Irrationale Zahlen sind eine etwas komplexe Zahlenmenge. Diese Zahlen bieten endlose Möglichkeiten für mathematische Studien. Und in diesem Artikel erklären wir Ihnen die wichtigsten Funktionen, damit Sie verstehen, wie sie funktionieren und wie sie verwendet werden. Beginnen wir jedoch damit, sie zu definieren.
Was sind irrationale Zahlen?
Irrationale Zahlen sind solche, die nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden können. Das bedeutet, dass die Zahl nicht in gleiche Teile geteilt werden kann. Nun, sie haben unendlich viele nichtperiodische Dezimalstellen (die zufällig erscheinen). Sie werden oft durch den Buchstaben θ (Theta) oder den Buchstaben I (Großbuchstabe) dargestellt.
Teilmengen der Menge der irrationalen Zahlen
Die Menge der irrationalen Zahlen ist eine Teilmenge der reellen Menge , die je nach Herkunft dieser Zahlen wiederum in zwei niedrigere Kategorien zerlegt werden kann:
- Algebraische Irrationale: Sie sind die Lösung einer algebraischen Gleichung.
- Transzendental: Sie stammen aus transzendentalen Funktionen (trigonometrisch, logarithmisch, exponentiell usw.).
Beispiele für irrationale Zahlen
Einige Beispiele für irrationale Zahlen sind die Zahl pi (π), die Eulersche Zahl , die Quadratwurzel aus 2, die Quadratwurzel aus 5 und viele andere. Tatsächlich sind viele dieser Zahlen mathematische Konstanten oder Wurzeln bestimmter Zahlen. Hier ist eine Liste von fünf weiteren Beispielen für irrationale Zahlen:
- Quadratwurzel aus 3 ( √3 )
- Quadratwurzel von 93 ( √93 )
- Quadratwurzel von 123 ( √123 )
- Quadratwurzel von 189 ( √189 )
- Goldener Schnitt (Φ)
Eigenschaften irrationaler Zahlen
Irrationale Zahlen haben mehrere unterschiedliche Eigenschaften. Erstens sind sie unzählbar, das heißt, sie können nicht aufgezählt werden. Tatsächlich nehmen irrationale Zahlen eine viel höhere Punktdichte im Raum ein als die Punktdichte rationaler Zahlen. Im Grunde, weil sie unendlich viele haben.
Zweitens sind irrationale Zahlen nicht periodisch. Dies bedeutet, dass es keine sich unendlich wiederholende Zahlenfolge in ihrer dezimalen Darstellung gibt. Pi ist ein gutes Beispiel: Seine Dezimalstellen folgen keinem Muster und wirken zufällig.
Schließlich sind irrationale Zahlen dicht. Das bedeutet, dass es zwischen zwei gegebenen Zahlen unendlich viele irrationale Zahlen gibt. Dieses Merkmal tritt auf, weil die Intervalle zwischen den Werten zu klein sind, um messbar zu sein, sodass es den Anschein hat, dass die Menge der irrationalen Zahlen stetig ist .
Darstellung irrationaler Zahlen
Die Darstellung irrationaler Zahlen ist sehr einfach. Es handelt sich um eine Zahl, die nicht als Bruch ausgedrückt werden kann und daher nicht in der üblichen Divisionsform dargestellt werden kann. Stattdessen wird sie als Dezimalzahl dargestellt, die weder endet noch ein Muster aufweist. Beispielsweise ist die Zahl Pi (3,14159…) eine irrationale Zahl.
Andererseits können sie auch auf dem Zahlenstrahl dargestellt werden, allerdings ist es recht komplex, diese Menge auf dem Zahlenstrahl zu lokalisieren. Dies liegt daran, dass sie unendlich viele Dezimalstellen haben und es daher praktisch unmöglich ist, sie genau zu lokalisieren.
Mathematische Anwendungen von Irrationalen
Irrationale Zahlen haben in der Mathematik viele Anwendungen . Sie sind beispielsweise in der Geometrie hervorragend anwendbar: Sie werden zur Berechnung von Flächen, Umfängen geometrischer Figuren, Kurvenlängen und Volumina dreidimensionaler Körper verwendet. Sie werden auch in statistischen Berechnungen und in der mathematischen Analyse verwendet.
Darüber hinaus gibt es viele mathematische Konstanten, die zur irrationalen Menge gehören und unendlich viele Anwendungsmöglichkeiten haben. Zusammenfassend können wir also sagen, dass es etwas komplex, aber sehr nützlich ist .