Auf dieser Seite erklären wir, was umschaltbare Matrizen sind. Darüber hinaus können Sie sich Beispiele ansehen, um das Konzept besser zu verstehen, und schließlich finden Sie eine Schritt-für-Schritt-Übung, in der wir lernen, alle Matrizen zu berechnen, die mit einer beliebigen Matrix kommutieren.
Was sind umschaltbare Matrizen?
Zwei Matrizen sind vertauschbar , wenn das Ergebnis ihres Produkts nicht von der Reihenfolge der Multiplikation abhängt. Mit anderen Worten erfüllen umschaltbare Matrizen die folgende Bedingung:
Dies ist die Definition kommutierbarer Matrizen. Schauen wir uns nun ein Beispiel an:
Beispiel für umschaltbare Matrizen
Die folgenden zwei Matrizen der Dimension 2×2 sind zwischen ihnen umschaltbar:
![\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 0\\[1.1ex] 1 & -1 \end{pmatrix} \quad B= \begin{pmatrix} 3& 0\\[1.1ex] 1 & 0\end{pmatrix}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d4afa74407be7cf7a0142ce931dbba98_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Die Vertauschbarkeit der beiden Matrizen konnte durch die Berechnung ihres Produkts in beide Richtungen nachgewiesen werden:
Wie Sie sehen, ist das Ergebnis beider Multiplikationen dasselbe, unabhängig von der Reihenfolge, in der sie multipliziert werden. Also die Matrizen
Und
sie sind umschaltbar.
Übung zur Matrixumschaltung gelöst
Dann werden wir Schritt für Schritt sehen, wie man eine Aufgabe mit einer kommutierbaren Matrix löst:
- Bestimmen Sie alle Matrizen, die mit der folgenden quadratischen Matrix kommutieren:
![\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 1\\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0f69e9df9aa524aeabcc1716a92b5e8d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Um dieses Problem zu lösen, erstellen wir eine unbekannte Matrix:
![\displaystyle B=\begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ee9183823ea39248018c37cbac3bf2ae_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Wir müssen daher diese unbekannte Matrix finden.
Dazu machen wir uns die Eigenschaft zunutze, die alle Kommutierungsmatrizen erfüllen:
![\displaystyle \begin{pmatrix}3 & 1\\[1.1ex] 1 & 0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1\\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-98ac92178351b7dc235918b2bc02ed90_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Jetzt multiplizieren wir die Matrizen auf beiden Seiten der Gleichung:
![\displaystyle \begin{pmatrix} 3a+c &3b+d\\[1.1ex] a & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3a+b & a\\[1.1ex] 3c+d & c \end{pmatrix}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5bd3e34eadc944aa1aea8f323f9796ab_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Damit Gleichheit gilt, müssen daher die folgenden Gleichungen erfüllt sein:
![\left.\begin{array}{l} 3a+c=3a+b \\[2ex] 3b+d=a \\[2ex] a=3c+d\\[2ex] b= c \end{array}\right\}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d1f3094807b37f4fbc9875b5dddc5f25_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Wir müssen also nur noch das Gleichungssystem lösen. Aus der letzten Gleichung können wir das ableiten
muss gleich sein
:
Und wenn diese beiden Unbekannten äquivalent sind, wiederholt sich die dritte Gleichung mit der zweiten, wir können sie also eliminieren:
![\left.\begin{array}{l} 3a+c=3a+b \\[2ex] 3b+d=a \\[2ex] \cancel{a=3c+d}\\[2ex] b= c \end{array}\right\}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b3e25af3ab248d099ae0515f9912cdf1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Darüber hinaus können wir aus der ersten Gleichung keine Schlussfolgerungen ziehen, weil:
Daher bleibt uns nur die zweite und letzte Gleichung:
![\left.\begin{array}{l} 3b+d=a \\[2ex] b= c \end{array}\right\}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3486d0076e11ddae06ffbfcbb3fab66a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Damit die Matrizen mit der Matrix kommutieren
sind alle diejenigen, die die beiden vorherigen Gleichungen bestätigen. Indem wir die gefundenen Ausdrücke von Anfang an in die unbekannte Matrix einsetzen, können wir die Form der Matrizen finden, mit denen kommutiert wird
![\displaystyle \begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix} \ \longrightarrow \ \begin{pmatrix} 3b+d & b \\[1.1ex] b & d \end{pmatrix}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ccd60f786e1324e748a7d91e41f86442_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Gold
Und
sind zwei reelle Zahlen.
Also ein Beispiel für eine Matrix, die mit der Matrix kommutieren würde
wäre wie folgt:
![\displaystyle \begin{pmatrix} 6 & 1 \\[1.1ex] 1 & 3 \end{pmatrix}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0c22c13d155ba46f6a9d0f6891747699_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Eigenschaften umschaltbarer Matrizen
Umschaltbare Matrizen haben folgende Eigenschaften:
- Umschaltbare Arrays verfügen nicht über die transitive Eigenschaft . Mit anderen Worten, auch wenn die Matrix
mit Matrizen pendeln
Und
, das bedeutet nicht, dass
Und
sind zwischen ihnen umschaltbar.
- Diagonalmatrizen vertauschen miteinander, das heißt, eine Diagonalmatrix vertauscht mit jeder anderen Diagonalmatrix.
- Ebenso kommutiert eine Skalarmatrix gleichermaßen mit allen Matrizen. Beispielsweise vertauscht die Identitäts- oder Einheitenmatrix mit allen Matrizen.
- Zwei hermitesche Matrizen kommutieren, wenn ihre Eigenvektoren (oder Eigenvektoren) übereinstimmen.
- Offensichtlich kommutiert auch die Nullmatrix mit allen Matrizen.
- Wenn das Produkt zweier symmetrischer Matrizen eine weitere symmetrische Matrix ergibt, müssen die beiden Matrizen kommutieren.
- Wenn die Diagonalisierung zweier Matrizen gleichzeitig durchgeführt werden kann, müssen diese vertauschbar sein. Daher haben diese beiden Matrizen auch die gleiche orthonormale Basis von Eigenvektoren oder Eigenvektoren.