Parallele Vektoren

Auf dieser Seite finden Sie alles über parallele Vektoren: Was sie bedeuten, wenn zwei Vektoren parallel sind, wie man einen Vektor parallel zu einem anderen Vektor findet, die Eigenschaften dieses Vektortyps, … Darüber hinaus können Sie mehrere sehen Beispiele und gelöste parallele Vektorübungen.

Was sind Parallelvektoren?

Parallele Vektoren sind Vektoren, die die gleiche Richtung haben. Mit anderen Worten: Zwei Vektoren sind parallel, wenn sie in zwei parallelen Geraden enthalten sind. Daher bilden zwei parallele Vektoren zwischen sich einen Winkel von 0 oder 180 Grad.

Beispielsweise sind die folgenden drei Vektoren parallel:

Darüber hinaus hängt die Parallelität zweier Vektoren nur von ihrer Richtung ab. Das heißt, zwei Vektoren sind parallel, wenn sie in der Richtung übereinstimmen, unabhängig davon, ob sie die gleiche oder die entgegengesetzte Richtung haben. Und das Gleiche passiert mit dem Modul (oder der Größe): Zwei Vektoren können unterschiedliche Module haben und parallel sein.

Wenn andererseits zwei Vektoren die gleiche, aber entgegengesetzte Richtung haben, werden sie antiparallele Vektoren genannt.

Woher wissen Sie, ob zwei Vektoren parallel sind?

Zwei Vektoren sind parallel, wenn sie proportional sind. Um zu wissen, ob zwei Vektoren parallel sind, müssen wir daher bestimmen, ob ihre jeweiligen Komponenten proportional sind oder nicht.

Wie wir herausfinden können, ob zwei Vektoren parallel sind, werden wir durch zwei verschiedene gelöste Aufgaben sehen, eine mit Vektoren mit 2 Koordinaten und die andere mit Vektoren mit 3 Koordinaten.

Beispiel für Vektoren parallel zur Ebene (im R2)

Bestimmen Sie, ob die folgenden zwei Vektoren parallel sind:

$\vv{\text{u}}=(-2,4) \qquad\vv{\text{v}}=(1,-2)$

Um zu wissen, ob es sich tatsächlich um parallele Vektoren handelt, müssen wir prüfen, ob ihre kartesischen Koordinaten proportional sind:

$\cfrac{-2}{1} = \cfrac{4}{-2} = -2$

Die Division der X-Komponenten und der Y-Komponenten durch sie ergibt das gleiche Ergebnis (-2), sodass die beiden Vektoren proportional und daher auch parallel sind.

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}}$

Beachten Sie, dass in der Mathematik die Parallelität zweier geometrischer Elemente durch zwei vertikale Balken (II) angezeigt wird.

Beispiel für parallele Vektoren im Raum (in R3)

Finden Sie heraus, ob die Parallelitätsbedingung in den folgenden zwei Vektoren erfüllt ist:

$\vv{\text{u}}=(1,3,-2) \qquad\vv{\text{v}}=(2,6,4)$

Um festzustellen, ob es sich tatsächlich um parallele Vektoren handelt, müssen wir prüfen, ob die Koordinaten der Vektoren proportional sind:

$\cfrac{1}{2} = \cfrac{3}{6} = 0,5 \neq \cfrac{-2}{4} = -0,5$

Die X-Komponenten und Y-Komponenten der Vektoren sind proportional zueinander, da wir bei der Division das gleiche Ergebnis erhalten, andererseits sind sie nicht proportional zur Z-Komponente. Daher sind die Vektoren nicht zu allen proportional und daher nicht parallel .

$\vv{\text{u}} \ \cancel{\parallel} \ \vv{\text{v}}$

Wie berechnet man einen Parallelvektor?

Um einen Vektor parallel zu einem anderen Vektor zu finden, multiplizieren Sie ihn einfach mit einem Skalar (einer reellen Zahl) ungleich Null (0). Es gibt also unendlich viele Vektoren parallel zueinander, da der Vektor mit unendlich vielen Zahlen multipliziert werden kann.

Wir berechnen beispielsweise mehrere parallele Vektoren des folgenden Vektors:

$\vv{\text{v}}=(2,4)$

Das Ergebnis aller folgenden Produkte sind Vektoren parallel zum vorherigen Vektor:

$2\vv{\text{v}}=(4,8)$

$3\vv{\text{v}}=(6,12)$

$-1\vv{\text{v}}=(-2,-4)$

$\displaystyle \frac{1}{2}\vv{\text{v}}=(1,2)$

Eigenschaften paralleler Vektoren

Parallele Vektoren haben die folgenden Eigenschaften:

Reflexive Eigenschaft : Jeder Vektor ist parallel zu sich selbst.

$\vv{\text{v}} \parallel \vv{\text{v}}$

Symmetrische Eigenschaft : Wenn ein Vektor parallel zu einem anderen ist, ist dieser Vektor auch parallel zum ersten. Diese Eigenschaft besitzen auch senkrechte Vektoren .

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \ \longrightarrow \ \vv{\text{v}} \parallel \vv{\text{u}}$

Transitive Eigenschaft : Wenn ein Vektor parallel zu einem anderen Vektor ist und dieser zweite Vektor parallel zu einem dritten Vektor, ist der erste Vektor auch parallel zum dritten Vektor.

$\left. \begin{array}{c} \vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \\[2ex] \vv{\text{v}} \parallel \vv{\text{w}} \end{array} \right\} \longrightarrow \ \vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{w}}$

Das Skalarprodukt zweier paralleler Vektoren ist gleich dem Produkt ihrer Moduli. Sie können in den Skalarprodukteigenschaften überprüfen, warum dies geschieht.

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \ \longrightarrow \ \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}= \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert$

Zwei parallele Vektoren sind immer linear abhängig. Dieses Konzept ist sehr wichtig. Wenn Sie es also nicht kennen, können Sie sich auf zwei linear abhängige Vektoren beziehen.

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \ \longrightarrow \ LD$