Implizite oder allgemeine (oder kartesische) Gleichung der Geraden

Auf dieser Seite erfahren Sie, wie die implizite Geradengleichung, auch allgemeine oder kartesische Geradengleichung genannt, berechnet wird. Darüber hinaus können Sie sich verschiedene Beispiele ansehen und sogar mit geradlinigen Übungen üben, die Schritt für Schritt gelöst werden.

Was ist die implizite, allgemeine oder kartesische Gleichung der Geraden?

Denken Sie daran, dass die mathematische Definition einer Linie eine Menge aufeinanderfolgender Punkte ist, die in derselben Richtung ohne Kurven oder Winkel dargestellt werden.

Somit ist die implizite Geradengleichung , auch allgemeine oder kartesische Gleichung genannt, eine Möglichkeit, jede Gerade mathematisch auszudrücken. Dazu benötigen Sie lediglich den Richtungsvektor der Geraden und einen zur Geraden gehörenden Punkt.

Formel für die implizite, allgemeine oder kartesische Gleichung der Geraden

$\vv{\text{v}}$

ist der Richtungsvektor der Geraden und

$P$

ein Punkt, der nach rechts gehört:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

Die Formel für die implizite, allgemeine oder kartesische Gleichung der Geraden lautet:

$Ax+By+C=0$

Gold:

$x$

Und

$y$

sind die kartesischen Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Linie.
der Koeffizient
$A$

ist die zweite Komponente des Richtungsvektors:

$A=\text{v}_2}$
der Koeffizient
$B$

ist die erste Komponente des Richtungsvektors mit geändertem Vorzeichen:

$B=-\text{v}_1}$
der Koeffizient
$C$

wird durch Ersetzen des bekannten Punktes berechnet

$P$

in der Geradengleichung.

allgemeine oder kartesische implizite Gleichung der Geraden im Raum (im R3)

Bedenken Sie andererseits, dass es neben der impliziten (oder allgemeinen) Gleichung noch andere Möglichkeiten gibt, eine Gerade analytisch auszudrücken: die Vektorgleichung, parametrische Gleichungen, die kontinuierliche Gleichung, die explizite Gleichung und die Punkt-Steigungsgleichung von Eine Linie. Sie können auf unserer Website nachsehen, um was es sich dabei handelt.

Beispiel für die Berechnung der impliziten, allgemeinen oder kartesischen Gleichung der Geraden

Wenn man sich nur die Formel ansieht, könnte man meinen, dass diese Art der Geradengleichung etwas schwierig zu finden ist. Damit Sie aber sehen können, dass es genau das Gegenteil ist, werden wir anhand eines Beispiels sehen, wie man die allgemeine (oder implizite) Gleichung der Geraden findet:

Finden Sie die implizite Gleichung der Geraden, die durch den Punkt verläuft
$P$

und hat

$\vv{\text{v}}$

als Leitvektor:

$\vv{\text{v}}= (2,3) \qquad P(5,-1)$

Wie wir im obigen Abschnitt gesehen haben, lautet die Formel für die implizite Gleichung der Geraden:

$Ax+By+C=0$

Wir müssen also die Koeffizienten A, B und C finden. Die Unbekannten A und B werden aus den Koordinaten des Richtungsvektors der Geraden gewonnen, da die folgende Gleichheit immer überprüft wird:

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

Folglich ist der Koeffizient A die zweite Koordinate des Vektors und der Koeffizient B ist die erste Koordinate des Vektors mit geändertem Vorzeichen:

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}= (2,3) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=3 \\[2ex] B=-2 \end{array}$

Die implizite Gleichung der Geraden lautet daher wie folgt:

$Ax+By+C=0 \ \xrightarrow{A=3 \ ; \ B=-2} \ 3x-2y+C=0$

Daher müssen wir nur den Koeffizienten C ermitteln. Dazu müssen wir den Punkt, von dem wir wissen, dass er zur Geraden gehört, in deren Gleichung einsetzen:

$P(5,-1)$

$3x-2y+C=0 \ \xrightarrow{x=5 \ ; \ y=-1} \ 3\cdot 5-2\cdot (-1)+C=0$

Und nun lösen wir die resultierende Gleichung:

$3\cdot 5-2\cdot (-1)+C=0$

$15+2+C=0$

$17+C=0$

$C=-17$

Die implizite, allgemeine oder kartesische Gleichung der Geraden lautet also:

$\bm{3x-2y-17=0}$

Finden Sie die implizite Gleichung (allgemein oder kartesisch) aus der kontinuierlichen Gleichung

Wir haben gerade eine Möglichkeit gesehen, die allgemeine Gleichung einer Geraden zu finden. Es gibt jedoch eine andere Methode, die auf der kontinuierlichen Gleichung beruht. Sehen wir uns anhand eines Beispiels an, wie das geht:

Berechnen Sie die allgemeine (oder implizite) Gleichung der folgenden Linie, die durch ihre kontinuierliche Gleichung definiert ist:

$\cfrac{x-1}{-2}=\cfrac{y+4}{6}$

Zuerst kreuzen wir die Multiplikation von Brüchen:

$(x-1)\cdot 6 = (y+4) \cdot (-2)$

Zweitens lösen wir die Klammern mithilfe der Verteilungseigenschaft:

$6x-6=-2y-8$

Als nächstes verschieben wir alle Terme auf die linke Seite der Gleichung:

$6x-6+2y+8=0$

Und schließlich gruppieren wir die Terme und erhalten so die allgemeine Geradengleichung:

$\bm{6x+2y+2=0}$

Probleme der impliziten oder allgemeinen (oder kartesischen) Gleichung gelöst

Übung 1

Schreiben Sie die allgemeine Gleichung der Geraden, die durch den Punkt verläuft

$P$

und hat

$\vv{\text{v}}$

als Leitvektor:

$\vv{\text{v}}= (-1,2) \qquad P(4,0)$

siehe Lösung

Die Formel für die allgemeine Geradengleichung lautet:

$Ax+By+C=0$

Wir müssen also A, B und C finden. Die Variablen A und B ergeben sich aus den Koordinaten des Richtungsvektors der Geraden, da immer folgende Gleichheit verifiziert ist:

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

Folglich ist der Koeffizient A die zweite Koordinate des Vektors und der Koeffizient B ist die erste Koordinate des Vektors mit geändertem Vorzeichen:

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}= (-1,2) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=2 \\[2ex] B=1 \end{array}$

Die implizite Gleichung der Geraden lautet daher wie folgt:

$Ax+By+C=0 \ \xrightarrow{A=2 \ ; \ B=1} \ 2x+y+C=0$

Daher müssen wir nur den Koeffizienten C ermitteln. Dazu müssen wir den Punkt, von dem wir wissen, dass er zur Geraden gehört, in die Geradengleichung einsetzen und die resultierende Gleichung lösen:

$P(4,0)$

$2x+y+C=0 \ \xrightarrow{x=4 \ ; \ y=0} \ 2\cdot 4+0+C=0$

$8+C=0$

$C=-8$

Kurz gesagt lautet die implizite, allgemeine oder kartesische Gleichung der Geraden:

$\bm{2x+y-8=0}$

Übung 2

Berechnen Sie die kartesische Gleichung der folgenden Zeile:

$\cfrac{x+3}{4}=\cfrac{y-2}{5}$

siehe Lösung

Die Gleichung wird als kontinuierliche Gleichung ausgedrückt. Um ihre implizite Gleichung zu finden, müssen wir die Brüche kreuzen und alle Terme auf eine Seite der Gleichung setzen:

$\cfrac{x+3}{4}=\cfrac{y-2}{5}$

$(x+3)\cdot 5 = (y-2) \cdot 4$

$5x+15=4y-8$

$5x+15-4y+8=0$

$\bm{5x-4y+23=0}$

Übung 3

Bestimmen Sie einen Punkt auf der folgenden Geraden und seinen Richtungsvektor. Die Gerade wird durch ihre allgemeine Gleichung ausgedrückt:

$-x-3y+6= 0$

siehe Lösung

Die Komponenten des Richtungsvektors der Geraden lassen sich aus den Koeffizienten A und B der allgemeinen Geradengleichung ermitteln: Die erste Komponente des Vektors entspricht dem Koeffizienten B mit geändertem Vorzeichen und die zweite Komponente des Vektors ist gleich dem Koeffizient A. ALSO:

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

$\vv{\mathbf{v}}=\bm{(3,-1)}$

Um andererseits einen Punkt auf der Linie zu berechnen, müssen Sie einer Variablen einen Wert zuweisen. Das tun wir zum Beispiel

$x=0$

und wir lösen die resultierende Gleichung:

$-x-3y+6= 0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ -0 -3y+6=0$

$-3y +6 =0$

$-3y =-6$

$y =\cfrac{-6}{-3}$

$y =2$

Der Punkt der Geraden ist also:

$\bm{P(0,2)}$

Möglicherweise haben Sie einen anderen Punkt erhalten, da es davon abhängt, welchen Wert Sie der Variablen Andererseits muss der Richtungsvektor der Linie mit dem berechneten identisch sein.

Übung 4

Finden Sie die implizite Gleichung der Geraden, die durch die folgenden zwei Punkte verläuft:

$A(4,-1) \qquad B(-2,3)$

siehe Lösung

In diesem Fall kennen wir den Richtungsvektor der Linie nicht, also müssen wir zuerst ihren Richtungsvektor und dann die Gleichung der Linie finden.

Um den Richtungsvektor der Linie zu ermitteln, berechnen Sie einfach den durch die beiden angegebenen Punkte definierten Vektor:

$\vv{AB}=B-A= (-2,3)- (4,-1) = (-6,4)$

Und sobald wir den Richtungsvektor der Linie kennen, können wir nun ihre implizite (oder allgemeine oder kartesische) Gleichung aus ihrer Formel bestimmen:

$Ax+By+C=0$

Die Unbekannten A und B werden aus den Koordinaten des Richtungsvektors der Linie erhalten, da der Koeffizient A die zweite Koordinate des Vektors ist und der Koeffizient B die erste Koordinate des Vektors mit geändertem Vorzeichen ist:

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}= (-6,4) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=4 \\[2ex] B=6 \end{array}$

Die implizite Gleichung der Geraden lautet daher wie folgt:

$Ax+By+C=0 \ \xrightarrow{A=4 \ ; \ B=6} \ 4x+6y+C=0$

Es reicht daher aus, den Koeffizienten C zu ermitteln. Dazu müssen wir in die Geradengleichung einen Punkt einsetzen, von dem wir wissen, dass er zur Geraden gehört, und die resultierende Gleichung lösen:

$A(4,-1)$

$4x+6y+C=0\ \xrightarrow{x=4 \ ; \ y=-1} \ 4\cdot 4+6\cdot (-1)+C=0$

$16-6+C=0$

$10+C=0$

$C=-10$

Schließlich lautet die implizite, allgemeine oder kartesische Gleichung der Geraden:

$\bm{4x+6y-10=0}$

Übung 5

Finden Sie die implizite Gleichung der Geraden senkrecht zur Geraden

$r$

und was passiert über den Punkt hinweg

$P(2,2).$

$r: \; 3x-2y+4=0$

siehe Lösung

Zwei senkrechte Linien haben zueinander orthogonale Richtungsvektoren, daher müssen wir den Richtungsvektor der Linie ermitteln

$r$

dann ein Vektor, der senkrecht dazu steht.

Die Komponenten des Richtungsvektors der Linie

$r$

Sie können aus den Koeffizienten A und B der allgemeinen Geradengleichung erhalten werden: Die erste Komponente des Vektors entspricht dem Koeffizienten B mit geändertem Vorzeichen und die zweite Komponente des Vektors ist gleich dem Koeffizienten A.

$r: \; 3x-2y+4=0$

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

$\vv{\text{v}}_r=(2,3)$

Wir müssen nun einen senkrechten Vektor finden. Geben Sie dazu einfach die Koordinaten des Vektors ein und ändern Sie das Vorzeichen eines davon:

$\vv{\text{v}}_\perp=(-3,2)$

Dies ist daher der Richtungsvektor der Linie senkrecht zu

$r.$

Und sobald wir den Richtungsvektor der Linie kennen, können wir nun ihre implizite (oder allgemeine oder kartesische) Gleichung aus ihrer Formel bestimmen:

$Ax+By+C=0$

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}_\perp= (-3,2) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=2 \\[2ex] B=3 \end{array}$