Relative lage zweier ebenen im raum

Auf dieser Seite finden Sie alle möglichen relativen Positionen zweier Ebenen (trockene, parallele oder zusammenfallende Ebenen). Außerdem erfahren Sie, wie die relative Position zwischen zwei Ebenen berechnet wird, und können sich darüber hinaus Beispiele ansehen und anhand gelöster Aufgaben üben.

Wie sind die relativen Positionen zweier Ebenen?

In der analytischen Geometrie gibt es nur drei mögliche relative Positionen zwischen zwei Ebenen: Schnittebenen, parallele Ebenen und zusammenfallende Ebenen.

• Sich schneidende Ebenen : Zwei Ebenen schneiden sich, wenn sie sich nur auf einer Linie schneiden.
• Parallele Ebenen : Zwei Ebenen sind parallel, wenn sie sich in keinem Punkt schneiden.
• Zusammenfallende Ebenen : Zwei Ebenen sind zusammenfallend, wenn sie alle gemeinsame Punkte haben.

Es gibt zwei Methoden, um die relative Position zwischen zwei Ebenen zu ermitteln: eine anhand der Koeffizienten der allgemeinen Gleichungen der beiden Ebenen und die andere durch Berechnung der Ränge zweier Matrizen. Nachfolgend finden Sie eine Erläuterung der einzelnen Verfahren.

So bestimmen Sie die relative Position zweier Ebenen anhand von Koeffizienten

Eine Möglichkeit, die relative Position zwischen zwei Ebenen zu ermitteln, besteht darin, die Koeffizienten ihrer allgemeinen (oder impliziten) Gleichungen zu verwenden.

Betrachten Sie dann die allgemeine (oder implizite) Gleichung zweier verschiedener Ebenen:

Die relative Position zwischen den beiden Ebenen im dreidimensionalen Raum (in R3) hängt von der Proportionalität ihrer Koeffizienten oder Parameter ab:

Daher schneiden sich die beiden Ebenen, wenn einer der Koeffizienten A, B oder C nicht proportional zu den anderen ist. Andererseits sind die beiden Ebenen parallel, wenn nur die unabhängigen Terme nicht proportional sind. Und schließlich stimmen die Pläne überein, wenn alle Koeffizienten der beiden Gleichungen proportional sind.

Berechnen wir zum Beispiel die relative Position der folgenden zwei Ebenen:

Um zu wissen, um welchen Flugzeugtyp es sich handelt, müssen Sie prüfen, welche Koeffizienten proportional sind:

Die Koeffizienten A, B und C sind zueinander proportional, nicht jedoch zum Koeffizienten D, sodass die beiden Ebenen parallel sind .

So berechnen Sie die relative Position zweier Ebenen anhand von Bereichen

Eine andere Möglichkeit, die relative Position zweier bestimmter Ebenen zu ermitteln, besteht darin, den Bereich zweier Matrizen zu berechnen, die durch die Koeffizienten dieser Ebenen gebildet werden.

Lassen Sie uns also die allgemeine (oder implizite) Gleichung zweier verschiedener Ebenen sein:

Wir nennen A die Matrix, die sich aus den Koeffizienten A, B und C der beiden Gleichungen zusammensetzt:

Und sei die Matrix A‘ die erweiterte Matrix mit allen Koeffizienten der beiden Gleichungen:

Die relative Position der beiden Ebenen kann anhand der Bereiche der beiden vorherigen Matrizen ermittelt werden:

Dass die relativen Positionen von den Rängen dieser beiden Matrizen abhängen, lässt sich anhand des Rouche-Frobenius-Toerems (ein Satz zur Lösung linearer Gleichungssysteme) zeigen. Auf dieser Seite werden wir die Demonstration jedoch nicht durchführen, da es nicht erforderlich ist, sie zu kennen, und sie auch nicht viel bringt.

Damit Sie sehen können, wie das geht, berechnen wir die relative Position zwischen den folgenden beiden Ebenen:

Das erste, was zu tun ist, besteht darin, die Matrix A und die erweiterte Matrix A‘ mit den Koeffizienten der Gleichungen der beiden Ebenen zu konstruieren:

Und jetzt müssen wir den Rang jeder Matrix berechnen. Wir ermitteln zunächst den Umfang der Matrix A anhand von Determinanten:

Matrix A enthält eine 2×2-Submatrix, deren Determinante von Null verschieden ist, es handelt sich also um eine Matrix vom Rang 2.

Andererseits ist es auch notwendig, den Rang der Matrix A‘ zu berechnen. Und der Rang der erweiterten Matrix A‘ wird immer mindestens derselbe sein wie der der Matrix A, daher ist in diesem speziellen Fall der Rang der Matrix A‘ auch gleich 2.

Damit die Ausmaße der beiden Matrizen äquivalent sind und den Wert 2 haben, schneiden sich die beiden Ebenen .

Probleme der relativen Position zweier Ebenen gelöst

Übung 1

Untersuchen Sie die relative Position der folgenden zwei Ebenen:

Um die relative Position zwischen den beiden Ebenen zu berechnen, prüfen wir, ob die Koeffizienten der Gleichungen der beiden Ebenen proportional sind:

Alle Koeffizienten der impliziten Gleichungen der beiden Pläne sind proportional zueinander, es handelt sich also um zwei zusammenfallende Pläne .

Übung 2

Bestimmen Sie die relative Position der folgenden zwei Ebenen:

Um die relative Position zwischen den beiden Ebenen zu bestimmen, analysieren wir die Proportionalität der Koeffizienten ihrer Gleichungen:

Die Koeffizienten A und C der impliziten Gleichungen der beiden Ebenen sind zueinander proportional, nicht jedoch zum Koeffizienten B. Es handelt sich also um zwei Sekantenebenen .

Übung 3

Finden Sie die relative Position der folgenden 2 Ebenen:

Um die relative Lage zwischen den beiden Ebenen zu bestimmen, muss überprüft werden, ob die Koeffizienten der Gleichungen der beiden Ebenen proportional sind:

Die ersten drei Parameter (A, B und C) der Gleichungen der beiden Ebenen sind zueinander proportional, nicht jedoch zum Parameter D, daher sind die beiden Ebenen parallel .

Übung 4

Parameterwert berechnen

so dass die folgenden zwei Ebenen parallel sind:

Damit die beiden Ebenen parallel sind, müssen die Koeffizienten A, B und C in ihren Gleichungen proportional sein. Mit anderen Worten muss folgende Gleichheit überprüft werden:

In diesem speziellen Fall betragen die Koeffizienten A und B des ersten Plans die Hälfte derjenigen des zweiten Plans:

Daher müssen wir die obige Gleichung lösen. Und dazu kreuzen wir die beiden Brüche:

Also der Wert des Parameters

muss gleich 10 sein.