Nebenfach-, Assistenten- und Assistenten-Komplementärmatrix

In diesem Abschnitt werden wir sehen, was sie sind und wie man einen komplementären Minor, einen Adjungierten und die adjungierte Matrix berechnet. Darüber hinaus finden Sie Beispiele, damit Sie es perfekt verstehen, und Schritt für Schritt gelöste Übungen, damit Sie üben können.

Was ist das komplementäre Nebenfach?

Man nennt es das Nebenkomplement eines Elements.

$a_{ij}$

auf die durch Löschen der Zeile erhaltene Determinante

$i$

und die Säule

$j$

einer Matrix.

Wie berechnet man das komplementäre Nebenfach eines Elements?

Sehen wir uns anhand einiger Beispiele an, wie das komplementäre Moll eines Elements berechnet wird:

Beispiel 1:

Berechnen Sie das Nebenkomplement von 1 der folgenden quadratischen 3 × 3-Matrix:

$\displaystyle A = \left( \begin{array}{ccc} 6 & 1 & 7 \\[1.1ex] 3 & 2 & 0 \\[1.1ex] 5 & 8 & 4 \end{array} \right)$

Der komplementäre Nebenwert von 1 ist die Determinante der Matrix, die beim Eliminieren der Zeile und Spalte, in der sich die 1 befindet, verbleibt. Das heißt, die erste Zeile und die zweite Spalte entfernen:

$\left( \begin{tabular}{ccc} \cellcolor[HTML]{F5B7B1}6 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}1 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}7 \\ & \cellcolor[HTML]{F5B7B1} & \\[-2ex] 3 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}2 & 0 \\ & \cellcolor[HTML]{F5B7B1} & \\[-2ex] 5 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}8 & 4 \end{tabular} \right)$

$\text{Menor complementario de 1} = \begin{vmatrix} 3 & 0 \\[1.1ex] 5 & 4 \end{vmatrix} = \bm{12}$

Beispiel 2:

Dieses Mal berechnen wir den komplementären Nebenwert von 0 derselben Matrix wie zuvor:

$\displaystyle A = \left( \begin{array}{ccc} 6 & 1 & 7 \\[1.1ex] 3 & 2 & 0 \\[1.1ex] 5 & 8 & 4 \end{array} \right)$

Der komplementäre Nebenwert von 0 ist die Determinante der Matrix, indem die Zeile und Spalte entfernt werden, in der die 0 ist:

$\left( \begin{tabular}{ccc} 6 & 1 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}7 \\ & & \cellcolor[HTML]{F5B7B1} \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{F5B7B1} 3 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}2 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}0 \\ & &\cellcolor[HTML]{F5B7B1} \\[-2ex] 5 & 8 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}4 \end{tabular} \right)$

$\text{Menor complementario de 0} = \begin{vmatrix} 6 & 1 \\[1.1ex] 5 & 8 \end{vmatrix} = \bm{43}$

Gelöste Übungen für komplementäre Nebenfächer

Übung 1

Berechnen Sie das kleinste Dreierkomplement der folgenden 3×3-Matrix:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 5 & 1 & 2 \\[1.1ex] 3 & 4 & 7 \\[1.1ex] -1 & 6 & 7 \end{pmatrix}$

siehe Lösung

Die komplementäre Nebenzahl von 3 ist die Determinante der Matrix, die nach dem Entfernen der Zeile und Spalte, in der die 3 ist, verbleibt:

$\text{Menor complementario de 3} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] 6 & 7 \end{vmatrix} = \bm{-5}$

Übung 2

Finden Sie das komplementäre Moll von 5 der folgenden Matrix der Ordnung 3:

$\displaystyle \begin{pmatrix} -2 & 4 & -2 \\[1.1ex] 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 5 & 8 & 1 \end{pmatrix}$

siehe Lösung

Die komplementäre Nebenzahl von 5 ist die Determinante der Matrix, die wir erhalten, indem wir die Zeile und Spalte löschen, in der die 5 ist:

$\text{Menor complementario de 5} = \begin{vmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 \end{vmatrix} = \bm{22}$

Übung 3

Berechnen Sie das Nebenkomplement von 6 der folgenden 4×4-Matrix:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 2 & 6 & -1 & 8 \\[1.1ex] 3 & 9 & -1 & 4 \\[1.1ex] 5 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

siehe Lösung

Die komplementäre Nebenzahl von 6 ist die Determinante der Matrix, die nach dem Entfernen der Zeile und Spalte, in der die 6 ist, verbleibt:

$\text{Menor complementario de 6} = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 4 \\[1.1ex] 5& 1 & 3 \end{vmatrix}$

Wir lösen die Determinante mit der Sarrus-Regel:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 4 \\[1.1ex] 5 & 1 & 3 \end{vmatrix}=-3+60+12+20-4-27 = \bm{58}$

Was ist der Adjungierte eines Array-Elements?

Der Stellvertreter von

$a_{ij}$

, also Werbebuchung

$i$

und die Säule

$j$

, wird mit der folgenden Formel erhalten:

$\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}$

Wie erhalte ich den Adjungierten eines Array-Elements?

Sehen wir uns anhand mehrerer Beispiele an, wie der Adjungierte eines Elements berechnet wird:

Beispiel 1:

Berechnen Sie den Adjungierten von 4 der folgenden Matrix der Ordnung 3:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 5 & 6 \\[1.1ex] 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

$\text{Adjunto de } 4 = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 4$

Die 4 befindet sich in Zeile 2 und Spalte 1 , also in diesem Fall

$i = 2$

Und

$j = 1 :$

$\text{Adjunto de } 4 = \displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 4$

Und wie wir zuvor gesehen haben, ist das Nebenkomplement von 4 die Determinante der Matrix und eliminiert die Zeile und Spalte, in der sich die 4 befindet. Daher:

$\text{Adjunto de} 4 = \displaystyle(-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] 8 & 9 \end{vmatrix}$

Jetzt lösen wir die Determinante und finden den Adjungierten von 4:

$\text{Adjunto de } 4 = (-1)^{3} \bm{\cdot} (-5) = -1 \cdot (-6) = \bm{6}$

Denken Sie daran, dass eine negative Zahl, die auf einen geraden Exponenten erhöht wird, positiv ist. Wenn also -1 auf eine gerade Zahl erhöht wird, wird es positiv.

$\bm{\longrightarrow}(-1)^2=\bm{+1}$

Wenn andererseits eine negative Zahl auf einen ungeraden Exponenten erhöht wird, ist sie negativ. Wenn also -1 auf eine ungerade Zahl erhöht wird, ist es immer negativ.

$\bm{\longrightarrow}(-1)^3=\bm{-1}$

Beispiel 2:

Wir finden den Stellvertreter von 5 derselben Matrix wie zuvor:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 5 & 6 \\[1.1ex] 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

$\text{Adjunto de } 5 = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 5$

$\text{Adjunto de} 5 = \displaystyle(-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 7 & 9 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-12) = \bm{-12}$

Beispiel 3:

Machen wir den Stellvertreter von 3 derselben Matrix:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 5 & 6 \\[1.1ex] 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

$\text{Adjunto de } 3 = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 3$

$\text{Adjunto de} 3 \displaystyle = (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & 5 \\[1.1ex] 7 & 8 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-3) = \bm{-3}$

Der Adjungierte eines Elements wird zur Berechnung von Determinanten verwendet, wie wir später sehen werden, und zur Berechnung der adjungierten Matrix, was wir jetzt sehen werden.

Gelöste Übungen für Assistenten

Übung 1

Berechnen Sie den Adjungierten von 2 der folgenden 3×3-Matrix:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] -1 & -3 & 5 \\[1.1ex] 5 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

siehe Lösung

Um das Ergebnis des Adjungierten von 2 zu erhalten, wenden Sie einfach die Formel für den Adjungierten eines Elements an:

$\text{Adjunto de 2} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de 2}$

$\text{Adjunto de 2} \displaystyle = (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -3 & 5 \\[1.1ex] 3 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-18) = \bm{-18}$

Übung 2

Finden Sie den Adjungierten von 4 der folgenden Matrix der Ordnung 3:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 2 & 9 & 4 \\[1.1ex] 6 & 5 & -3 \end{pmatrix}$

siehe Lösung

Um den Stellvertreter von 4 zu erhalten, müssen wir die Formel für den Stellvertreter eines Elements verwenden:

$\text{Adjunto de 4} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de 4}$

$\text{Adjunto de 4} \displaystyle = (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 6 & 5 \end{vmatrix} = -1 \cdot 9 = \bm{-9}$

Übung 3

Finden Sie den Stellvertreter von 7 der folgenden 4×4-Matrix:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 & -2 \\[1.1ex] 3 & 1 & -3 & 3 \\[1.1ex] 2 & -1 & 4 & 0 \\[1.1ex] 2 & 7 & 9 & -4 \end{pmatrix}$

siehe Lösung

Um den Zusatz von 7 zu bilden, wenden wir die Formel für den Zusatz eines Elements an:

$\text{Adjunto de 7}=(-1)^{4+2} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de 7}$

$\text{Adjunto de 7} \displaystyle = (-1)^{4+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 5 & -2 \\[1.1ex] 3 & -3 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0\end{vmatrix}$

Wir wenden die Regel von Sarrus an, um die Determinante dritter Ordnung zu lösen:

$\displaystyle = (-1)^{6} \bm{\cdot} \bigl[0+30-24-12-12-0\bigr]$

$\displaystyle = 1 \bm{\cdot} \bigl[-18 \bigr] = \bm{-18}$

Was ist die beigefügte Matrix?

Das angehängte Array ist ein Array, in dem alle seine Elemente durch ihre Stellvertreter ersetzt wurden.

Wie berechnet man die adjungierte Matrix?

Um die Stellvertretermatrix zu berechnen, müssen wir alle Elemente der Matrix durch ihre Stellvertreter ersetzen.

Sehen wir uns anhand eines Beispiels an, wie die verbundene Matrix erstellt wird:

Beispiel:

Berechnen Sie die adjungierte Matrix der folgenden quadratischen Matrix der Dimension 2×2:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\[1.1ex] 3 & 2 \end{pmatrix}$

Um die adjungierte Matrix zu berechnen, müssen wir den Adjungierten jedes Elements der Matrix berechnen . Daher werden wir zunächst die Adjungierten aller Elemente mit der Formel auflösen:

$\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}$

$\text{Adjunto de } 4 =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 = \bm{2}$

$\text{Adjunto de -1} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de } 3 =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -1 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-1) = \bm{1}$

$\text{Adjunto de } 2 =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}$

Jetzt müssen wir nur noch jedes Element im Array ersetzen

$A$

durch seinen Stellvertreter, um die Stellvertretermatrix von zu finden

$\bm{A} :$

$\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{2} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{1} & \bm{4} \end{pmatrix}$

Und auf diese Weise wird der Stellvertreter einer Matrix gefunden. Aber Sie fragen sich wahrscheinlich, wozu all diese Berechnungen dienen? Nun, einer der Nutzen des Matrix-Joins besteht darin, die Umkehrung einer Matrix zu berechnen. Tatsächlich ist die Methode der adjungierten Matrix die gebräuchlichste Methode zum Ermitteln der inversen Matrix.

Adjungierte Matrixprobleme gelöst

Übung 1

Berechnen Sie die adjungierte Matrix der folgenden quadratischen 2×2-Matrix:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] -4 & 1 \end{pmatrix}$

siehe Lösung

Um die adjungierte Matrix zu berechnen, müssen wir den Adjungierten jedes Elements der Matrix berechnen. Daher werden wir zunächst die Adjungierten aller Elemente mit der Formel auflösen:

$\text{Adjunto de 2} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 = \bm{1}$

$\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -4 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-4) = \bm{4}$

$\text{Adjunto de -4} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de 1} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 = \bm{2}$

Jetzt müssen wir nur noch jedes Element im Array ersetzen

$A$

durch seinen Stellvertreter, um die Stellvertretermatrix von zu finden

$A :$

$\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{1} & \bm{4} \\[1.1ex] \bm{-3} & \bm{2} \end{pmatrix}$

Übung 2

Finden Sie die adjungierte Matrix der folgenden Matrix zweiter Ordnung:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 6 & -2 \\[1.1ex] 3 & -7 \end{pmatrix}$

siehe Lösung

Um die adjungierte Matrix zu berechnen, müssen wir den Adjungierten jedes Elements der Matrix berechnen. Daher werden wir zunächst die Adjungierten aller Elemente mit der Formel auflösen:

$\text{Adjunto de 6} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -7 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-7) = \bm{-7}$

$\text{Adjunto de -2} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-2) = \bm{2}$

$\text{Adjunto de -7} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 6 \end{vmatrix} = 1 \cdot 6 = \bm{6}$

Jetzt müssen wir nur noch jedes Element im Array ersetzen

$A$

durch seinen Stellvertreter, um die Stellvertretermatrix von zu finden

$A :$

$\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{-7} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{2} & \bm{6} \end{pmatrix}$

Übung 3

Berechnen Sie die adjungierte Matrix der folgenden 3×3-Matrix:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0 \\[1.1ex] 5 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

siehe Lösung

Um die adjungierte Matrix zu berechnen, müssen wir den Adjungierten jedes Elements der Matrix berechnen. Daher werden wir zunächst die Adjungierten aller Elemente mit der Formel auflösen:

$\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & 0 \\[1.1ex] 0 & -2\end{vmatrix} = 1 \cdot (-8) = \bm{-8}$

$\text{Adjunto de 3} = \displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\[1.1ex] 5 & -2\end{vmatrix} = -1 \cdot (-4) = \bm{4}$

$\text{Adjunto de -1} = \displaystyle (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 & 4 \\[1.1ex] 5 & 0\end{vmatrix} = 1 \cdot (-20) = \bm{-20}$

$\text{Adjunto de 2} = \displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 & -1 \\[1.1ex] 0 & -2\end{vmatrix} = -1 \cdot (-6) = \bm{6}$

$\text{Adjunto de 4} = \displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\[1.1ex] 5 & -2\end{vmatrix} = 1 \cdot 3 = \bm{3}$

$\text{Adjunto de 0} = \displaystyle (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 5 & 0 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-15) = \bm{15}$

$\text{Adjunto de 5} = \displaystyle (-1)^{3+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 & -1 \\[1.1ex] 4 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}$

$\text{Adjunto de 0} = \displaystyle (-1)^{3+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\[1.1ex] 2 & 0\end{vmatrix} = -1 \cdot 2 = \bm{-2}$

$\text{Adjunto de -2} = \displaystyle (-1)^{3+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-2) = \bm{-2}$

Jetzt müssen wir nur noch jedes Element im Array ersetzen

$A$

durch seinen Stellvertreter, um die Stellvertretermatrix von zu finden

$A :$

$\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{-8} & \bm{4} & \bm{-20} \\[1.1ex] \bm{6} & \bm{3} & \bm{15} \\[1.1ex] \bm{4} & \bm{-2} & \bm{-2} \end{pmatrix}$

Neben-, assistenten- und assistenten-komplementärmatrix

Was ist das komplementäre Nebenfach?

Wie berechnet man das komplementäre Nebenfach eines Elements?

Beispiel 1:

Beispiel 2:

Gelöste Übungen für komplementäre Nebenfächer

Übung 1

Übung 2

Übung 3

Was ist der Adjungierte eines Array-Elements?

Wie erhalte ich den Adjungierten eines Array-Elements?

Beispiel 1:

Beispiel 2:

Beispiel 3:

Gelöste Übungen für Assistenten

Übung 1

Übung 2

Übung 3

Was ist die beigefügte Matrix?

Wie berechnet man die adjungierte Matrix?

Beispiel:

Adjungierte Matrixprobleme gelöst

Übung 1

Übung 2

Übung 3

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