Auf dieser Seite erklären wir, wie man das Quadrat eines Trinoms (Formel) löst. Darüber hinaus können Sie mehrere Beispiele sehen und mit Übungen üben, die Schritt für Schritt zu quadrierten Trinomen gelöst werden.
Formel für ein quadriertes Trinom
Um die Trinom-Quadrat-Formel zu verstehen, müssen Sie logischerweise zunächst wissen, was ein Trinom ist. Ich hinterlasse Ihnen diesen Link für den Fall, dass Sie ihn überprüfen möchten, bevor Sie mit der Erklärung fortfahren.
Ein Trinomquadrat ist gleich dem Quadrat des ersten Termes, plus dem Quadrat des zweiten Termes, plus dem Quadrat des dritten Termes, plus dem Doppelten des ersten Termes mal dem zweiten, plus dem Doppelten des ersten Termes mal dem dritten, plus dem Doppelten Zweiter für den Dritten.
Das Quadrat eines Trinoms ist so wichtig, weil es ein bemerkenswertes Produkt (oder eine bemerkenswerte Identität) ist, das heißt, es gibt eine mathematische Formel, mit der Sie diese Operation schnell berechnen können. Klicken Sie auf den folgenden Link, um alle wichtigen Produktformeln anzuzeigen.
Beispiele für quadratische Trinome
Nachdem wir gesehen haben, wie die Formel für ein quadriertes Trinom lautet, werden wir mehrere Beispiele für die Berechnung des Quadrats eines Trinoms sehen:
Beispiel 1
- Berechnen Sie die folgende Potenz eines quadrierten Trinoms:
Die Formel für das Quadrat eines Trinoms lautet:
Daher müssen wir zunächst die Parameterwerte identifizieren
Und
der Formel. In dieser Übung
Ost
der Koeffizient
entsprechen dem
Und
ist der unabhängige Term 3:
![\left. \begin{array}{c} (a+b+c)^2\\[2ex] \left(x^2+x+3\right)^2 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x^2 \\[2ex] b=x \\[2ex] c=3 \end{array}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-55e06f44486e75e9153a60d36e83bc37_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Und wenn wir die Werte bereits kennen, setzen Sie diese Werte einfach in die Formel ein und führen Sie die Berechnungen durch:
Andererseits ist zu beachten, dass ein quadratisches Trinom nicht dasselbe ist wie ein perfektes quadratisches Trinom . Dies ist ein häufiger Fehler, da viele Menschen diese beiden Konzepte verwechseln. Sie können die Unterschiede zwischen diesen beiden Arten von Trinomen unter dem Link in diesem Absatz sehen.
Beispiel 2
- Finden Sie das nächste Quadrat eines Trinoms:
Um diese Polynompotenz zu bestimmen, müssen wir die Formel für ein auf zwei erhöhtes Trinom anwenden:
Bei diesem Problem gilt:
Dies entspricht
entspricht dem negativen Monom
Und
ist Nummer 4:
![\left. \begin{array}{c} (a+b+c)^2\\[2ex] \left(x^2-2x+4\right)^2 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x^2 \\[2ex] b=-2x \\[2ex] c=4 \end{array}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e816dc27154d8b4e9748c340da4a04e0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Also setzen wir die gefundenen Werte in die Formel ein und lösen die resultierenden Operationen:
![\begin{array}{l} \left(x^2-2x+4\right)^2 = \\[2ex] = \left(x^2\right)^2+(-2x)^2+4^2+2\cdot x^2 \cdot (-2x) + 2 \cdot x^2 \cdot 4 +2 \cdot (-2x) \cdot 4 = \\[2ex] = x^4+4x^2+16-4x^3 + 8x^2 -16x = \\[2ex] = x^4-4x^3+12x^2-16x+16 \end{array}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-97cdd6092e40172071bcb1e84b4df444_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Denken Sie daran, dass die Potenz mit einem geraden Exponenten einer negativen Basis einen positiven Term ergibt, also
ist gleich
Nachdem Sie nun gesehen haben, wie das Quadrat eines Trinoms berechnet wird, wird es Sie wahrscheinlich auch interessieren, wie man das Produkt der Summe durch die Differenz zweier Terme löst. Tatsächlich gehört er zu den Top 3 der bemerkenswertesten (wichtigsten) Identitäten. Wie die Formel lautet und wie sie angewendet wird, können Sie auf der verlinkten Seite sehen.
Demonstration der Formel für das Quadrat eines Trinoms
Um den Begriff der Potenz eines Trinomquadrats vollständig zu verstehen, werden wir die Formel herleiten, die wir gerade studiert haben.
Von jedem auf 2 angehobenen Trinom:
Der obige algebraische Ausdruck entspricht der Multiplikation des Trinoms in Klammern mit sich selbst:
Nun multiplizieren wir die beiden Trinome:
Abschließend gruppieren wir ähnliche Begriffe:
Und damit sind wir bereits beim Ausdruck der Formel angelangt, so dass die Formel für das Quadrat eines Trinoms demonstriert wird:
Auf unserer Website haben wir weitere Demonstrationen bemerkenswerter Identitäten. Sie können sich beispielsweise die Demonstration der Formel für eine quadrierte Summe und eine quadrierte Differenz ansehen. Darüber hinaus sehen Sie in diesen Links nicht nur ihre Beweise, sondern auch die geometrische Interpretation ihrer Formeln, also was diese Art bemerkenswerter Identitäten geometrisch bedeuten.
Probleme mit quadratischen Trinomen gelöst
Lösen Sie die folgenden quadratischen Trinome:
Um alle Aufgaben zu lösen, müssen wir die Formel für das Quadrat eines Trinoms verwenden, die lautet:
![\text{A)} \ \begin{array}{l} \left(x^2+x+5\right)^2 = \\[2ex] = \left(x^2\right)^2+x^2+5^2+2\cdot x^2 \cdot x + 2 \cdot x^2 \cdot 5 +2 \cdot x \cdot 5 = \\[2ex] = x^4+x^2+25+2x^3 + 10x^2 +10x = \\[2ex] = \bm{x^4+2x^3+11x^2+10x+25} \end{array}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-749dc45e7a00d7122d62b774706bdcc0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\text{B)} \ \begin{array}{l}\left(x^2+3x-4\right)^2 = \\[2ex] = \left(x^2\right)^2+(3x)^2+(-4)^2+2\cdot x^2 \cdot 3x + 2 \cdot x^2 \cdot (-4) +2 \cdot 3x \cdot (-4) = \\[2ex] = x^4+9x^2+16+6x^3-8x^2-24x = \\[2ex] = \bm{x^4+6x^3+x^2-24x+16} \end{array}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b1f51f18b3c1118b6e8e3acc3441b0ec_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\text{C)} \ \begin{array}{l}\left(4x^2-6x+3\right)^2 = \\[2ex] = \left(4x^2\right)^2+(-6x)^2+3^2+2\cdot 4x^2 \cdot (-6x) + 2 \cdot 4x^2 \cdot 3 +2 \cdot (-6x) \cdot 3 = \\[2ex] = 16x^4+36x^2+9-48x^3+24x^2-36x = \\[2ex] = \bm{16x^4-48x^3+60x^2-36x+9} \end{array}\end{array}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-49c6496bf684296d315fc96d9cb5857e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\text{D)} \ \begin{array}{l} \left(x^3-3x^2-9x\right)^2 = \\[2ex] = \left(x^3\right)^2+\left(-3x^2\right)^2+(-9x)^2+2\cdot x^3 \cdot (-3x^2) + 2 \cdot x^3 \cdot (-9x) +2 \cdot (-3x^2) \cdot (-9x) = \\[2ex] = x^6+9x^4+81x^2-6x^5-18x^4+54x^3 = \\[2ex] = \bm{x^6-6x^5-9x^4+54x^3+81x^2} \end{array}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7cd08035d8402c27c411bcf5b30216cb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")