▷ Ableitung einer Konstante (gelöste Beispiele)

Hier erklären wir (mit Beispielen), wie viel die Ableitung einer Konstanten wert ist. Wir zeigen Ihnen auch, wie Sie die Ableitung einer mit einer Funktion multiplizierten Konstante, einer durch eine Funktion dividierten Konstante und einer als Funktion erhobenen Konstante berechnen. Abschließend können Sie mit gelösten Aufgaben zu Ableitungen von Konstanten üben.

Was ist die Ableitung einer Konstante?

Die Ableitung einer Konstante ist immer Null , unabhängig vom Wert der Konstante.

$f(x)=k \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=0$

Um die Ableitung einer konstanten Funktion zu finden, müssen daher keine Berechnungen durchgeführt werden, die Ableitung ist einfach Null.

Die Ableitung einer Konstanten ist Null, da der Graph einer konstanten Funktion keine Steigung hat.

Beispiele für Ableitungen von Konstanten

Angesichts der Definition der Ableitung einer konstanten Funktion werden wir mehrere gelöste Beispiele sehen, um das Konzept vollständig zu verstehen:

$\begin{array}{c}f(x)=3 \qquad \longrightarrow\qquad f'(x)=0\\[3ex]g(x)=-5 \qquad \longrightarrow\qquad g'(x)=0\\[3ex]h(x)=291 \qquad \longrightarrow\qquad h'(x)=0\end{array}$

Wie Sie sehen, ergibt die Ableitung einer Konstante immer 0. Es spielt keine Rolle, ob das Vorzeichen der Konstante positiv oder negativ ist oder ob der Wert der Konstante sehr groß oder sehr klein ist, ihre Ableitung ist Null.

Beweis der Ableitung einer Konstanten

Sobald wir sehen, wie groß die Ableitung einer Konstante ist, werden wir zeigen, warum diese Art von Ableitung gleich Null ist.

Sei f eine konstante Funktion beliebigen Wertes:

$f(x)=k$

Die Formel zur Berechnung der Ableitung einer Funktion an einem Punkt lautet:

$\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

➤ Siehe: Definition von Derivat

Wenn wir also nach dem Grenzwert der konstanten Funktion suchen:

$\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{k-k}{h}=\frac{0}{h}=0$

Die Ableitung einer konstanten Funktion ist also in jedem Punkt 0. Daher wird die Formel für die Ableitung einer Konstanten demonstriert.

Ableitung einer Konstanten durch eine Funktion

Wir haben gerade die Ableitung einer einzelnen Konstante analysiert, also einer Funktion ohne Variablen. Aber wie Sie wissen, können Funktionen durch Operationen kombiniert werden. Daher werden wir im Folgenden Ableitungen von Konstanten in Kombination mit anderen Funktionstypen untersuchen, beispielsweise die Ableitung einer Konstante multipliziert mit einer anderen Funktionsart.

Die Ableitung einer Konstante multipliziert mit einer Funktion ist gleich der Konstante multipliziert mit der Ableitung der Funktion.

$f(x)=k\cdot g(x)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=k\cdot g'(x)$

Die Ableitung der folgenden quadratischen Funktion lautet beispielsweise:

$g(x)=x^2\quad \longrightarrow\quad g'(x)=2x$

Daher entspricht die Ableitung der Multiplikation dieser Funktion mit einer Konstante der Multiplikation der im vorherigen Schritt berechneten Ableitung mit der Konstante:

$f(x)=5\cdot x^2\quad \longrightarrow\quad f'(x)=5\cdot 2x=10x$

Ableitung einer Konstante zwischen einer Funktion

Die Ableitung einer Konstante zwischen einer Funktion ist gleich dem Produkt der modifizierten Konstante mal der Ableitung der Funktion dividiert durch die quadrierte Funktion.

$f(x)=\cfrac{k}{g(x)}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=\cfrac{-k\cdot g'(x)}{\bigl[g(x)\bigr]^2}$

Die Ableitung der folgenden Konstante dividiert durch eine lineare Funktion lautet beispielsweise:

$f(x)=\cfrac{3}{8x}\quad\longrightarrow\quad f'(x)=\cfrac{-3\cdot 8}{\bigl[8x\bigr]^2}=\cfrac{-24}{64x^2}=\cfrac{-3}{8x^2}$

Da die Ableitung von 8x 8 ist.

Ableitung einer in der Funktion erhöhten Konstante

Die Ableitung einer als Funktion erhobenen Konstante ist gleich dem Produkt des natürlichen Logarithmus der Konstante multipliziert mit der als Funktion erhobenen Konstante multipliziert mit der Ableitung der Funktion.

$f(x)=k^{g(x)}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=\ln(k)\cdot k^{g(x)} \cdot g'(x)$

Da beispielsweise die Ableitung des Sinus der Kosinus ist, ergibt die Differenzierung einer großen Konstante in einen Sinus:

$f(x)=2^{sen(x)}\quad\longrightarrow\quad f'(x)=\ln(2)\cdot 2^{sen(x)} \cdot cos(x)$

Aufgaben zu Ableitungen von Konstanten gelöst

Lösen Sie die folgenden Ableitungen von Konstanten:

$\text{A)}\ f(x)=4$

$\text{B)}\ f(x)=99$

$\text{C)}\ f(x)=-15$

$\text{D)}\ f(x)=\cfrac{3}{11}$

$\text{E)}\ f(x)=\sqrt{29}$

$\text{F)}\ f(x)=2\pi$

$\text{G)}\ f(x)=2\cdot (3x-4)$

$\text{H)}\ f(x)=\cfrac{10}{x^2}$

$\text{I)}\ f(x)=5^{x^3+2x}$

Sehen Sie sich die Lösung an

Bis zur Aufgabe F) sind alle Funktionen einfache konstante Werte, daher ergeben alle ihre Ableitungen Null.

$\text{A)}\ f'(x)=0$

$\text{B)}\ f'(x)=0$

$\text{C)}\ f'(x)=0$

$\text{D)}\ f'(x)=0$

$\text{E)}\ f'(x)=0$

$\text{F)}\ f'(x)=0$

Selbst wenn es sich um einen Bruch oder eine Wurzel handelt, bedeutet die Funktion, wenn sie keine Variablen hat, dass sie eine konstante Funktion ist und daher ihre Ableitung Null ist.

Im Gegensatz dazu handelt es sich bei den folgenden drei Übungen um Funktionen, bei denen es sich um Operationen von Konstanten mit anderen Funktionen handelt. Um ihre Ableitungen zu berechnen, müssen wir daher die entsprechenden Formeln anwenden:

$\text{G)}\ f'(x)=2\cdot 3=6$

$\text{H)}\ f'(x)=\cfrac{-10\cdot 2x}{\bigl[x^2\bigr]^2}=\cfrac{-20x}{x^4}=\cfrac{-20}{x^3}$

$\text{I)}\ f(x)=\ln(5)\cdot 5^{x^3+2x}\cdot (3x^2+2)$

Abgeleitet von einer konstante