Berechnen Sie den Rang einer Matrix anhand von Determinanten

Auf dieser Seite erfahren Sie, was das ist und wie Sie den Bereich einer Matrix anhand von Determinanten berechnen. Darüber hinaus finden Sie Beispiele und gelöste Übungen, um zu lernen, wie Sie den Umfang einer Matrix einfach ermitteln können. Darüber hinaus sehen Sie auch die Bereichseigenschaften einer Matrix.

Welchen Rang hat eine Matrix?

Die Bereichsdefinition einer Matrix lautet:

Der Rang einer Matrix ist die Ordnung der größten quadratischen Teilmatrix, deren Determinante von 0 verschieden ist.

Auf dieser Seite lernen wir den Bereich einer Matrix mit der Determinantenmethode kennen. Der Bereich einer Matrix kann jedoch auch mit der Gaußschen Methode bestimmt werden, obwohl diese langsamer und komplizierter ist.

Sobald wir den Bereich einer Matrix kennen, werden wir sehen, wie wir den Bereich einer Matrix anhand von Determinanten ermitteln können. Bedenken Sie jedoch, dass Sie zum Auflösen der Größe einer Matrix zunächst wissen müssen, wie 3×3-Determinanten berechnet werden.

Wie erkennt man den Umfang einer Matrix? Beispiel:

Berechnen Sie die Ausdehnung der folgenden Matrix der Dimension 3×4:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] 0 & 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 7 & 2 \end{array} \right)$

Wir werden immer damit beginnen, herauszufinden, ob die Matrix den maximalen Rang hat, indem wir nach der größten Determinante der Ordnung auflösen. Und wenn die Determinante dieser Ordnung gleich 0 ist, werden wir weiterhin Determinanten niedrigerer Ordnung testen, bis wir eine andere als 0 finden.

In diesem Fall handelt es sich um eine Matrix der Dimension 3×4. Sie wird daher höchstens Rang 3 haben , da wir keine Determinante der Ordnung 4 machen können. Wir nehmen also eine beliebige 3×3-Submatrix und prüfen, ob ihre Determinante 0 ist. Beispielsweise lösen wir die Determinante der ersten 3 Spalten mit die Sarrus-Regel:

$\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}4 & -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 1 & -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \\[-2ex]\cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 7 & 2 \end{tabular} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 0 & 2 & 1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 7 \end{vmatrix} = 14 + 9 + 0 - 24 + 1 - 0 = \bm{0}$

Die Determinante der Spalten 1, 2 und 3 ist 0. Wir müssen nun eine andere Determinante ausprobieren, zum Beispiel die der Spalten 1, 2 und 4:

$\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 & 4 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 &\cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & 1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}& & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex]\cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 & 7 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 \end{tabular} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 \\[1.1ex] 0 & 2 & -1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 4 -9 + 0 + 6-1 - 0 = \bm{0}$

Es ergab auch 0. Wir testen daher weiterhin die Determinanten der Ordnung 3, um zu sehen, ob es andere als 0 gibt. Wir testen nun die Determinante, die durch die Spalten 1, 3 und 4 gebildet wird:

$\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & 3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}4 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 &2 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex]\cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 & -1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 7 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 \end{tabular} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 \\[1.1ex] 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 7 & 2 \end{vmatrix} = 2 -12+0 +3 +7- 0 = \bm{0}$

Probieren Sie von den Determinanten der Ordnung 3 einfach die Determinante aus den Spalten 2, 3 und 4 aus:

$\left( \begin{tabular}{cccc}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}4 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 \\ & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] 0 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 \\ & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] 3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 7 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 \end{tabular} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] -1 & 7 & 2 \end{vmatrix} = 6+4-14-1+21-16 = \bm{0}$

Wir haben bereits alle möglichen 3×3-Determinanten der Matrix A ausprobiert, und da keine davon von 0 verschieden ist, hat die Matrix nicht den Rang 3 . Daher wird es höchstens Rang 2 sein.

$\displaystyle rg(A) < 3$

Wir werden nun sehen, ob die Matrix den Rang 2 hat. Dazu müssen wir eine quadratische Submatrix der Ordnung 2 finden, deren Determinante von 0 verschieden ist. Wir werden es mit der 2×2-Submatrix in der oberen linken Ecke versuchen:

$\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}3 & 4 & -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & & \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & 1 & -1 & & & \\[-2ex] 3 & -1 & 7 & 2 \end{tabular} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 0 & 2 \end{vmatrix} = 2-0 = 2 \bm{ \neq 0}$

Wir haben innerhalb der Matrix eine von 0 verschiedene Determinante der Ordnung 2 gefunden. Folglich hat die Matrix Rang 2:

$\displaystyle \bm{rg(A)=2}$

Matrix-Scope-Probleme gelöst

Übung 1

Bestimmen Sie den Rang der folgenden 2×2-Matrix:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 5 & 6 \end{pmatrix}$

siehe Lösung

Wir berechnen zunächst die Determinante der gesamten Matrix:

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 5 & 6 \end{vmatrix} = 18-5 = 13 \bm{\neq 0}$

Wir haben eine Determinante der Ordnung 2 ungleich 0 gefunden. Daher hat die Matrix den Rang 2.

$\displaystyle \bm{rg(A)=2}$

Übung 2

Finden Sie die Ausdehnung der folgenden Matrix der Dimension 2 × 2:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 6 \end{pmatrix}$

siehe Lösung

Zuerst lösen wir nach der Determinante der gesamten Matrix:

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 6 \end{vmatrix} = 12-12 \bm{=0}$

Die einzig mögliche 2×2-Determinante ergibt 0, die Matrix hat also nicht den Rang 2.

Aber innerhalb der Matrix gibt es 1×1 Determinanten außer 0, zum Beispiel:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 2 \bm{\neq 0}$

Die Matrix hat somit Rang 1.

$\displaystyle \bm{rg(A)=1}$

Übung 3

Wie groß ist die folgende quadratische 3×3-Matrix?

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\[1.1ex] 2 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}$

siehe Lösung

Zunächst wird die Determinante der gesamten Matrix mit der Sarrus-Regel berechnet:

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & -3 & 2 \\[1.1ex] 2 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \end{vmatrix} = 2-12+16-2-16+12 \bm{=0}$

Die einzig mögliche 3×3-Determinante ergibt 0, die Matrix hat also nicht den Rang 3.

Aber innerhalb der Matrix gibt es Determinanten der Ordnung 2 ungleich 0, zum Beispiel:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 +6 = 7 \bm{\neq 0}$

Daher hat die Matrix den Rang 2 .

$\displaystyle \bm{rg(A)=2}$

Übung 4

Berechnen Sie den Rang der folgenden Matrix der Ordnung 3:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\[1.1ex] 4 & -2 & 3 \\[1.1ex] 2 & 5 & 2 \end{pmatrix}$

siehe Lösung

Zunächst wird die Determinante der gesamten Matrix mit der Sarrus-Regel gelöst:

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\[1.1ex] 4 & -2 & 3 \\[1.1ex] 2 & 5 & 2 \end{vmatrix} = -12-6+20+4-45+8 = -31\bm{ \neq0}$

Die Determinante der gesamten Matrix ergibt etwas anderes als 0. Daher hat die Matrix den maximalen Rang, d. h. Rang 3.

$\displaystyle \bm{rg(A)=3}$

Übung 5

Welchen Rang hat die folgende Matrix der Ordnung 3?

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 5 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 \\[1.1ex] 5 & 3 & -5 \end{pmatrix}$

siehe Lösung

Zunächst wird die Determinante der gesamten Matrix mit der Sarrus-Regel berechnet:

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}2 & 5 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 \\[1.1ex] 5 & 3 & -5 \end{vmatrix} =20-100-9-10+24+75 \bm{= 0}$

Die einzig mögliche 3×3-Determinante ergibt 0, die Matrix hat also nicht den Rang 3.

Aber innerhalb der Matrix gibt es 2 × 2 Determinanten ungleich 0, wie zum Beispiel:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 5 \\[1.1ex] 3 & -2 \end{vmatrix} = -4-15 = -19\bm{\neq 0}$

Die Matrix hat somit Rang 2 .

$\displaystyle \bm{rg(A)=2}$

Übung 6

Finden Sie den Umfang der folgenden 3×4-Matrix:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 & 1 \\[1.1ex] 2 & -2 & -3 & 5 \\[1.1ex] 5 & 0 & -7 & 3 \end{pmatrix}$

siehe Lösung

Die Matrix kann nicht den Rang 4 haben, da wir keine 4×4-Determinanten erstellen können. Sehen wir uns also an, ob es Rang 3 hat, indem wir 3×3 Determinanten berechnen:

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}3 & 2 & -4 \\[1.1ex] 2 & -2 & -3 \\[1.1ex] 5 & 0 & -7 \end{vmatrix} =42-30+0-40-0+28 \bm{= 0}$

Die Determinante der ersten 3 Spalten ergibt 0. Die Determinante der letzten 3 Spalten ergibt jedoch etwas anderes als 0:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & -4 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 5 \\[1.1ex] 0 & -7 & 3 \end{vmatrix} = -18+0+14-0+70-24 = 42 \bm{\neq 0}$

Da sich also im Inneren eine Submatrix der Ordnung 3 befindet, deren Determinante von 0 verschieden ist, hat die Matrix den Rang 3 .

$\displaystyle \bm{rg(A)=3}$

Übung 7

Berechnen Sie den Bereich der folgenden 4×3-Matrix:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{pmatrix}$

siehe Lösung

Die Matrix kann nicht den Rang 4 haben, da wir keine 4×4-Determinante auflösen können. Sehen wir uns also an, ob es Rang 3 hat, indem wir alle möglichen 3×3-Determinanten berücksichtigen:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9\end{vmatrix} \bm{= 0} \qquad \begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{vmatrix} \bm{= 0}$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{vmatrix} \bm{= 0} \qquad \begin{vmatrix} 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{vmatrix} \bm{= 0}$

Da alle möglichen 3×3-Determinanten 0 ergeben, hat die Matrix auch nicht den Rang 3. Wir probieren nun die 2×2-Determinanten aus:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & 4 \end{vmatrix} =13 \bm{\neq 0}$

Da es innerhalb der Matrix A eine Submatrix der Ordnung 2 gibt, deren Determinante von 0 verschieden ist, hat die Matrix den Rang 2 .

$\displaystyle \bm{rg(A)=2}$

Übung 8

Finden Sie den Bereich der folgenden 4 × 4-Matrix:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] -1 & 3 & 2 & -4\end{pmatrix}$

siehe Lösung

Wir müssen die Determinante der gesamten Matrix lösen, um zu sehen, ob sie Rang 4 hat.

Und um die 4×4-Determinante zu lösen, müssen Sie zunächst Operationen mit den Zeilen durchführen, um alle Elemente in einer Spalte bis auf eines in Null umzuwandeln:

$\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] -1 & 3 & 2 & -4 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex] \\[1.1ex]\xrightarrow{f_3 + 2f_2} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 - 3f_2} \end{matrix} \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 10 & 0 & 1 & 1 \\[1.1ex] -10 & 0 & -1 & -1 \end{vmatrix}$

Wir berechnen nun die Determinante nach Stellvertretern:

$\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 10 & 0 & 1 & 1 \\[1.1ex] -10 & 0 & -1 & -1 \end{vmatrix} \displaystyle = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}$

Wir vereinfachen die Begriffe:

$=\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}+1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}$

$= \text{Adj(1)}$

Wir berechnen den Adjungierten von 1:

$\displaystyle = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix}2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 10 & 1 & 1 \\[1.1ex] -10 & -1 & -1\end{vmatrix}$

Und schließlich berechnen wir die 3×3-Determinante mit der Sarrus-Regel und dem Taschenrechner:

$\displaystyle = (-1)^{4} \cdot \bigl[-2-10+10-10+2+10 \bigr]$

$\displaystyle = 1 \cdot \bigl[0 \bigr]$

$\displaystyle = \bm{0}$

Die 4×4-Determinante der gesamten Matrix ergibt 0, daher hat Matrix A nicht den Rang 4. Sehen wir uns nun an, ob sie eine andere 3×3-Determinante als 0 enthält:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 \\[1.1ex] 4 & -2 & -1 \end{vmatrix} = -2+0-6-4+4-0=8 \bm{\neq 0}$

Matrix A hat daher Rang 3:

$\displaystyle \bm{rg(A)=3}$

Eigenschaften des Matrixbereichs

Der Bereich wird nicht geändert, wenn wir eine mit Nullen gefüllte Zeile, eine Spalte oder eine mit Nullen gefüllte Zeile löschen.

Der Bereich einer Matrix ändert sich nicht, wenn wir die Reihenfolge zweier paralleler Zeilen ändern, unabhängig davon, ob es sich um Zeilen oder Spalten handelt.

Der Rang einer Matrix ist derselbe wie der ihrer Transponierten.

Wenn Sie eine Zeile oder Spalte mit einer anderen Zahl als 0 multiplizieren, ändert sich der Rang der Matrix nicht.

Der Bereich eines Farbtons ändert sich nicht, wenn wir eine Linie (Zeile oder Spalte) entfernen, die eine lineare Kombination anderer parallel dazu verlaufender Linien ist.

Der Bereich einer Matrix ändert sich nicht, wenn wir weitere Zeilen parallel zu einer der Zeilen (Zeilen oder Spalten) multipliziert mit einer beliebigen Zahl hinzufügen. Deshalb kann der Rang einer Matrix auch mit der Gaußschen Methode berechnet werden.

Berechnen sie den rang einer matrix anhand von determinanten

Welchen Rang hat eine Matrix?

Wie erkennt man den Umfang einer Matrix? Beispiel:

Matrix-Scope-Probleme gelöst

Übung 1

Übung 2

Übung 3

Übung 4

Übung 5

Übung 6

Übung 7

Übung 8

Eigenschaften des Matrixbereichs

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