Binomiale Quarte – Mathematik

Auf dieser Seite finden Sie die Formel für eine Binomial-Quater-Operation und wir erklären anhand von Beispielen, wie Sie diese Art der Binomialoperation lösen können. Darüber hinaus können Sie mit Schritt für Schritt gelösten Übungen von Gleichaltrigen bis zur vierten Klasse üben.

Viertelbinomialformel

In der Mathematik ist ein Binom hoch vier ein Polynom, das aus zwei Termen besteht und auf den vierten Grad erhöht wird.

Daher lautet die Formel zur Berechnung eines Viertelbinomials wie folgt:

$(a+b)^4 = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$

Diese Formel kann aus der allgemeinen Binomialformel von Newton abgeleitet werden. Tatsächlich können Sie mit der Newtonschen Binomialzahl Binomiale beliebiger Potenz berechnen, daher ist es am besten, die Newtonsche Binomialformel zu lernen. Klicken Sie auf den vorherigen Link und finden Sie heraus, wie diese Formel aussieht.

Daher ist ein Binomial in der Quarte gleich dem ersten Term, erhöht zur Quarte, plus dem Produkt aus 4 mal dem ersten Term kubiert und dem zweiten Term plus dem ersten und zweiten Term quadriert mal 6, plus dem Produkt aus 4 mal dem erster Term multipliziert mit dem zweiten Term, erhöht auf 3, plus dem zweiten Term, erhöht auf den vierten.

Diese Formel entspricht dem Summenbinomial (seine beiden Elemente sind positiv), aber in der Formel für die auf das vierte erhöhte Binomialsubtraktion sind die Vorzeichen des zweiten und vierten Produkts negativ:

$(a \color{red}\bm{-}\color{black}b)^4 = a^4\color{red}\bm{-}\color{black}4a^3b+6a^2b^2\color{red}\bm{-}\color{black}4ab^3+b^4$

Beispiele von Mitschülern in der vierten Klasse

Angesichts der Formel für diesen Binomialtyp werden wir mehrere Beispiele für die Lösung eines Binomials in die Quarte sehen. Wir berechnen zunächst ein positives Binomial und lösen dann ein negatives Binomial.

Beispiel 1

Berechnen Sie das folgende Binomial auf die vierte Stufe erhöht:

$(x+2)^4$

Die Formel für die Potenz eines Summenbinomials erhöht auf die 4. lautet:

$(a+b)^4 = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$

Um also das Binomial für die Übung zu berechnen, ersetzen Sie einfach die beiden Beträge des Binomials in der Formel:

$(x+2)^4 = x^4+4\cdot x^3\cdot 2+6\cdot x^2\cdot 2^2+4\cdot x\cdot 2^3+2^4$

Und schließlich lösen wir die Operationen:

$\begin{aligned}(x+2)^4 & = x^4+4\cdot x^3\cdot 2+6\cdot x^2\cdot 4+4\cdot x\cdot 8+16 \\[2ex] & =x^4+8 x^3+24x^2+32x+16\end{aligned}$

Beispiel 2

Finden Sie das folgende Binomial auf die vierte Stufe erhöht:

$(x-3)^4$

Die Potenzierungsformel für ein auf die 4. Stufe erhöhtes Differenzbinomial lautet wie folgt:

$(a-b)^4 = a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4$

Um das Binomial des Problems zu bestimmen, ersetzen Sie daher einfach die Variablen in der Formel durch die Werte des Binomials:

$(x-3)^4 = x^4-4\cdot x^3\cdot 3+6\cdot x^2\cdot 3^2-4\cdot x\cdot 3^3+3^4$

Und schließlich lösen wir die resultierenden Operationen:

$\begin{aligned}(x-3)^4 & = x^4-4\cdot x^3\cdot 3+6\cdot x^2\cdot 9-4\cdot x\cdot 27+81 \\[2ex] & =x^4-12x^3+54x^2-108x+81\end{aligned}$

Demonstration der Formel eines Binomials im vierten

Um das Konzept des auf die Quarte erhobenen Binomials zu untersuchen, werden wir seine Formel auf verschiedene Arten demonstrieren.

Von jedem Paar, das auf 4 erhöht wurde:

$(a+b)^4$

Der algebraische Ausdruck eines Binoms bis zur Quarte kann durch die Erweiterung in Primfaktoren faktorisiert werden:

$(a+b)^4=(a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)$

Indem wir jedes Produkt von Polynomen lösen, gelangen wir zu der Formel für das Binomial, erhöht auf die vierte:

$\begin{aligned} (a+b)^4 & =(a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b) \\[2ex] &= (a^2+2ab+b^2)\cdot (a+b)\cdot (a+b) \\[2ex] & = (a^3+3a^2b+3ab^2+b^3) \cdot (a+b) \\[2ex] & = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{aligned}$

Andererseits kann die Formel für ein Binom zur Quarte auch anhand der Formel für ein Binomial zur Kubik verifiziert werden:

$\begin{aligned} (a+b)^4 & =(a+b)^3 \cdot (a+b)\\[2ex] & = (a^3+3a^2b+3ab^2+b^3) \cdot (a+b) \\[2ex] & = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{aligned}$

Ebenso kann der Beweis durch bemerkenswerte Produkte (oder bemerkenswerte Identitäten) erbracht werden. Verwenden Sie beispielsweise die Formel für das bemerkenswerte Produkt des Quadrats einer Summe :

$\begin{aligned} (a+b)^4 & =(a+b)^2\cdot (a+b)^2 \\[2ex] &= (a^2+2ab+b^2)\cdot (a^2+2ab+b^2) \\[2ex] & = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{aligned}$

Dementsprechend wird die bemerkenswerte Identitätsformel für das Quadrat einer Subtraktion verwendet, um die Formel für eine binomiale Subtraktion zu bestätigen:

$\begin{aligned} (a-b)^4 & =(a-b)^2\cdot (a-b)^2 \\[2ex] &= (a^2-2ab+b^2)\cdot (a^2-2ab+b^2) \\[2ex] & = a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4 \end{aligned}$

Gelöste Übungen für Paare in der vierten Klasse

Lösen Sie die folgenden Potenzen von Binomialen auf die vierte Stufe:

$\text{A)} \ (x+1)^4$

$\text{B)} \ (2x+3)^4$

$\text{C)} \ (x-4)^4$

$\text{D)} \ (x^2+y)^4$

siehe Lösung

$\text{A)} \ \begin{aligned} (x+1)^4 & = x^4 +4\cdot x^3\cdot 1+6 \cdot x^2\cdot 1^2+4 \cdot x\cdot 1^3 + 1^4 \\[2ex] & = x^4 +4\cdot x^3\cdot 1+6 \cdot x^2\cdot 1+4 \cdot x\cdot 1 + 1 \\[2ex] & = \bm{x^4 +4x^3+6 x^2+4 x + 1}\end{aligned}$

$\text{B)} \ \begin{aligned} (2x+3)^4 & = (2x)^4 +4\cdot (2x)^3\cdot 3+6 \cdot (2x)^2\cdot 3^2+4 \cdot 2x\cdot 3^3 + 3^4 \\[2ex] & = 16x^4 +4\cdot 8x^3\cdot 3+6 \cdot 4x^2\cdot 9+4 \cdot 2x\cdot 27 + 81\\[2ex] & = \bm{16x^4 +96x^3+216x^2+216x + 81}\end{aligned}$

$\text{C)} \ \begin{aligned} (x-4)^4 & = x^4 -4\cdot x^3\cdot 4+6 \cdot x^2\cdot 4^2-4 \cdot x\cdot 4^3 + 4^4 \\[2ex] & = x^4 -4\cdot x^3\cdot 4+6 \cdot x^2\cdot 16-4 \cdot x\cdot 64 + 256 \\[2ex] & = \bm{x^4 -16 x^3+96x^2-256x + 256}\end{aligned}$

$\text{D)} \ \begin{aligned} (x^2+y)^4 & = \left(x^2\right)^4 +4\cdot \left(x^2\right)^3\cdot y+6 \cdot \left(x^2\right)^2\cdot y^2+4 \cdot x^2\cdot y^3 + y^4 \\[2ex] & =x^8 +4\cdot x^6\cdot y+6 \cdot x^4\cdot y^2+4 \cdot x^2\cdot y^3 + y^4 \\[2ex] & = \bm{x^8 +4x^6y+6 x^4 y^2+4x^2y^3 + y^4}\end{aligned}$

Paar im vierten