[2ex]&=\cfrac{1}{x\ln(4)}-\cfrac{16x}{(8x^2-1)\ln(4)}\end{aligned}

Übung 5

Berechnen Sie die Ableitung der folgenden logarithmischen Funktion mit einer Wurzel:

f(x)=\ln\left(\sqrt[4]{\text{cos}(9x)}\right)

Zunächst vereinfachen wir die Funktion mithilfe der Eigenschaften von Logarithmen:

f(x)=\ln\left(\text{cos}(9x)\right)^{\frac{1}{4}}

\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}\ln\left(\text{cos}(9x)\right)

Und nachdem wir das Radikal aus der Funktion entfernt haben, verwenden wir die Regel für die Ableitung des natürlichen bzw. natürlichen Logarithmus:

f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}

Daher ist die Ableitung der zusammengesetzten logarithmischen Funktion:

f'(x)&=\cfrac{1}{4}\cdot \cfrac{-\text{sen}(9x)\cdot 9}{\text{cos}(9x)}=\cfrac{-9\text{sen}(9x)}{4\text{cos}(9x)}

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