Summe der würfel

Auf dieser Seite finden Sie die Würfelsummenformel und die Erklärung, wie Würfelsummen faktorisiert werden. Darüber hinaus können Sie sich mehrere Beispiele und gelöste Aufgaben zum Thema Würfelsummen ansehen.

Wie groß ist die Summe der Würfel?

Die Würfelsumme ist ein Binomial (Polynom mit nur zwei Monomen), dessen beide Terme positiv sind und dessen Kubikwurzeln außerdem exakt sind. Daher ist der algebraische Ausdruck für eine Würfelsumme a ³ +b ³ .

Darüber hinaus entspricht die Summe perfekter Würfel einem bemerkenswerten Produkt (oder einer bemerkenswerten Identität), was bedeutet, dass es eine Formel gibt, mit der es direkt und ohne viele Berechnungen gelöst werden kann. Als nächstes werden wir sehen, wie es gemacht wird.

Formel für die Summe der Würfel

Nachdem wir die mathematische Definition der Würfelsumme gesehen haben, sehen wir uns nun an, wie die Formel für die Würfelsumme lautet:

Somit ist die Summe zweier kubischer Terme gleich der Summe dieser beiden Terme multipliziert mit dem Quadrat des ersten Termes, minus dem Produkt der beiden Größen plus dem Quadrat des zweiten Termes.

Wenn wir also die Formel für die Summe perfekter Würfel anwenden, faktorisieren wir tatsächlich ein Polynom, da wir den Ausdruck für ein Polynom in ein Produkt zweier Faktoren umwandeln. Wenn Sie immer noch nicht sicher sind, was es bedeutet, ein Polynom zu faktorisieren, empfehlen wir Ihnen, sich vor dem Fortfahren mit der Faktorisierung von Polynomen vertraut zu machen.

Beispiele für die Faktorisierung von Würfelsummen

Um das Konzept der Summe perfekter Würfel vollständig zu verstehen, sehen wir uns einige Beispiele für die Faktorisierung von Würfelsummen mithilfe der Formel an:

Beispiel 1

• Faktorisieren Sie die folgende Würfelsumme mithilfe der Formel:

Tatsächlich ist es eine Summe von Kubikzahlen, da es sich um die Kubikwurzel des Monoms handelt

ist genau (gibt keine Dezimalzahl an) und die Zahl 8 auch:

Daher können wir die Formel für die Summe der Würfel anwenden, um den kubischen Ausdruck in ein Produkt aus einem Binomial und einem Trinom umzuwandeln:

Und zum Schluss müssen wir nur noch die Multiplikation und Potenz lösen:

Wenn wir uns den erhaltenen Ausdruck genau ansehen, können wir dank der Formel für die Kubiksumme leicht die Wurzel eines Polynoms finden . In diesem Fall wäre eine der Wurzeln des Polynoms

Um jedoch alle Nullstellen (oder Nullstellen) eines Polynoms zu finden, müssen Sie einem komplizierteren Verfahren folgen. Auf der verlinkten Seite erfahren Sie, wie das geht.

Beispiel 2

• Faktorisieren Sie das folgende Binomial, indem Sie die Formel für die Summe perfekter Würfel anwenden.

Das Polynom in diesem Beispiel besteht ebenfalls aus einer Summe von Kubikzahlen, da beide die Kubikwurzel des Monoms sind

aus dem unabhängigen Term 1 sind exakt:

Wir können daher die Formel für die Summe perfekter Würfel verwenden, um den Ausdruck zu vereinfachen:

Berechnen Sie abschließend einfach die resultierenden Operationen:

Nachdem Sie nun gesehen haben, wie man eine Würfelsumme auflöst, möchten Sie vielleicht wissen, wie man eine Würfeldifferenz faktorisiert. Denn obwohl die Würfeldifferenzformel ähnlich ist, gibt es eine kleine Änderung, die es uns ermöglicht, zwischen einer Summe und einer Würfeldifferenz zu unterscheiden. Wir hinterlassen Ihnen diesen Link, damit Sie sehen können, woraus diese bedeutende Änderung besteht und wie eine Subtraktion von Würfeln berechnet wird.

Würfelsummenprobleme gelöst

Übung 1

Faktorisieren Sie die folgende Addition von Würfeln mit der Formel:

Der Ausdruck entspricht einer Kubiksumme, da die Kubikwurzeln der beiden Elemente des Polynoms exakt sind:

Daher können wir die Formel für die Summe perfekter Würfel verwenden, um den kubischen Ausdruck in ein Produkt aus einem Binomial und einem Trinom zu faktorisieren:

Damit lösen wir alle Operationen, um das faktorisierte Polynom zu finden:

Übung 2

Drücken Sie jedes Produkt als Würfelsumme aus:

Die Ausdrücke der 3 Übungen respektieren die Formel für die Summe der Kubikzahlen, daher reicht es aus, die Multiplikationen von Polynomen zu lösen:

Wenn Sie sich mehr für bemerkenswerte Identitäten interessieren, wissen Sie, dass es eine gibt, die viele Menschen vergessen (und die häufig verwendet wird). Es ist jedoch wichtig, sich an die Formel für diese bemerkenswerte Identität zu erinnern, die als Trinomialquadrat bezeichnet wird. Aus diesem Grund hinterlassen wir Ihnen diesen Link, über den Sie sehen können, was es ist und wie diese Formel angewendet wird.