Was ist kovarianz?

Kovarianz ist ein statistisches Maß, das Ihnen hilft zu verstehen , wie sich zwei Variablen gemeinsam verändern . Stellen Sie sich vor, Sie haben zwei Variablen, beispielsweise Temperatur und Eiscremeverbrauch. Wenn mit steigender Temperatur auch der Eiskonsum zunimmt, weisen die Variablen eine positive Kovarianz auf. Wenn hingegen bei steigender Temperatur der Eiskonsum abnimmt, dann liegt eine negative Kovarianz vor.

Kovarianz sagt Ihnen , ob Variablen dazu neigen, sich in die gleiche Richtung (positiv) oder in entgegengesetzte Richtungen (negativ) zu ändern . Wenn es kein klares Muster dafür gibt, wie sie sich gemeinsam verändern, liegt die Kovarianz nahe bei Null, was bedeutet, dass zwischen den Variablen keine starke lineare Beziehung besteht.

Wie wird die Kovarianz berechnet?

Um die Kovarianz zwischen zwei Variablen zu berechnen, benötigen Sie einen Datensatz, der die Werte beider Variablen enthält . Befolgen Sie dann diese Schritte:

1. Finden Sie den Mittelwert (Durchschnitt) jeder Variablen. Addieren Sie alle Werte jeder Variablen und dividieren Sie das Ergebnis durch die Gesamtzahl der Datenpunkte. Dadurch erhalten Sie den Durchschnitt jeder Variablen.
2. Subtrahieren Sie den Mittelwert jeder Variablen von jedem entsprechenden Wert. Dieser Schritt besteht darin, den Durchschnitt der Variablen X von jedem Wert von X zu subtrahieren und das Gleiche für die Variable Y zu tun.
3. Multiplizieren Sie die Ergebnisse aus dem vorherigen Schritt. Multiplizieren Sie für jeden im vorherigen Schritt subtrahierten Wert das entsprechende Ergebnis der anderen subtrahierten Variablen.
4. Fügen Sie die Produkte aus dem vorherigen Schritt hinzu. Addieren Sie alle im vorherigen Schritt erhaltenen Produkte, um einen Gesamtwert zu erhalten.
5. Teilen Sie den im vorherigen Schritt erhaltenen Wert durch die Gesamtzahl der Daten. Dieser Wert ist die Kovarianz zwischen den beiden Variablen.

Denken Sie daran, dass die Kovarianz positiv, negativ oder nahe Null sein kann. Eine positive Kovarianz bedeutet, dass sich die Variablen tendenziell in die gleiche Richtung bewegen. Andererseits bedeutet eine negative Kovarianz, dass sich die Variablen tendenziell in entgegengesetzte Richtungen ändern. Schließlich weist eine Kovarianz nahe Null darauf hin, dass es kein klares Muster dafür gibt, wie sie sich gemeinsam verändern.

Sehen wir uns zum besseren Verständnis ein Beispiel an

Stellen wir uns vor, dass wir zwei Variablen haben, „Studienstunden“ (X) und „Prüfungsnote“ (Y), und dass wir die folgenden Daten für eine Gruppe von 5 Studenten haben:

Lernstunden (X): 4, 6, 3, 7, 5.

Testergebnis (Y): 85, 90, 80, 95, 88.

Schritt 1: Berechnen Sie den Durchschnitt jeder Variablen

Durchschnitt von X: (4 + 6 + 3 + 7 + 5) ÷ 5 = 5

Durchschnitt von Y: (85 + 90 + 80 + 95 + 88) ÷ 5 = 86

Schritt 2 : Subtrahieren Sie den Mittelwert jeder Variablen von jedem entsprechenden Wert

X – Durchschnitt von X: -1, 1, -2, 2, 0

Y – Durchschnitt von Y: -1, 4, -6, 9, 2

Schritt 3 : Multiplizieren Sie die im vorherigen Schritt erhaltenen Ergebnisse

(-1) · (-1) = 1

1 4 = 4

(-2) · (-6) = 12

2 9 = 18

0 2 = 0

Schritt 4 : Fügen Sie die im vorherigen Schritt erhaltenen Produkte hinzu

1 + 4 + 12 + 18 + 0 = 35

Schritt 5: Teilen Sie den im vorherigen Schritt erhaltenen Wert durch die Gesamtzahl der Daten

35 ÷ 5 = 7

Dann beträgt die Kovarianz zwischen den Variablen „Studienstunden“ und „Prüfungsnote“ 7.

Was ist der Unterschied zwischen Varianz und Kovarianz?

Varianz ist ein Maß, das diestatistische Streuung oder Variabilität eines Datensatzes angibt. Er wird als Durchschnitt der Quadrate der Abweichungen einzelner Werte vom Mittelwert berechnet. Eine hohe Varianz bedeutet , dass die Daten weit auseinander liegen oder vom Mittelwert abweichen , während eine niedrige Varianz bedeutet, dass die Daten näher am Mittelwert liegen.

Andererseits ist Kovarianz ein Maß, das angibt , wie sich zwei Variablen gemeinsam bewegen . Es ist ein Maß für die gemeinsame Variation zweier Variablen. Wenn die Kovarianz positiv ist, bedeutet dies, dass die beiden Variablen tendenziell gemeinsam zunehmen oder abnehmen. Wenn die Kovarianz negativ ist, bedeutet dies, dass eine Variable tendenziell zunimmt, wenn die andere abnimmt. Eine Kovarianz nahe Null weist darauf hin, dass zwischen den Variablen kein starker linearer Zusammenhang besteht.

Kurz gesagt: Varianz misst die Variabilität eines Datensatzes selbst, während Kovarianz die gemeinsame Variationsbeziehung zwischen zwei Variablen misst.

Wie wichtig ist Kovarianz?

Kovarianz ist aus mehreren Gründen ein wichtiges Maß in der Statistik und Datenanalyse. Im Allgemeinen wird es verwendet, um die Stärke und Richtung der Beziehung zwischen zwei Variablen zu beurteilen. Ein Kovarianzwert nahe Null weist auf eine schwache oder keine Beziehung hin, während ein hoher Wert auf eine starke Beziehung zwischen den Variablen hinweist.

Andererseits ist es erwähnenswert, dass es ein nützliches Werkzeug für die Datenmodellierung und -vorhersage ist. Es kann in fortgeschrittenen Datenanalysetechniken wie der linearen Regression und der Zeitreihenanalyse verwendet werden, um zu verstehen, wie sich Änderungen einer Variablen auf eine andere Variable auswirken können.

Auch im finanziellen Risikomanagement ist es von großer Bedeutung. Es ermöglicht die Bewertung des Zusammenwirkens zweier finanzieller Vermögenswerte, was für die Diversifizierung von Anlageportfolios und für die Bewertung von Risiko und Rendite verschiedener Vermögenswerte von grundlegender Bedeutung ist.

Was sind die Hauptanwendungen der Kovarianz?

Kovarianz ist ein wichtiges Werkzeug in der Datenanalyse und hat mehrere Verwendungsmöglichkeiten. Eine der Hauptanwendungen der Kovarianz liegt in der Statistik und Ökonometrie . Es wird verwendet, um die gemeinsame Variationsbeziehung zwischen zwei Variablen zu messen, was uns helfen kann, zu verstehen, wie sie sich gemeinsam ändern.

Im Finanzwesen wird Kovarianz verwendet, um den Zusammenhang zwischen den Renditen verschiedener Finanzanlagen wie Aktien, Anleihen oder Immobilien zu beurteilen . Es hilft Anlegern zu verstehen, wie Vermögenswerte zusammenarbeiten und wie Anlagen zur Risikosteuerung diversifiziert werden können.

In der Risikoanalyse und im Portfoliomanagement wird Kovarianz verwendet, um die Risikodiversifikation zu berechnen , also wie die Renditen verschiedener Vermögenswerte korrelieren. Eine geringe Kovarianz zwischen zwei Vermögenswerten weist darauf hin, dass es weniger wahrscheinlich ist, dass sie sich in die gleiche Richtung bewegen, was sich positiv auf die Reduzierung des Portfoliorisikos auswirken kann.

Darüber hinaus wird Kovarianz auch in Bereichen wie Umweltwissenschaften, Biologie, Psychologie und Ingenieurwesen eingesetzt, wo Beziehungen zwischen verschiedenen Variablen untersucht werden, um deren Verhalten zu verstehen und Vorhersagen zu treffen.

Es ist wichtig zu beachten, dass die Kovarianz einige Einschränkungen aufweist, z. B. dass sie kein standardisiertes Maß ist und nichtlineare Beziehungen zwischen Variablen nicht erfasst . Es bleibt jedoch ein wertvolles Werkzeug in der Datenanalyse, um zu verstehen, wie sich zwei Variablen gemeinsam entwickeln und in welcher gemeinsamen Variationsbeziehung sie zueinander stehen.

Kovarianzeigenschaften

Schauen wir uns im Folgenden einige der wichtigsten Eigenschaften der Kovarianz an:

• Die Kovarianz zwischen zwei Variablen kann positiv sein , was darauf hinweist, dass sie sich tendenziell in die gleiche Richtung bewegen. Wenn die Kovarianz hingegen negativ ist, bedeutet dies, dass sie dazu neigen, sich in entgegengesetzte Richtungen zu bewegen. Wenn die Kovarianz Null ist, besteht kein linearer Zusammenhang zwischen den Variablen.
• Im Gegensatz zur Korrelation ist die Kovarianz nicht auf einen bestimmten Bereich beschränkt und verfügt nicht über standardisierte Maßeinheiten . Dies kann den Vergleich von Kovarianzen verschiedener Skalen oder Einheiten erschweren.
• Das Vorhandensein extremer oder Ausreißerwerte in den Daten kann einen erheblichen Einfluss auf die Kovarianz haben. Dies kann zu einer hohen oder niedrigen Kovarianz führen, selbst wenn die Beziehung zwischen den Variablen nicht stark ist .
• Die Kovarianz zwischen zwei Variablen ist symmetrisch , was bedeutet, dass die Kovarianz von X in Bezug auf Y gleich der Kovarianz von Y in Bezug auf X ist. Tatsächlich basiert die Kovarianz auf der gemeinsamen Variation der beiden Variablen.
• Es ist wichtig zu beachten, dass Kovarianz nicht unbedingt einen kausalen Zusammenhang zwischen Variablen impliziert . Es zeigt lediglich die Richtung und das Ausmaß der gemeinsamen Variation zwischen Variablen an, stellt jedoch keinen direkten Kausalzusammenhang her.

Kovarianzbeispiel

Wie wir bereits wissen, wird alles klarer, wenn wir Beispiele verwenden. Daher werden wir dieses einfache Kovarianzbeispiel zum besseren Verständnis analysieren.

Betrachten Sie zwei neue Variablen, A und B, mit den folgenden Daten:

A = (a1, a2, a3) = (2, 5, 7)

B = (b1, b2, b3) = (6, 3, 1)

Zunächst berechnen wir das arithmetische Mittel jeder der Variablen:

A‘ = (2 + 5 + 7) ÷ 3 = 4,67

B‘ = (6 + 3 + 1) ÷ 3 = 3,33

Nachdem wir das arithmetische Mittel berechnet haben, fahren wir mit der Berechnung der Kovarianz fort:

Cov(A, B) = (2 – 4,67) · (6 – 3,33) + (5 – 4,67) · (3 – 3,33) + (7 – 4,67) · (1 – 3,33) ÷ 3 = -2,33

In diesem Fall ist der Kovarianzwert negativ. Dies weist darauf hin, dass zwischen den Variablen A und B eine negative Beziehung besteht, d. h. wenn eine Variable zunimmt, nimmt die andere tendenziell ab. Um die Beziehung zwischen A und B besser zu verstehen, ist es jedoch notwendig, die lineare Korrelation zu berechnen .

Es ist auch wichtig zu berücksichtigen, dass die Kovarianzen der verschiedenen Variablen nicht vergleichbar sind , da die Maßeinheit der Kovarianz dieselbe ist wie die der betreffenden Variablen. Daher können Sie beispielsweise die Kovarianz von Variablen wie Einkommen und Alter aufgrund ihrer unterschiedlichen Maßeinheiten nicht vergleichen.