Kosinusfunktion - Mathematik

Auf dieser Seite finden Sie alles über die Kosinusfunktion: Was ist sie, wie lautet ihre Formel, wie stellt man sie in einem Diagramm dar, die Eigenschaften der Funktion, Amplitude, Periode usw. Darüber hinaus können Sie verschiedene Beispiele für Kosinusfunktionen sehen, um das Konzept vollständig zu verstehen. Es erklärt sogar den Kosinussatz und die Beziehungen, die die Kosinusfunktion mit anderen trigonometrischen Verhältnissen hat.

Kosinusfunktionsformel

Die Kosinusfunktion eines Winkels α ist eine trigonometrische Funktion, deren Formel als das Verhältnis zwischen dem angrenzenden (oder benachbarten) Schenkel und der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks (Dreieck mit rechtem Winkel) definiert ist.

Wie lautet die Formel für die Kosinusfunktion?

Kosinus ist eine trigonometrische Funktion

Diese Art von mathematischer Funktion wird auch Kosinus, Cosinus oder Kosinusfunktion genannt.

Die Kosinusfunktion ist neben Sinus und Tangens eines Winkels eines der drei bekanntesten trigonometrischen Verhältnisse.

Charakteristische Werte der Kosinusfunktion

Einige Winkel wiederholen sich häufig und daher ist es praktisch, den Wert der Kosinusfunktion bei diesen Winkeln zu kennen:

Das Vorzeichen der Kosinusfunktion hängt also davon ab, in welchem Quadranten sich der Winkel befindet: Liegt der Winkel im ersten oder vierten Quadranten, ist der Kosinus positiv, liegt der Winkel hingegen im zweiten oder dritten Quadranten , der Kosinus wird negativ sein.

Grafische Darstellung der Kosinusfunktion

Mit der Wertetabelle, die wir im vorherigen Abschnitt gesehen haben, können wir die Kosinusfunktion grafisch darstellen. Und indem wir die Kosinusfunktion grafisch darstellen, erhalten wir:

wie man die Kosinusfunktion grafisch darstellt

Wie Sie der Grafik entnehmen können, liegen die Werte der Bilder der Kosinusfunktion immer zwischen +1 und -1, das heißt, sie wird oben durch +1 und unten durch -1 begrenzt. Darüber hinaus wiederholen sich die Werte alle 360 Grad (2π Bogenmaß), es handelt sich also um eine periodische Funktion mit einer Periode von 360°.

Andererseits erkennen wir in diesem Diagramm vollkommen, dass die Kosinusfunktion gerade ist, da ihre entgegengesetzten Elemente das gleiche Bild haben, das heißt, dass sie in Bezug auf die Computerachse (Y-Achse) symmetrisch ist. Beispielsweise ist der Kosinus von 90° 0 und der von -90° 0.

Eigenschaften der Kosinusfunktion

Die Kosinusfunktion hat folgende Eigenschaften:

Der Definitionsbereich der Kosinusfunktion besteht aus allen reellen Zahlen, da die Funktion, wie die Grafik zeigt, für jeden Wert der unabhängigen Variablen x existiert.

$\text{Dom } f = \mathbb{R}$

Der Pfad oder Bereich der Kosinusfunktion reicht von negativ 1 bis positiv 1 (beide einschließlich).

$\text{Im } f= [-1,1]$

Es handelt sich um eine stetige Funktion und ein Paar mit der Periodizität 2π.

$\displaystyle \text{cos }x = \text{cos}(-x)$

Diese Art von trigonometrischer Funktion hat einen einzigen Schnittpunkt mit der OY-Achse am Punkt (0,1).

$(0,1)$

Stattdessen schneidet es periodisch die Abszisse (X-Achse) bei ungeraden Vielfachen der Koordinaten des Mittelwerts pi.

$\displaystyle \left(\frac{\pi}{2}+k\pi ,0\right) \qquad k \in \mathbb{Z}$

Das Maximum der Kosinusfunktion tritt auf, wenn:

$x = 2\pi k \qquad k \in \mathbb{Z}$

Und umgekehrt liegt das Minimum der Kosinusfunktion bei:

$x = \pi(2k +1 ) \qquad k \in \mathbb{Z}$

Die Ableitung der Kosinusfunktion ist der Sinus mit geändertem Vorzeichen:

$f(x)=\text{cos } x \ \longrightarrow \ f'(x)= -\text{sen } x$

Schließlich ist das Integral der Kosinusfunktion Sinus:

$\displaystyle \int \text{cos } x \ dx= \text{sen } x + C$

Periode und Amplitude der Kosinusfunktion

Wie wir in seinem Diagramm gesehen haben, ist die Kosinusfunktion eine periodische Funktion, das heißt, ihre Werte wiederholen sich mit einer Häufigkeit. Darüber hinaus hängen die Maximal- und Minimalwerte, zwischen denen es schwankt, von seiner Amplitude ab. Zwei wichtige Merkmale, die die Kosinusfunktion bestimmen, sind also ihre Periode und ihre Amplitude:

$\displaystyle f(x)= A\text{cos}(wx)$

Die Periode der Kosinusfunktion ist der Abstand zwischen zwei Punkten, an denen sich der Graph wiederholt, und wird mit der folgenden Formel berechnet:

$\displaystyle \text{Periodo}=T=\cfrac{2\pi}{w}$

Der Betrag der Kosinusfunktion entspricht dem Koeffizienten vor dem Kosinusterm.

$\displaystyle \text{Amplitud}=A$

Unten sehen Sie eine Grafik, die die Auswirkungen einer Änderung der Periode oder Amplitude zeigt:

In der grün dargestellten Funktion können wir sehen, dass die Funktion durch die Verdoppelung der Amplitude von +2 auf -2 geht, statt von +1 auf -1. Andererseits sieht man in der rot dargestellten Funktion, dass sie doppelt so schnell abläuft wie die „kanonische“ Kosinusfunktion, da ihre Periode halbiert wurde.

Kosinussatz

Obwohl die Kosinusformel normalerweise in rechtwinkligen Dreiecken verwendet wird, gibt es auch einen Satz, der auf jede Art von Dreiecken angewendet werden kann: den Kosinus- oder Kosinussatz.

Der Kosinussatz setzt die Seiten und Winkel jedes Dreiecks wie folgt in Beziehung:

$a^2=b^2+c^2-2\cdot b \cdot c\cdot \text{cos }\alpha$

$b^2=a^2+c^2-2\cdot a \cdot c\cdot \text{cos }\beta$

$c^2=a^2+b^2-2\cdot a \cdot b\cdot \text{cos }\gamma$

Beziehungen der Kosinusfunktion zu anderen trigonometrischen Verhältnissen

Dann haben Sie die Kosinusbeziehungen mit den wichtigsten trigonometrischen Verhältnissen in der Trigonometrie.

Beziehung zur Brust

Der Graph der Sinusfunktion entspricht der Cosinuskurve, ist jedoch verschoben
$\displaystyle \frac{\pi}{2}$

rechts können die beiden Funktionen also durch den folgenden Ausdruck verknüpft werden:

$\displaystyle \text{cos }\alpha = \text{sen}\left(\alpha + \frac{\pi}{2} \right)$

Sie können Sinus und Cosinus auch mit der trigonometrischen Grundidentität in Beziehung setzen:

$\displaystyle \text{sen}^2\alpha + \text{cos}^2\alpha=1$

Beziehung zur Tangente

Obwohl der Beweis komplex ist, kann der Kosinus nur durch den Tangens ausgedrückt werden:

$\displaystyle \text{cos }\alpha = \pm \cfrac{1}{\sqrt{1+\text{tg}^2\alpha \vphantom{\bigl( }}}$

Beziehung zur Sekante

Kosinus und Sekante sind multiplikative Umkehrungen:

$\displaystyle \text{cos }\alpha = \cfrac{1}{\text{sec }\alpha}$

Beziehung zum Kosekans

Der Kosinus kann so gelöst werden, dass er nur vom Kosekans abhängt:

$\displaystyle \text{cos }\alpha =\pm \cfrac{\sqrt{\text{csc}^2\alpha -1 } }{\text{csc }\alpha}$

Zusammenhang mit dem Kotangens

Der Kosinus und der Kotangens eines Winkels hängen durch die folgende Gleichung zusammen:

$\displaystyle \text{cos }\alpha =\pm \cfrac{\text{cot }\alpha}{\sqrt{1+\text{cot}^2\alpha \vphantom{\bigl( }}}$