Auf dieser Seite finden Sie die Formel für die Differenz (oder Subtraktion) zweier perfekter Quadrate. Außerdem erklären wir Ihnen, wie die Differenzen von Quadraten faktorisiert werden, und können außerdem mehrere Beispiele und Übungen sehen, die Schritt für Schritt gelöst werden.
Was ist ein Quadratunterschied?
In der Mathematik bezieht sich der Begriff der Quadratdifferenz oder Subtraktion von Quadraten auf zwei Terme, deren Quadratwurzel exakt ist und die darüber hinaus subtrahiert werden. Mit anderen Worten, der algebraische Ausdruck für eine Quadratdifferenz ist a 2 -b 2 .
Außerdem entspricht die Differenz zweier Quadrate einem der bemerkenswerten Produkte (oder bemerkenswerten Identitäten), weshalb sie so wichtig ist.
Formel für die Quadratdifferenz
Die Formel für die bemerkenswerte Identität einer Differenz zweier perfekter Quadrate lautet wie folgt:
Daher ist die Differenz der Quadrate zweier Größen gleich dem Produkt aus der Summe mal der Differenz dieser beiden Größen.
Die Formel zum Subtrahieren zweier perfekter Quadrate hat also unterschiedliche Anwendungen in der Algebra. Erstens kann es zur Vereinfachung von Polynomausdrücken verwendet werden. Vor allem aber wird es zur Faktorisierung bestimmter Arten von Binomialen verwendet. Im folgenden Abschnitt erklären wir Ihnen Schritt für Schritt, wie das geht.
Obwohl sie ähnliche Namen haben, sollten Sie die Differenz der Quadrate nicht mit dem Quadrat einer Differenz verwechseln , da es sich um unterschiedliche bemerkenswerte Identitäten handelt. Wenn Sie Fragen haben, empfehlen wir Ihnen, sich diese Beispiele für das Quadrat einer Differenz anzusehen. Hier sehen Sie die Formel für diese bemerkenswerte Identität, wie sie angewendet wird und welche Unterschiede es im Vergleich zur Quadratdifferenz gibt.
Faktorisieren einer Quadratdifferenz
Quadratdifferenzen können leicht aus Ihrer Formel herausgerechnet werden.
Aber um das Verfahren vollständig zu verstehen, müssen Sie natürlich wissen , was Faktorisierungspolynome sind . Falls Sie immer noch nicht wissen, was es bedeutet, ein Polynom zu faktorisieren, werfen Sie vor dem Weiterlesen lieber einen Blick auf die verlinkte Seite, wo es ausführlich erklärt wird.
Um also eine Differenz von 2 Quadraten zu faktorisieren, müssen Sie den folgenden Prozess befolgen:
- Die Quadratwurzel der beiden Terme wird berechnet.
- Multiplizieren Sie die Summe, indem Sie die beiden im vorherigen Schritt ermittelten Wurzeln subtrahieren.
Sehen wir uns anhand eines Beispiels genauer an, wie man eine Subtraktion von Quadraten faktorisiert:
- Faktorisieren Sie die folgende Quadratdifferenz:
Bevor wir das Verfahren anwenden, das wir gesehen haben, müssen wir logischerweise sicherstellen, dass es sich tatsächlich um eine Quadratdifferenz handelt. In diesem Fall beides
Da 9 perfekte Quadrate sind (sie haben exakte Wurzeln) und eines ein negatives Vorzeichen hat, besteht es tatsächlich aus einer Quadratdifferenz.
Wir müssen nun die Quadratwurzel jedes Elements berechnen:
Zum Schluss bilden Sie einfach zwei Binome mit den berechneten Wurzeln: ein Binomial, in dem die Wurzeln addieren, und ein weiteres Binomial, in dem sie subtrahieren. Und dann multiplizieren wir diese beiden Binomiale:
Auf diese Weise haben wir bereits die Differenz der Quadrate im Problem im Produkt einer Summe mit einer Differenz berücksichtigt.
Beispiele für Quadratdifferenzen
Damit Sie anschaulich verstehen, wie die Differenzen der Quadrate faktorisiert werden, hier einige ausgearbeitete Beispiele:
Beispiel 1
In dieser Übung sind die Quadratwurzeln der beiden Terme des Binomials:
Es reicht also aus, die Summe mit der Differenz der beiden gefundenen Wurzeln zu multiplizieren:
Beispiel 2
Wir berechnen zunächst die Quadratwurzeln der beiden Elemente:
Das faktorisierte Polynom ist daher:
Nachdem Sie nun verschiedene Beispiele für das Subtrahieren von Quadraten gesehen haben, bieten wir Ihnen einige Übungen an, die Schritt für Schritt gelöst werden. Mal sehen, ob du alles richtig machen kannst! 😉
Quadratdifferenzprobleme gelöst
Faktorisieren Sie die folgende Quadratsubtraktion:
