Senkrechte oder orthogonale Vektoren

Auf dieser Seite finden Sie alles über senkrechte (oder orthogonale) Vektoren: Was sie sind, wann zwei Vektoren orthogonal sind, wie man einen Vektor senkrecht zu einem anderen findet, die Eigenschaften senkrechter Vektoren, … Außerdem können Sie sehen mehrere Beispiele und gelöste Übungen für senkrechte oder orthogonale Vektoren.

Was sind zwei senkrechte oder orthogonale Vektoren?

In der Mathematik sind zwei Vektoren orthogonal (oder senkrecht ), wenn sie einen rechten Winkel (90°) zueinander bilden.

In der folgenden Grafik sehen Sie zwei senkrechte Vektoren:

wenn man sagt, dass zwei Vektoren senkrecht oder orthogonal sind

Andererseits hängt die Rechtwinkligkeit zweier Vektoren nur von ihrer Richtung ab und nicht von ihrem Modul (oder Betrag) oder natürlich von ihrer Richtung. Das heißt, zwei Vektoren stehen senkrecht zueinander, wenn sie einen Winkel von 90 Grad bilden, unabhängig davon, ob sie gleich lang sind oder nicht.

Woher wissen Sie, ob zwei Vektoren orthogonal oder senkrecht sind?

Wie wir gerade gesehen haben, ist es grafisch sehr einfach zu erkennen, ob zwei Vektoren senkrecht zueinander stehen. Sie können jedoch auch feststellen, ob zwei Vektoren orthogonal sind, ohne sie grafisch darzustellen:

Numerisch gesehen sind zwei Vektoren orthogonal oder senkrecht , wenn ihr Skalarprodukt Null (0) ist.

Wir werden zum Beispiel zeigen, dass die folgenden zwei Vektoren senkrecht zueinander stehen, ohne sie grafisch darzustellen:

$\vv{\text{u}}=(3,2) \qquad\vv{\text{v}}=(-2,3)$

Um zu überprüfen, ob es sich um senkrechte (oder orthogonale) Vektoren handelt, wenden wir die Skalarproduktformel an:

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}&=(3,2)\cdot (-2,3) \\[1.5ex]&=3\cdot (-2) + 2 \cdot 3 \\[1.5ex] & = -6+6 \\[1.5ex] & =\bm{0} \end{aligned}$

Das Ergebnis des Skalarprodukts der beiden Vektoren ist Null, es handelt sich also um zwei zueinander orthogonale (oder senkrechte) Vektoren .

$\vv{\text{u}}\bm{\perp} \vv{\text{v}}$

Beachten Sie, dass zwei Vektoren durch das Symbol als senkrecht angezeigt werden

$\bm{\perp}}.$

Daher ist das Skalarprodukt zwischen zwei senkrechten Vektoren Null. Das Vektorprodukt zweier Vektoren (eine andere Art der Multiplikation zwischen Vektoren) ergibt jedoch das Gegenteil: einen Vektor senkrecht zu den beiden anderen. Daher ist es wichtig zu wissen, wie man die beiden Arten von Operationen unterscheidet. Die Unterschiede zwischen ihnen können Sie an den Eigenschaften des Kreuzprodukts erkennen.

Wie wird ein Vektor senkrecht oder orthogonal zu einem anderen berechnet?

Der einfachste Weg, einen Vektor senkrecht zu einem anderen in der Ebene (im R2) zu berechnen, besteht darin, die beiden Koordinaten des Vektors zu verschachteln und auch das Vorzeichen in Eins zu ändern.

Und um einen Vektor senkrecht zu einem anderen im Raum (in R3) zu erhalten, ist es notwendig, zwei Koordinaten miteinander zu verbinden, dann das Vorzeichen einer von ihnen zu ändern und schließlich die verbleibende Koordinate auf Null zu setzen.

Damit Sie die Unterschiede bei der Berechnung eines orthogonalen Vektors zu einem anderen sehen können, je nachdem, ob sie 2 oder 3 Koordinaten haben, lösen wir eine Übung mit jedem Vektortyp.

Finden Sie einen senkrechten oder orthogonalen Vektor in der kartesischen Ebene

Bestimmen Sie einen Vektor senkrecht zum folgenden zweidimensionalen Vektor:

$\vv{\text{v}}=(4,1)$

Da es sich um einen Vektor mit nur zwei Komponenten handelt, ist es zum Erhalten eines senkrechten Vektors erforderlich, seine Komponenten abzuwechseln und eine davon zu negieren:

$\vv{\mathbf{u}}\bm{=(-1,4)}$

Anhand der Skalarproduktformel können wir verifizieren, dass es sich tatsächlich um senkrechte Vektoren handelt:

$\vv{\text{v}} \cdot \vv{\text{u}}=(4,1)\cdot (-1,4) =0$

$\vv{\text{v}}\bm{\perp} \vv{\text{u}}$

Bestimmen Sie einen senkrechten oder orthogonalen Vektor im kartesischen Raum

Berechnen Sie einen Vektor orthogonal zum folgenden dreidimensionalen Vektor:

$\vv{\text{v}}=(2,3,-1)$

In diesem Fall haben wir einen Vektor mit drei Komponenten. Um also einen senkrechten Vektor zu erhalten, müssen wir zwei seiner Komponenten abwechseln, das Vorzeichen einer davon ändern und die verbleibende Koordinate in Null umwandeln:

$\vv{\mathbf{u}}\bm{=(3,-2,0)}$

Wir können mit der Skalarproduktformel überprüfen, ob es sich tatsächlich um orthogonale Vektoren handelt:

$\vv{\text{v}} \cdot \vv{\text{u}}=(2,3,-1)\cdot (3,-2,0) =0$

$\vv{\text{v}}\bm{\perp} \vv{\text{u}}$

Eigenschaften senkrechter und orthogonaler Vektoren

Senkrechte Vektoren haben die folgenden Eigenschaften:

Symmetrische Beziehung : Wenn ein Vektor senkrecht zu einem anderen Vektor steht, dann steht dieser Vektor auch senkrecht zum ersten Vektor.

$\vv{\text{u}} \bm{\perp} \vv{\text{v}} \ \longrightarrow \ \vv{\text{v}} \bm{\perp} \vv{\text{u}}$

Irreflexive Eigenschaft : Offensichtlich kann kein Vektor senkrecht zu sich selbst stehen.

$\vv{\text{v}} \ \cancel{\bm{\perp}}} \ \vv{\text{v}}$

In der euklidischen Geometrie (im R2) muss jedes Vektorpaar senkrecht zu einem dritten Vektor notwendigerweise parallel sein. Das heißt, wenn ein Vektor senkrecht zu einem anderen Vektor steht und dieser Vektor auch senkrecht zu einem dritten Vektor, sind der erste und der letzte Vektor parallel. Dies ist auf Euklids fünftes Postulat zurückzuführen.

Andererseits sollten Sie auch wissen, dass dank dieser Eigenschaften die Korkenzieherregel verwendet werden kann. Diese Technik erleichtert die Berechnung einer Vektoroperation, deren Lösung ohne diese Regel viel Zeit in Anspruch nehmen würde. Was das ist, können Sie sehen, indem Sie auf die Erklärung der Korkenzieherregel klicken.

Konzepte im Zusammenhang mit senkrechten oder orthogonalen Vektoren

Es gibt zwei Arten von Vektoren, die senkrechten Vektoren sehr nahe kommen: Normalenvektoren und Orthomarle-Vektoren. Obwohl sie alle miteinander verwandt sind, möchten wir klarstellen, wie sie sich unterscheiden, um mögliche Verwirrungen zu vermeiden.

Ein Normalenvektor ist ein Vektor senkrecht zu einer Ebene. Somit kann er auch in den Begriff der Orthogonalität eines Vektors einbezogen werden, in diesem Fall steht er jedoch senkrecht auf einer Ebene und nicht auf einem anderen Vektor.

Andererseits sind zwei Orthonormalvektoren zwei zueinander orthogonale Vektoren, die darüber hinaus Einheitsvektoren (mit der Größe 1) sind.

Abschließend sollte auch beachtet werden, dass es sehr üblich ist, orthogonale Basen (Vektorbasen, die aus zueinander senkrechten Vektoren gebildet werden) und sogar orthonormale Basen zu verwenden. Tatsächlich ist das kartesische Referenzsystem eine orthonormale Basis.

Senkrechte oder orthogonale vektoren