Auf dieser Seite finden Sie, was ein monisches Polynom ist, sowie Beispiele für monische Polynome. Sie können auch die Eigenschaften dieses Polynomtyps sehen und sehen, wie ein Polynom monisch wird.
Was ist ein Einheitspolynom?
Die Definition des Einheitspolynoms lautet wie folgt:
In der Mathematik ist ein Einheitspolynom ein Polynom mit einer einzigen Variablen, dessen führender Koeffizient gleich 1 ist.
Monische Polynome werden auch Unitärpolynome oder Normpolynome genannt.
Das folgende Polynom vom Grad 2 ist beispielsweise monisch, weil es ein univariables Polynom ist und seine Steigung 1 ist:
Um das Konzept eines Einheitspolynoms zu verstehen, müssen Sie natürlich die Steigung eines Polynoms kennen. Wenn Sie sich darüber nicht im Klaren sind, empfehlen wir Ihnen, einen Blick auf die Erklärung aller Teile eines Polynoms zu werfen. Dort können Sie außerdem die anderen Teile (oder Elemente) sehen, aus denen ein Polynom besteht begleitet von Beispielen und gelösten Übungen zum Üben.
Beispiele für monische Polynome
Nachdem wir gesehen haben, was es bedeutet, dass ein Polynom monisch ist, schauen wir uns einige Beispiele für diesen Polynomtyp an:
Beispiel für ein Einheitspolynom zweiten Grades:
Beispiel für ein Einheitspolynom dritten Grades:
Beispiel für ein Einheitspolynom vierten Grades:
Wie man ein beliebiges Polynom in eine Monische umwandelt
Nachdem wir nun die Bedeutung des monischen Polynoms kennen, werden wir sehen, wie man ein Polynom in ein monisches Polynom umwandelt, oder mit anderen Worten, wie man ein Polynom „monisiert“. Dieser Vorgang wird auch Normalisierung eines Polynoms genannt.
Deshalb werden wir eine Übung Schritt für Schritt lösen, um zu sehen, wie es geht:
Um das Polynom zu normalisieren, müssen wir alle Elemente, aus denen das Polynom besteht, durch den Koeffizienten des Termes höchsten Grades im Polynom dividieren. In diesem Fall beträgt der Koeffizient des höchsten Grades 4, also:
![\begin{aligned} \cfrac{P(x)}{4} & =\cfrac{4x^5}{4}+\cfrac{3x^4}{4}-\cfrac{8x^2}{4}+\cfrac{2x}{4}-\cfrac{12}{4} \\[2ex] & = \cfrac{4}{4}x^5+\cfrac{3}{4}x^4-\cfrac{8}{4}x^2+\cfrac{2}{4}x-\cfrac{12}{4} \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9cee7fd835cb649bc1659f7ad895f028_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Vereinfachen wir nun die Brüche des Polynoms:
Und damit haben wir das Polynom des Problems bereits in ein monisches Polynom umgewandelt.
Eigenschaften monischer Polynome
Monische Polynome haben die folgenden Eigenschaften:
- Das Produkt eines monischen Polynoms mit einem anderen monischen Polynom ergibt immer ein monisches Polynom.
Dies liegt an den Multiplikationseigenschaften von Polynomen . Auf der verlinkten Seite wird nicht nur erklärt, wie Polynome multipliziert werden, sondern Sie erfahren auch, warum dies bei den Produkteigenschaften von Polynomen geschieht.
- Wenn ein Einheitspolynom nur aus ganzzahligen Koeffizienten besteht, sind die Wurzeln des Einheitspolynoms ganze Zahlen.
Die Wurzeln (oder Nullstellen) eines Polynoms sind Zahlen, die ein Polynom definieren, daher ist es ein sehr wichtiges Konzept. Wenn Sie nicht wissen, was sie sind oder wie sie berechnet werden, können Sie unsere Seite mit gelösten Übungen für die Wurzeln eines Polynoms besuchen, in der wir erklären, woraus die Wurzeln eines Polynoms bestehen, wie man sie findet und was Sie können Üben Sie sogar mit Schritt für Schritt gelösten Übungen.
- Obwohl der Koeffizient eines multivariablen Polynoms Eins ist, wird es nie als monisches Polynom betrachtet, gerade weil es mehr als eine Variable hat.