Cramers Regel

Auf dieser Seite erfahren Sie, was die Cramer-Regel ist und außerdem finden Sie Beispiele und Übungen zur Lösung von Gleichungssystemen nach der Cramer-Regel.

Was ist Cramers Regel?

Die Cramer-Regel ist eine Methode zur Lösung von Gleichungssystemen nach Determinanten. Mal sehen, wie es verwendet wird:

Betrachten Sie ein Gleichungssystem:

$\begin{cases} ax+by+cz= \color{red}\bm{j} \\[1.5ex] dx+ey+fz=\color{red}\bm{k} \\[1.5ex] gx+hy+iz = \color{red}\bm{l} \end{cases}$

Die Matrix A und die erweiterte Matrix A‘ des Systems sind:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} a & b & c \\[1.1ex] d & e & f \\[1.1ex] g & h & i \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} a & b & c & \color{red}\bm{j} \\[1.1ex] d & e & f & \color{red}\bm{k} \\[1.1ex] g & h & i & \color{red}\bm{l} \end{array} \right)$

Die Cramer-Regel besagt, dass die Lösung eines Gleichungssystems ist:

Was ist die Cramer-Regel? Erklärung der Cramer-Regel

Beachten Sie, dass die Determinanten der Zähler wie die Determinanten der Matrix A sind, jedoch die Spalte jedes Unbekannten in die Spalte unabhängiger Terme geändert wird.

Daher wird die Cramer-Regel zur Lösung linearer Gleichungssysteme verwendet. Aber wie Sie bereits wissen, gibt es viele Möglichkeiten, ein Gleichungssystem zu lösen, zum Beispiel ist die Methode von Gauß Jordan bekannt.

Nachfolgend finden Sie Beispiele für die Lösung linearer Gleichungssysteme mit der Cramer-Regel, manchmal auch als Kramer-Regel geschrieben.

Beispiel 1: Kompatibles System ermittelt (SCD)

Lösen Sie das folgende System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten mithilfe der Cramer-Regel:

$\begin{cases} 2x+y+3z= 1 \\[1.5ex] 3x-2y-z=0 \\[1.5ex] x+3y+2z = 5\end{cases}$

Wir erstellen zunächst die Matrix A und die erweiterte Matrix A‘ des Systems:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 3 \\[1.1ex] 3 & -2 & -1 \\[1.1ex] 1 & 3 & 2\end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 3 & 1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 3 & 2 & 5 \end{array} \right)$

Wir berechnen nun den Rang der beiden Matrizen, um zu sehen, um welche Art von System es sich handelt. Um den Rang von A zu berechnen, berechnen wir die 3×3-Determinante der gesamten Matrix (unter Verwendung der Sarrus-Regel) und prüfen, ob sie 0 ergibt:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\[1.1ex] 3 & -2 & -1 \\[1.1ex] 1 & 3 & 2\end{vmatrix} =-8-1+27+6+6-6 = 24 \neq 0$

Die Determinante von A ist von 0 verschieden, daher hat die Matrix A den Rang 3.

$\displaystyle rg(A)=3$

Die Matrix A‘ hat also auch den Rang 3 , da sie nicht den Rang 4 haben kann und mindestens den gleichen Rang wie die Matrix A haben muss.

$\displaystyle rg(A')=3$

Die Ausdehnung der Matrix A ist gleich der Ausdehnung der Matrix A‘ und der Anzahl der Unbekannten des Systems (3). Daher wissen wir aufgrund des Rouché-Frobenius-Theorems , dass es sich um ein determiniertes kompatibles System (SCD) handelt:

$\displaystyle \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 3 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=3 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = n = 3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SCD}\phantom{^9_9}} \end{array}$

Sobald wir wissen, dass das System ein SCD ist, wenden wir die Cramer-Regel an, um es zu lösen. Denken Sie dazu daran, dass die Matrix A, ihre Determinante und die Matrix A‘ sind:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 3 \\[1.1ex] 3 & -2 & -1 \\[1.1ex] 1 & 3 & 2\end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 3 & \color{red}\bm{1} \\[1.1ex] 3 & -2 & -1 & \color{red}\bm{0} \\[1.1ex] 1 & 3 & 2 & \color{red}\bm{5} \end{array} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\[1.1ex] 3 & -2 & -1 \\[1.1ex] 1 & 3 & 2\end{vmatrix} =24$

Um das Unbekannte zu berechnen

$\displaystyle x$

Mit der Cramer-Regel ändern wir die erste Spalte der Determinante von A durch die Spalte der unabhängigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:

$\displaystyle \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} \color{red}\bm{1} & 1 & 3 \\[1.1ex] \color{red}\bm{0} & -2 & -1 \\[1.1ex] \color{red}\bm{5} & 3 & 2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{24}{24} = \bm{1}$

Um das Unbekannte zu berechnen

$\displaystyle y$

Mit der Cramer-Regel ändern wir die zweite Spalte der Determinante von A durch die Spalte der unabhängigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:

$\displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix} 2 & \color{red}\bm{1} & 3 \\[1.1ex] 3 & \color{red}\bm{0} & -1 \\[1.1ex] 1 & \color{red}\bm{5} & 2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{48}{24} = \bm{2}$

Berechnung

$\displaystyle z$

Mit der Cramer-Regel ändern wir die dritte Spalte der Determinante von A durch die Spalte der unabhängigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:

$\displaystyle \bm{z} = \cfrac{\begin{vmatrix} 2 & 1 & \color{red}\bm{1} \\[1.1ex] 3 & -2 & \color{red}\bm{0} \\[1.1ex] 1 & 3 & \color{red}\bm{5}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{-24}{24} = \bm{-1}$

Die Lösung des Gleichungssystems lautet daher:

$\displaystyle \bm{x = 1 \qquad y=2 \qquad z = -1}$

Beispiel 2: Unbestimmtes kompatibles System (ICS)

Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit der Cramer-Regel:

$\begin{cases} 3x+2y+4z=1 \\[1.5ex] -2x+3y-z=0 \\[1.5ex] x+5y+3z = 1 \end{cases}$

Wir erstellen zunächst die Matrix A und die erweiterte Matrix A‘ des Systems:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 3 & 2 & 4 \\[1.1ex] -2 & 3 & -1 \\[1.1ex] 1 & 5 & 3 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 4 & 1 \\[1.1ex] -2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 5 & 3 & 1 \end{array} \right)$

Nun berechnen wir die Reichweite der beiden Matrizen und können so erkennen, um welche Art von System es sich handelt. Um den Rang von A zu berechnen, berechnen wir die Determinante der gesamten Matrix (unter Verwendung der Sarrus-Regel) und prüfen, ob sie 0 ist:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 3 & 2 & 4 \\[1.1ex] -2 & 3 & -1 \\[1.1ex] 1 & 5 & 3\end{vmatrix} = 27-2-40-12+15+12= 0$

Die Determinante ergibt 0, daher hat die Matrix A nicht den Rang 3. Sie hat aber eine von 0 verschiedene 2×2-Determinante:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 3 & 2 \\[1.1ex] -2 & 3 \end{vmatrix} =9-(-4)=13\neq 0$

Matrix A hat also Rang 2 :

$\displaystyle rg(A)=2$

Sobald wir die Ausdehnung der Matrix A kennen, berechnen wir die der Matrix A‘. Die Determinante der ersten 3 Spalten ergibt 0, also probieren wir die anderen möglichen 3×3 Determinanten in der Matrix A‘ aus:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 4 & 1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 5 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 0 \qquad \begin{vmatrix} 3 & 4 & 1 \\[1.1ex] -2 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 0 \qquad \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\[1.1ex] -2 & 3 & 0 \\[1.1ex] 1 & 5 & 1 \end{vmatrix} = 0$

Alle Determinanten der Ordnung 3 ergeben 0. Aber offensichtlich hat die Matrix A‘ die gleiche 2×2-Determinante ungleich 0 wie die Matrix A:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 3 & 2 \\[1.1ex] -2 & 3 \end{vmatrix} =9-(-4)=13\neq 0$

Daher hat die Matrix A‘ auch den Rang 2 :

$\displaystyle rg(A')=2$

Da also der Rang der Matrix A gleich dem Rang der Matrix A‘ ist, diese beiden jedoch kleiner sind als die Anzahl der Unbekannten des Systems (3), wissen wir durch den Satz von Rouché-Frobenius , dass es sich um ein unbestimmt kompatibles System handelt (ICS):

$\displaystyle \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 2 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=2 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = 2 \ < \ n =3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SCI}\phantom{^9_9}} \end{array}$

Wenn wir ein kompatibles unbestimmtes System (SCI) lösen wollen, müssen wir das System transformieren : Zuerst eliminieren wir eine Gleichung, dann konvertieren wir eine Variable in λ (normalerweise die Variable z) und schließlich setzen wir die Terme mit λ zusammen die unabhängigen Begriffe.

Sobald wir das System transformiert haben, wenden wir die Cramer-Regel an und erhalten die Lösung des Systems als Funktion von λ.

In diesem Fall streichen wir die letzte Gleichung aus dem System:

$\begin{cases} 3x+2y+4z=1 \\[1.5ex] -2x+3y-z=0 \\[1.5ex]\cancel{x+5y+3z = 1} \end{cases} \longrightarrow \quad \begin{cases} 3x+2y+4z=1 \\[1.5ex] -2x+3y-z=0\end{cases}$

Nun wandeln wir die Variable z in λ um:

$\begin{cases} 3x+2y+4z=1 \\[1.5ex] -2x+3y-z=0 \end{cases} \xrightarrow{z \ = \ \lambda}\quad \begin{cases} 3x+2y+4\lambda=1 \\[1.5ex] -2x+3y-\lambda=0\end{cases}$

Und wir setzen die Terme mit λ mit den unabhängigen Termen zusammen:

$\begin{cases} 3x+2y=1-4\lambda \\[1.5ex] -2x+3y=\lambda \end{cases}$

Daher bleiben die Matrix A und die Matrix A‘ des Systems bestehen:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 3 & 2 \\[1.1ex] -2 & 3 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{cc|c} 3 & 2 & 1 -4\lambda \\[1.1ex] -2 & 3 & \lambda \end{array} \right)$

Sobald wir das System transformiert haben, wenden wir schließlich die Cramer-Regel an . Wir lösen daher die Determinante von A:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 3 & 2 \\[1.1ex] -2 & 3\end{vmatrix} = 13$

Um das Unbekannte zu berechnen

$\displaystyle x$

Mit der Cramer-Regel ändern wir die erste Spalte der Determinante von A durch die Spalte der unabhängigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:

$\displaystyle \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 1 -4\lambda & 2 \\[1.1ex] \lambda & 3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{3(1-4\lambda) -2\lambda}{13} = \cfrac{\bm{3-14\lambda} }{\bm{13}}$

Um das Unbekannte zu berechnen

$\displaystyle y$

Mit der Cramer-Regel ändern wir die zweite Spalte der Determinante von A durch die Spalte der unabhängigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:

$\displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix} 3 & 1 -4\lambda \\[1.1ex]-2& \lambda \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{3\lambda -\bigl(-2(1-4\lambda)\bigr)}{13}= \cfrac{3\lambda -\bigl(-2+8\lambda\bigr)}{13} = \cfrac{\bm{2-5\lambda} }{\bm{13}}$

Während die Lösung des Gleichungssystems eine Funktion von λ ist, da es ein SCI ist und daher unendlich viele Lösungen hat:

$\displaystyle \bm{x =} \cfrac{\bm{3-14\lambda} }{\bm{13}} \qquad \bm{y=}\cfrac{\bm{2-5\lambda} }{\bm{13}} \qquad \bm{z = \lambda}$

Cramers Regel löste Probleme

Übung 1

Wenden Sie die Cramer-Regel an, um das folgende System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten zu lösen:

Übung Schritt für Schritt mit der 2x2-Regel von Cramer gelöst

siehe Lösung

Als erstes müssen die Matrix A und die erweiterte Matrix A‘ des Systems erstellt werden:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{cc} 2 & 5 \\[1.1ex] 1 & 4 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{cc|c} 2 & 5 & 8 \\[1.1ex] 1 & 4 & 7 \end{array}\right)$

Wir müssen nun den Rang der Matrix A ermitteln. Dazu prüfen wir, ob die Determinante der gesamten Matrix von 0 verschieden ist:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 2 & 5 \\[1.1ex] 1 & 4 \end{vmatrix} = 8-5=3 \bm{\neq 0}$

Da die Matrix eine von 0 verschiedene 2×2-Determinante hat, hat die Matrix A Rang 2:

$\displaystyle rg(A)=2$

Sobald wir den Rang von A kennen, berechnen wir den Rang von A‘. Dies wird mindestens Rang 2 sein, da wir gerade gesehen haben, dass es eine von 0 verschiedene Determinante der Ordnung 2 enthält. Darüber hinaus kann es nicht Rang 3 sein, da wir keine 3×3-Determinante erstellen können. Daher hat die Matrix A‘ auch den Rang 2:

$\displaystyle rg(A')=2$

Daher wissen wir durch die Anwendung des Rouché-Frobenius-Theorems, dass es sich um ein kompatibles Determinantensystem (SCD) handelt, da der Bereich von A gleich dem Bereich von A‘ und der Anzahl der Unbekannten ist.

$\displaystyle \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 2 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=2 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 2 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = n = 2 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SCD}\phantom{^9_9}} \end{array}$

Sobald wir wissen, dass das System ein SCD ist, wenden wir die Cramer-Regel an, um es zu lösen.

Um das Unbekannte zu berechnen

$\displaystyle x$

Mit der Cramer-Regel ändern wir die erste Spalte der Determinante von A durch die Spalte der unabhängigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:

$\displaystyle \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 8 & 5 \\[1.1ex] 7 & 4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{-3}{3} = \bm{-1}$

Um das Unbekannte zu berechnen

$\displaystyle y$

Mit der Cramer-Regel ändern wir die zweite Spalte der Determinante von A durch die Spalte der unabhängigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:

$\displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix}2 & 8 \\[1.1ex] 1 & 7\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{6}{3} = \bm{2}$

Die Lösung des Gleichungssystems lautet daher:

$\displaystyle \bm{x = -1 \qquad y=2}$

Übung 2

Finden Sie die Lösung des folgenden Systems aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten mithilfe der Cramer-Regel:

Übung der Cramer-Regel eines 3x3-Gleichungssystems gelöst

siehe Lösung

Wir erstellen zunächst die Matrix A und die erweiterte Matrix A‘ des Systems:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2\\[1.1ex] -1 & 5 & -1\\[1.1ex] 3 & -1 & 4 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & 5 & -1 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 4 & 0 \end{array}\right)$

Wir ermitteln nun den Rang der Matrix A, indem wir die Determinante der 3×3-Matrix mit der Sarrus-Regel berechnen:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\[1.1ex] -1 & 5 & -1\\[1.1ex] 3 & -1 & 4 \end{vmatrix} = 20-9+2-30-1+12=-6 \bm{\neq 0}$

Die Matrix hat eine von 0 verschiedene Determinante der Ordnung 3, die Matrix A hat den Rang 3:

$\displaystyle rg(A)=3$

folglich hat die Matrix A‘ auch den Rang 3:

$\displaystyle rg(A')=3$

Mithilfe des Satzes von Rouché-Frobenius wissen wir daher, dass es sich um ein kompatibles Determinantensystem (SCD) handelt, da der Bereich von A gleich dem Bereich von A‘ und der Anzahl der Unbekannten ist.

Sobald wir wissen, dass das System ein SCD ist, müssen wir die Cramer-Regel anwenden, um das System zu lösen.

Um das Unbekannte zu berechnen

$\displaystyle x$

Mit der Cramer-Regel ändern wir die erste Spalte der Determinante von A durch die Spalte der unabhängigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:

$\displaystyle \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 2 & 3 & 2 \\[1.1ex] 4 & 5 & -1\\[1.1ex]0 & -1 & 4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{-18}{-6} = \bm{3}$

Um das Unbekannte zu berechnen

$\displaystyle y$

Mit der Cramer-Regel ändern wir die zweite Spalte der Determinante von A durch die Spalte der unabhängigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:

$\displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix}1 & 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & 4 & -1\\[1.1ex] 3 & 0 & 4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{-6}{-6} = \bm{1}$

Berechnung

$\displaystyle z$

Mit der Cramer-Regel ändern wir die dritte Spalte der Determinante von A durch die Spalte der unabhängigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:

$\displaystyle \bm{z} = \cfrac{\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\[1.1ex] -1 & 5 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{12}{-6} = \bm{-2}$

Die Lösung des Gleichungssystems lautet daher:

$\displaystyle \bm{x =3 \qquad y=1 \qquad z=-2}$

Übung 3

Berechnen Sie die Lösung des folgenden Systems aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten mithilfe der Cramer-Regel:

siehe Lösung

Wir erstellen zunächst die Matrix A und die erweiterte Matrix A‘ des Systems:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 5\\[1.1ex] 2 & 3 & -1 \\[1.1ex] 3 & 4 & -7 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 5 & 1 \\[1.1ex] 2 & 3 & -1 & 5 \\[1.1ex] 3 & 4 & -7 & 9 \end{array}\right)$

Wir berechnen den Umfang der Matrix A:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 5\\[1.1ex] 2 & 3 & -1 \\[1.1ex] 3 & 4 & -7 \end{vmatrix} =-21-6+40-45+4+28=0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 3 \end{vmatrix} = 3-4 = -1 \neq 0$

$\displaystyle rg(A)=2$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 5 & 1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 5 \\[1.1ex] 4 & -7 & 9 \end{vmatrix} = 0 \qquad \begin{vmatrix} 1 & 5 & 1 \\[1.1ex] 2 & -1 & 5 \\[1.1ex] 3 & -7 & 9\end{vmatrix} = 0 \qquad \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 3 & 5 \\[1.1ex] 3 & 4 & 9 \end{vmatrix} = 0$

Alle Determinanten der Ordnung 3 ergeben 0. Die Matrix A‘ hat jedoch die gleiche 2×2 Nicht-0-Determinante wie die Matrix A:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 3 \end{vmatrix} = 3-4 = -1 \neq 0$

Daher hat die Matrix A‘ auch den Rang 2:

$\displaystyle rg(A')=2$

Da der Rang der Matrix A gleich dem Rang der Matrix A‘ ist, diese beiden jedoch kleiner sind als die Anzahl der Unbekannten des Systems (3), wissen wir anhand des Rouché-Frobenius-Theorems , dass es sich um ein unbestimmt kompatibles System (ICS) handelt:

Da wir ein ICS-System sind, müssen wir eine Gleichung beseitigen. In diesem Fall streichen wir die letzte Gleichung aus dem System:

$\begin{cases} x+2y+5z=1 \\[1.5ex] 2x+3y-z=5 \\[1.5ex]\cancel{3x+4y-7z = 9} \end{cases} \longrightarrow \quad \begin{cases} x+2y+5z=1 \\[1.5ex] 2x+3y-z=5\end{cases}$

Nun wandeln wir die Variable z in λ um:

$\begin{cases} x+2y+5z=1 \\[1.5ex] 2x+3y-z=5 \end{cases} \xrightarrow{z \ = \ \lambda}\quad \begin{cases} x+2y+5\lambda=1 \\[1.5ex] 2x+3y-\lambda=5\end{cases}$

Und wir setzen die Terme mit λ mit den unabhängigen Termen zusammen:

$\begin{cases} x+2y=1-5\lambda\\[1.5ex] 2x+3y=5+\lambda \end{cases}$

So dass die Matrix A und die Matrix A‘ des Systems bestehen bleiben:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 3 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 1 -5\lambda \\[1.1ex] 2 & 3 &5+\lambda \end{array} \right)$

Sobald wir das System transformiert haben, wenden wir schließlich die Cramer-Regel an . Wir lösen daher die Determinante von A:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 3\end{vmatrix} =-1$

Um das Unbekannte zu berechnen

$\displaystyle x$

Mit der Cramer-Regel ändern wir die erste Spalte der Determinante von A durch die Spalte der unabhängigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:

$\displaystyle \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 1-5\lambda & 2 \\[1.1ex] 5+\lambda & 3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{3-15\lambda -(10+2\lambda)}{-1} = \cfrac{-7-17\lambda}{-1} = \bm{7+17\lambda}$

Um das Unbekannte zu berechnen

$\displaystyle y$

Mit der Cramer-Regel ändern wir die zweite Spalte der Determinante von A durch die Spalte der unabhängigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:

$\displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix} 1 & 1-5\lambda \\[1.1ex] 2 & 5+\lambda \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{5+\lambda -(2-10\lambda)}{-1}= \cfrac{3+11\lambda}{-1} = \bm{-3-11\lambda}$

Während die Lösung des Gleichungssystems eine Funktion von λ ist, da es ein SCI ist und daher unendlich viele Lösungen hat:

$\displaystyle \bm{x =7+17\lambda} \qquad \bm{y=-3-11\lambda} \qquad \bm{z = \lambda}$

Übung 4

Lösen Sie das folgende Problem eines Systems aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten, indem Sie die Cramer-Regel anwenden:

$\begin{cases} -2x+5y+z=8 \\[1.5ex] 6x+2y+4z=4 \\[1.5ex] 3x-2y+z = -2 \end{cases}$

siehe Lösung

Zuerst konstruieren wir die Matrix A und die erweiterte Matrix A‘ des Systems:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc}-2 & 5 & 1 \\[1.1ex] 6 & 2 & 4 \\[1.1ex] 3 & -2 & 1\end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} -2 & 5 & 1 & 8 \\[1.1ex] 6 & 2 & 4 & 4 \\[1.1ex] 3 & -2 & 1 & -2 \end{array}\right)$

Berechnen wir nun den Rang der Matrix A, indem wir die Determinante der 3×3-Matrix mithilfe der Sarrus-Regel berechnen:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} -2 & 5 & 1 \\[1.1ex] 6 & 2 & 4 \\[1.1ex] 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} = -4+60-12-6-16-30=-8 \bm{\neq 0}$

Die Matrix hat eine von 0 verschiedene Determinante der Ordnung 3, die Matrix A hat den Rang 3:

$\displaystyle rg(A)=3$

Folglich hat die Matrix A‘ auch den Rang 3, da sie mindestens den gleichen Rang wie die Matrix A haben muss, und sie kann nicht den Rang 4 haben, da es sich um eine Matrix der Dimension 3×4 handelt.

$\displaystyle rg(A')=3$

Daher folgern wir mithilfe des Rouché-Frobenius-Theorems, dass es sich um ein determiniertes kompatibles System (SCD) handelt, da der Bereich von A gleich dem Bereich von A‘ und der Anzahl der Unbekannten ist.

Sobald wir wissen, dass das System ein SCD ist, müssen wir die Cramer-Regel anwenden, um das System zu lösen.

Um das Unbekannte zu berechnen

$\displaystyle x$

Mit der Cramer-Regel ändern wir die erste Spalte der Determinante von A durch die Spalte der unabhängigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:

$\displaystyle \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 8 & 5 & 1 \\[1.1ex] 4 & 2 & 4 \\[1.1ex] -2 & -2 & 1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{16}{-8} = \bm{-2}$

Um das Unbekannte zu berechnen

$\displaystyle y$

Mit der Cramer-Regel ändern wir die zweite Spalte der Determinante von A durch die Spalte der unabhängigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:

$\displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix}-2 & 8 & 1 \\[1.1ex] 6 & 4 & 4 \\[1.1ex] 3 & -2 & 1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{0}{-6} = \bm{0}$

Berechnung

$\displaystyle z$

Mit der Cramer-Regel ändern wir die dritte Spalte der Determinante von A durch die Spalte der unabhängigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:

$\displaystyle \bm{z} = \cfrac{\begin{vmatrix} -2 & 5 & 8 \\[1.1ex] 6 & 2 & 4 \\[1.1ex] 3 & -2 & -2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{-32}{-8} = \bm{4}$

Die Lösung des linearen Gleichungssystems lautet daher:

$\displaystyle \bm{x =-2 \qquad y=0 \qquad z=4}$

Übung 5

Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mit der Cramer-Regel:

Beispiel für die Lösung eines Gleichungssystems mit der Cramer-Regel

siehe Lösung

Wir erstellen zunächst die Matrix A und die erweiterte Matrix A‘ des Systems:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 3 & -2 & -3 \\[1.1ex] -1 & 5 & 4 \\[1.1ex] 5 & 1 & -2 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 3 & -2 & -3 & 4 \\[1.1ex] -1 & 5 & 4 & -10 \\[1.1ex] 5 & 1 & -2 & -2 \end{array}\right)$

Wir berechnen den Umfang der Matrix A:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 3 & -2 & -3 \\[1.1ex] -1 & 5 & 4 \\[1.1ex] 5 & 1 & -2 \end{vmatrix} =-30-40+3+75-12+4=0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 3 & -2 \\[1.1ex] -1 & 5 \end{vmatrix} = 15- (2)= 13 \neq 0$

$\displaystyle rg(A)=2$

$\displaystyle \begin{vmatrix} -2 & -3 & 4 \\[1.1ex] 5 & 4 & -10 \\[1.1ex] 1 & -2 & -2 \end{vmatrix} = 0 \qquad \begin{vmatrix}3 & -3 & 4 \\[1.1ex] -1 & 4 & -10 \\[1.1ex] 5 & -2 & -2\end{vmatrix} = 0 \qquad \begin{vmatrix} 3 & -2 & 4 \\[1.1ex] -1 & 5 & -10 \\[1.1ex] 5 & 1 &-2\end{vmatrix} = 0$

Alle Determinanten der Ordnung 3 ergeben 0. Aber offensichtlich hat die Matrix A‘ die gleiche Determinante der Ordnung 2 außer 0 wie die Matrix A:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 3 & -2 \\[1.1ex] -1 & 5 \end{vmatrix} = 13 \neq 0$

Daher hat die Matrix A‘ auch den Rang 2:

$\displaystyle rg(A')=2$

Der Rang der Matrix A ist gleich dem Rang der Matrix A‘, aber diese beiden sind kleiner als die Anzahl der Unbekannten des Systems (3), sodass wir anhand des Rouché-Frobenius-Theorems wissen, dass es sich um ein unbestimmtes kompatibles System (SCI) handelt. :

Da es sich um ein ICS-System handelt, müssen wir eine Gleichung eliminieren. In diesem Fall streichen wir die letzte Gleichung aus dem System:

$\begin{cases} 3x-2y-3z=4 \\[1.5ex] -x+5y+4z=-10 \\[1.5ex]\cancel{5x+y-2z = -2} \end{cases} \longrightarrow \quad \begin{cases} 3x-2y-3z=4 \\[1.5ex] -x+5y+4z=-10\end{cases}$

Nun wandeln wir die Variable z in λ um:

$\begin{cases} 3x-2y-3z=4 \\[1.5ex] -x+5y+4z=-10 \end{cases} \xrightarrow{z \ = \ \lambda}\quad \begin{cases} 3x-2y-3\lambda=4 \\[1.5ex] -x+5y+4\lambda=-10\end{cases}$

Und wir setzen die Terme mit λ mit den unabhängigen Termen zusammen:

$\begin{cases} 3x-2y=4+3\lambda \\[1.5ex] -x+5y=-10-4\lambda\end{cases}$

So dass die Matrix A und die Matrix A‘ des Systems bestehen bleiben:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 3 & -2 \\[1.1ex] -1 & 5 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{cc|c} 3 & -2 & 4+3\lambda \\[1.1ex] 1 & 5 &-10-4\lambda \end{array} \right)$

Sobald wir das System transformiert haben, wenden wir schließlich die Cramer-Regel an . Wir lösen daher die Determinante von A:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}3& -2 \\[1.1ex] -1 & 5\end{vmatrix} =13$

Um das Unbekannte zu berechnen

$\displaystyle x$

Mit der Cramer-Regel ändern wir die erste Spalte der Determinante von A durch die Spalte der unabhängigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:

$\displaystyle \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 4+3\lambda & -2 \\[1.1ex]-10-4\lambda & 5\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{20+15\lambda -(20+8\lambda)}{13} = \cfrac{\bm{7\lambda}}{\bm{13}}$

Um das Unbekannte zu berechnen

$\displaystyle y$

Mit der Cramer-Regel ändern wir die zweite Spalte der Determinante von A durch die Spalte der unabhängigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:

$\displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix} 3 & 4+3\lambda \\[1.1ex] -1 & -10-4\lambda\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{-30-12\lambda -(-4-3\lambda)}{13}= \cfrac{\bm{-26-9\lambda}}{\bm{13}}$

Somit ist die Lösung des Gleichungssystems eine Funktion von λ, da es ein SCI ist und das System daher unendlich viele Lösungen hat:

$\displaystyle \bm{x=} \cfrac{\bm{7\lambda}}{\bm{13}} \qquad \bm{y=} \cfrac{\bm{-26-9\lambda}}{\bm{13}} \qquad \bm{z = \lambda}$

Was ist Cramers Regel?

Beispiel 1: Kompatibles System ermittelt (SCD)

Beispiel 2: Unbestimmtes kompatibles System (ICS)

Cramers Regel löste Probleme

Übung 1

Übung 2

Übung 3

Übung 4

Übung 5

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