Produkt der summe durch die differenz (bemerkenswerte identität)

Auf dieser Seite finden Sie die Formel für das Produkt aus Summe und Differenz. Darüber hinaus können Sie Beispiele für die Anwendung der Formel dieses bemerkenswerten Identitätstyps sehen und sogar Schritt für Schritt gelöste Übungen üben.

Was ist das Produkt aus Summe und Differenz?

In der Mathematik bezieht sich der Begriff „Produkt der Summe mit der Differenz“ auf eine der bemerkenswerten Gleichheiten , auch bemerkenswerte Identitäten oder bemerkenswerte Produkte genannt.

Genauer gesagt hat der Ausdruck für das Produkt der Summe mit der Differenz die Form (a+b)·(ab) , wobei (a+b) der Summe zweier verschiedener Terme entspricht und (ab) die Differenz ist dieser beiden Begriffe.

Formel für das Produkt aus Summe und Differenz

Nachdem wir nun die mathematische Definition des Produkts aus Summe mal Differenz kennen, sehen wir uns an, welche Formel zur Lösung dieser bemerkenswerten Art von Identität verwendet wird:

Daher ist das Produkt aus der Summe mal der Differenz zweier Terme gleich der Differenz der Quadrate dieser Terme . Mit anderen Worten: Das Multiplizieren der Summe zweier verschiedener Terme mit der Subtraktion dieser beiden Terme ist gleichbedeutend damit, jeden der beiden Terme zu quadrieren und zu subtrahieren.

Dies impliziert, dass Differenzen von Quadraten in Produkte aus Summen multipliziert mit den Differenzen faktorisiert werden können. Obwohl es Ihnen jetzt vielleicht kompliziert erscheint, erklären wir auf der verlinkten Seite einen Trick, mit dem Sie diese Art von Polynom in zwei einfachen Schritten faktorisieren können. Klicken Sie sich durch und erfahren Sie, wie es geht.

Beispiele für Produkte von Summen durch Differenzen

Sobald wir wissen, wie die Formel für das Produkt aus Summe und Differenz lautet, sehen wir uns als Nächstes einige gelöste Beispiele an, damit Sie besser verstehen können, wie diese bemerkenswerte Art von Gleichheit gelöst wird.

Beispiel 1

• Berechnen Sie durch Anwendung der Formel das folgende Produkt aus der Summe und der Differenz zweier verschiedener Terme:

Die Formel für das Produkt der Summe mit der Differenz lautet wie folgt:

Als erstes müssen wir also die Parameterwerte identifizieren

Und

der Formel. In diesem Fall

entsprechen der Variablen

Und

entsprechen Nummer 2.

Und jetzt wissen wir, welche Werte die Parameter annehmen

Und

Wir können die Formel für das Produkt der Summe mit der Differenz anwenden:

Wie Sie sehen, ergibt das Produkt einer Summe mit einer Differenz immer einen negativen Term. Dies sollte jedoch nicht mit der bemerkenswerten Identität des Quadrats einer Subtraktion verwechselt werden. Wenn Sie irgendwelche Zweifel haben, empfehlen wir Ihnen, einen Blick auf die Formel für das Quadrat einer Differenz zu werfen. Dort erfahren Sie auch, was die Unterschiede zwischen diesen beiden bemerkenswerten Identitäten sind

Beispiel 2

• Finden Sie mithilfe der Formel das folgende Produkt aus der Summe und der Differenz zweier Binomiale:

Die Formel für das Produkt der Summe mit der Differenz lautet wie folgt:

Daher in diesem Fall

Und

. Wenn wir also die Formel „Summe durch Differenz“ anwenden, erhalten wir den folgenden algebraischen Ausdruck:

Beispiel 3

• Lösen Sie mit der Formel das folgende Produkt der Summe durch die Differenz zweier Monome:

Da die Multiplikation die kommutative Eigenschaft hat, ist die Multiplikation zuerst der Differenz und dann der Summe zweier Größen gleichbedeutend mit der umgekehrten Multiplikation derselben Klammern.

Obwohl in diesem Fall das Produkt umgekehrt ist, d. h. bevor die Addition die Subtraktion ist, bleibt das Ergebnis dasselbe wie die Formel:

Also in diesem Problem

Und

. Und wenn wir den Wert jeder Unbekannten identifiziert haben, können wir die Formel verwenden, um das bemerkenswerte Produkt zu berechnen:

Demonstration der Formel „Summe durch Differenz“.

Die Formel „Summe mal Differenz“, die wir gerade untersucht haben, lässt sich leicht demonstrieren.

Wenn wir vom Produkt einer Summe durch Subtraktion zweier beliebiger Terme ausgehen:

Multiplizieren Sie einfach die erste Klammer mit der zweiten Klammer unter Verwendung der Verteilungseigenschaft:

Und indem wir ähnliche Begriffe zusammenfassen, kommen wir zu folgendem Ausdruck:

Daher wird die Formel für das bemerkenswerte Summe-Differenz-Produkt abgeleitet:

Gelöste Aufgaben zum Produkt aus Summe und Differenz

Im Folgenden haben wir mehrere Schritt-für-Schritt-Übungen zur Addition durch Differenzen vorbereitet, damit Sie sie üben können. Die Übungen sind von der geringsten bis zur höchsten Schwierigkeit geordnet. Wir empfehlen daher, mit 1 zu beginnen, mit 2 fortzufahren und schließlich 3 zu machen, die am schwierigsten ist.

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Übung 1

Lösen Sie die folgenden Summenprodukte durch Differenzen:

Übung 2

Drücken Sie die folgenden Multiplikationen als Differenzen von Quadraten aus:

Übung 3

Lösen Sie die folgenden bemerkenswerten Identitäten auf:

Um die erste bemerkenswerte Gleichheit zu lösen, müssen Sie bedenken, dass eine Quadratwurzel Folgendes vereinfacht:

Die beiden Monome der zweiten Differenzsumme haben gebrochene Koeffizienten, daher müssen wir diese Aufgabe mithilfe der Eigenschaften von Brüchen lösen:

Schließlich ist die letzte bemerkenswerte Gleichheit etwas Besonderes, da sie ein weiteres bemerkenswertes Produkt (das Quadrat der Summe) enthält: