So berechnen sie die determinante einer 4×4-matrix durch komplemente oder cofaktoren

Auf dieser Seite erfahren Sie, wie Sie eine Determinante durch Additionen oder Cofaktoren lösen und wie Sie die Determinante einer Matrix der Dimension 4×4 berechnen . Um jedoch die Determinante einer Matrix der Ordnung 4 zu lösen, müssen Sie zunächst wissen, wie man eine Determinante mithilfe der Adjungierten einer Zeile oder Spalte berechnet. Wir werden daher zunächst sehen, wie man eine Determinante durch Adjungierte oder Cofaktoren findet, und dann, wie man eine Determinante der Ordnung 4 erstellt .

Wie berechnet man eine Determinante durch Additionen oder Cofaktoren?

Eine Determinante kann berechnet werden, indem die Produkte der Elemente in einer beliebigen Zeile oder Spalte mit ihren jeweiligen Komplementen (oder Cofaktoren) addiert werden.

Diese Methode nennt man Lösen einer Determinante durch Adjungierte oder Kofaktoren, oder es gibt sogar Mathematiker, die Ihnen auch die Laplace-Regel (oder den Satz von Laplace) nennen.

Beispiel für die Lösung einer Determinante durch Stellvertreter:

Sehen wir uns ein praktisches Beispiel für die Lösung der Determinante einer 3 × 3-Matrix durch Adjungierte an. Machen wir die folgende Determinante:

\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & 5 \\[1.1ex] 3 & 7 & -4 \end{vmatrix}

Zuerst müssen wir eine Spalte oder Zeile der Determinante auswählen. In diesem Fall wählen wir die erste Spalte , da diese eine 0 hat und daher einfacher zu lösen ist.

Wir müssen nun die Elemente der ersten Spalte mit ihren jeweiligen Stellvertretern multiplizieren :

\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & 5 \\[1.1ex] 3 & 7 & -4 \end{vmatrix} \displaystyle = 2\bm{\cdot} \text{Adj(2)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 3 \bm{\cdot} \text{Adj(3)}

Das Komplement von 0 muss nicht berechnet werden, da es durch Multiplikation mit 0 aufgehoben wird. Wir können daher vereinfachen:

\displaystyle = 2\bm{\cdot} \text{Adj(2)} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + 3 \bm{\cdot} \text{Adj(3)}

\displaystyle = 2\bm{\cdot} \text{Adj(2)} + 3 \bm{\cdot} \text{Adj(3)}

Wir gehen nun zur Berechnung der Komplemente über:

\displaystyle = 2\cdot (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} -2 & 5 \\[1.1ex] 7 & -4 \end{vmatrix} + 3 \cdot (-1)^{3+1} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] -2 & 5 \end{vmatrix}

Denken Sie daran, den Stellvertreter von zu berechnen

a_{ij}

, also Werbebuchung

i

und die Säule

j

, ist folgende Formel anzuwenden:

\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}

wobei das komplementäre Nebenfach von

a_{ij}

ist die Determinante der Matrix durch Entfernen der Zeile

i

und die Säule

j

.

Wir lösen die Potenzen und Determinanten:

= 2 \cdot 1 \cdot (8-35) + 3 \cdot 1 \cdot \bigl(15-(-2)\bigr)

= 2 \cdot 1 \cdot (-27) + 3 \cdot 1 \cdot 17

Und wir operieren mit dem Taschenrechner:

= -54 + 51

= \bm{-3}

Daher ist das Ergebnis der Determinante -3.

Beachten Sie, dass wir das gleiche Ergebnis erhalten, wenn wir die Determinante mit der Sarrus-Regel berechnen:

\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & 5 \\[1.1ex] 3 & 7 & -4 \end{vmatrix} & = 2 \cdot (-2) \cdot (-4) + 3 \cdot 5 \cdot 3 + 0 \cdot 7 \cdot 1 - 3 \cdot (-2) \cdot 1 - 7 \cdot 5 \cdot 2- 0 \cdot 3 \cdot (-4) \\ & = 16 +45 + 0 +6 - 70 -0 \\[2ex] & = \bm{-3} \end{aligned}

Sobald wir wissen, wie eine Determinante durch Stellvertreter berechnet wird, können wir nun sehen, wie man das Ergebnis einer Determinante der Ordnung 4 findet:

Wie berechnet man eine 4×4-Determinante?

Um die Determinante einer Matrix der Ordnung 4 zu lösen, müssen wir das Verfahren anwenden, das wir gerade für die Stellvertreter gesehen haben. Das heißt, wir wählen eine beliebige Zeile oder Spalte aus und addieren die Produkte ihrer Elemente durch ihre jeweiligen Komplemente.

Allerdings müssen bei diesem Verfahren mit einer 4×4-Determinante viele 3×3-Determinanten berechnet werden, was in der Regel sehr lange dauert. Daher werden vor der Berechnung der Adjungierten Transformationen an den Linien durchgeführt , ähnlich der Gaußschen Methode. Da eine Reihe einer Determinante durch die Summe derselben Reihe plus einer anderen Reihe multipliziert mit einer Zahl ersetzt werden kann.

Um eine Determinante der Ordnung 4 nach Stellvertretern zu berechnen, muss man daher die Spalte auswählen, die die meisten Nullen enthält , da dies die Berechnungen erleichtert. Und dann führen wir interne Operationen an den Zeilen durch, sodass alle Elemente in der Spalte bis auf eines null sind.

Sehen wir uns anhand eines Beispiels an, wie eine 4×4-Determinante erstellt wird:

Beispiel für die Lösung einer 4×4-Determinante:

Wir werden diese Determinante der folgenden quadratischen 4×4-Matrix lösen:

\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] -1 & -1 & 3 & 2 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & -3 & 2 \end{vmatrix}

In diesem Fall ist die Spalte mit den meisten Nullen die erste Spalte. Daher wählen wir die erste Spalte.

Und wir machen uns die Tatsache zunutze, dass in dieser Spalte eine 1 steht, und konvertieren alle anderen Elemente der ersten Spalte in 0. Da es einfacher ist, Berechnungen mit der Zeile durchzuführen, die eine 1 hat.

Um alle anderen Elemente in der Spalte in 0 umzuwandeln, addieren wir daher die erste Zeile zur zweiten Zeile und subtrahieren die erste Zeile multipliziert mit 2 von der vierten Zeile . Die dritte Zeile muss nicht geändert werden, da sie in der ersten Spalte bereits eine 0 enthält.

\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] -1 & -1 & 3 & 2 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & -3 & 2 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_2 + f_1} \\[1.1ex] \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 - 2f_1} \end{matrix} \begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] 0 & 3 & 5 & 3 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 0 & -7 & -7 & 0 \end{vmatrix}

Sobald wir alle bis auf ein Element in der gewählten Spalte auf 0 konvertiert haben, berechnen wir die Determinante durch Stellvertreter. Das heißt , wir addieren die Produkte der Elemente der Spalte durch ihre jeweiligen Stellvertreter:

\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] 0 & 3 & 5 & 3 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 0 & -7 & -7 & 0 \end{vmatrix} \displaystyle = 1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}

Mit 0 multiplizierte Begriffe heben sich auf, daher vereinfachen wir sie:

=1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}

=1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}

=\text{Adj(1)}

Es reicht also aus, den Adjungierten von 1 zu berechnen:

\displaystyle = (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 5 & 3 \\[1.1ex] 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] -7 & -7 & 0 \end{vmatrix}

Wir berechnen die Determinante mit der Sarrus-Regel und der Potenz:

\inlinestyle = 1 \cdot \bigl[ 3 \cdot 7 \cdot 0 + 5 \cdot (-4) \cdot (-7) + 5 \cdot (-7) \cdot 3 - (-7)\cdot 7 \cdot 3 - (-7) \cdot (-4) \cdot 3 - 5 \cdot 5 \cdot 0 \bigr]

=3 \cdot 7 \cdot 0 + 5 \cdot (-4) \cdot (-7) + 5 \cdot (-7) \cdot 3 - (-7)\cdot 7 \cdot 3 - (-7) \cdot (-4) \cdot 3 - 5 \cdot 5 \cdot 0

Und schließlich lösen wir die Operationen mit dem Taschenrechner:

\displaystyle =0+140-105 +147 - 84 - 0

\displaystyle =\bm{98}

Gelöste Übungen zu 4×4-Determinanten

Übung 1

Lösen Sie die folgende Determinante der Ordnung 4:

\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}

Das Ergebnis der 4×4-Determinante ermitteln wir mit der Cofaktor-Methode. Aber zuerst führen wir Operationen mit den Zeilen durch, um alle Elemente einer Spalte bis auf eines auf Null zu setzen:

\begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex] \\[1.1ex] \xrightarrow{f_3 + f_2} \\[1.1ex] \ \end{matrix} \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}

Und nun lösen wir die Determinante 4×4 durch Adjunktionen mit der letzten Spalte:

\begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}

Wir vereinfachen die Begriffe:

= \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}

= \text{Adj(1)}

Wir berechnen den Adjungierten von 1:

\displaystyle = (-1)^{2+4} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex]4 & 1 & 2 \end{vmatrix}

Und schließlich berechnen wir die 3×3-Determinante mit der Sarrus-Regel:

\displaystyle = (-1)^{6} \cdot \bigl[16+24-2+16-4-12 \bigr]

\displaystyle = 1 \cdot \bigl[38 \bigr]

\displaystyle = \bm{38}

Übung 2

Berechnen Sie die folgende Determinante der Ordnung 4:

\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 5 & -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}

Wir berechnen die 4×4-Determinante anhand von Cofaktoren. Dazu führen wir jedoch zunächst Operationen mit den Zeilen durch, um alle Elemente einer Spalte bis auf eines auf Null zu setzen:

\begin{vmatrix} 1 & 3 & -2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 5 & -1 & 3 & 1 \end{vmatrix} \begin{matrix} \xrightarrow{f_1 - 3f_3} \\[1.1ex] \\[1.1ex] \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 + f_3} \end{matrix} \begin{vmatrix}-2 & 0 & -8 & -7 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 6 & 0 & 5 & 4 \end{vmatrix}

Nun lösen wir die Determinante 4×4 durch Adjunktionen mit der zweiten Spalte:

\begin{vmatrix} -2 & 0 & -8 & -7 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 6 & 0 & 5 & 4\end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+ 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}

Wir vereinfachen die Begriffe:

= \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}

= \text{Adj(1)}

Wir berechnen den Adjungierten von 1:

\displaystyle = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix}-2 & -8 & -7 \\[1.1ex] 2 & 1 & 4 \\[1.1ex] 6 & 5 & 4\end{vmatrix}

Und schließlich berechnen wir die 3×3-Determinante mit der Sarrus-Regel und dem Taschenrechner:

\displaystyle = (-1)^{5} \cdot \bigl[-8-192-70+42+40+64 \bigr]

\displaystyle = -1 \cdot \bigl[-124 \bigr]

\displaystyle = \bm{124}

Übung 3

Finden Sie das Ergebnis der folgenden Determinante der Ordnung 4:

\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 & 5 \end{pmatrix}

Wir werden die 4×4-Determinante durch Stellvertreter lösen. Obwohl wir zunächst Operationen mit den Zeilen durchführen, um alle bis auf ein Element in einer Spalte in Null umzuwandeln:

\begin{vmatrix}2 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 & 5 \end{vmatrix} \begin{matrix} \xrightarrow{f_1 + f_2} \\[1.1ex] \\[1.1ex]\xrightarrow{f_3 - f_2} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 + 4f_2} \end{matrix} \begin{vmatrix}6 & 1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -5 & -1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 19 & 10 & 0 & -3 \end{vmatrix}

Jetzt lösen wir die Determinante 4×4 durch Stellvertreter mit der dritten Spalte:

\begin{vmatrix}6 & 1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -5 & -1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 19 & 10 & 0 & -3 \end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}+ 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}

Wir vereinfachen die Begriffe:

= \cancel{0\bm{\cdot}+ \text{Adj(0)}} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}

= \text{Adj(1)}

Wir berechnen den Adjungierten von 1:

\displaystyle = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix}6 & 1 & 1 \\[1.1ex] -5 & -1 & 1 \\[1.1ex] 19 & 10 & -3\end{vmatrix}

Und schließlich lösen wir die 3×3-Determinante mit der Sarrus-Regel und dem Taschenrechner:

\displaystyle = (-1)^{5} \cdot \bigl[18+19-50+19-60-15\bigr]

\displaystyle = -1 \cdot \bigl[-69 \bigr]

\displaystyle = \bm{69}

Übung 4

Berechnen Sie das Ergebnis der folgenden Determinante der Ordnung 4:

\displaystyle \begin{pmatrix} 3 & 4 & -2 & -1 \\[1.1ex] 2 & -2 & 5 & -5 \\[1.1ex] -3 & 5 & 2 & 6 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3 \end{pmatrix}

Wir werden die Determinante 4×4 mithilfe der Laplace-Regel lösen. Sie müssen jedoch zunächst Operationen mit den Zeilen durchführen, um alle Elemente in einer Spalte bis auf eines auf Null zu setzen:

\begin{vmatrix}3 & 4 & -2 & -1 \\[1.1ex] 2 & -2 & 5 & -5 \\[1.1ex] -3 & 5 & 2 & 6 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3\end{vmatrix} \begin{matrix} \xrightarrow{f_1 + 3f_4} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_2 +2f_4} \\[1.1ex]\xrightarrow{f_3 - 3f_4} \\[1.1ex] \ \end{matrix} \begin{vmatrix}0 & -2 & -5 & 8 \\[1.1ex]0 & -6 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & 11 & 5 & -3 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3\end{vmatrix}

Nun lösen wir durch Stellvertreter die Determinante 4×4 mit der ersten Spalte:

\begin{vmatrix}0 & -2 & -5 & 8 \\[1.1ex]0 & -6 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & 11 & 5 & -3 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}-1\bm{\cdot} \text{Adj(-1)}

Wir vereinfachen die Begriffe:

= \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}-1\bm{\cdot} \text{Adj(-1)}

=- \text{Adj(-1)}

Wir berechnen den Adjungierten von -1:

\displaystyle =- (-1)^{4+1} \begin{vmatrix} -2 & -5 & 8 \\[1.1ex]-6 & 3 & 1 \\[1.1ex] 11 & 5 & -3 \end{vmatrix}

Und schließlich lösen wir die 3×3-Determinante mit der Sarrus-Regel und dem Taschenrechner:

\displaystyle = -(-1)^{5} \cdot \bigl[18-55-240-264+10+90\bigr]

\displaystyle = -(-1) \cdot \bigl[-441 \bigr]

\displaystyle = - \bigl[+441 \bigr]

\displaystyle = \bm{-441}

Mit all dieser Übung wissen Sie wahrscheinlich bereits, wie man 4×4-Determinanten löst. Fantastisch! Wir hoffen, dass Sie mit all diesen Übungen nun in der Lage sein werden, den Bereich einer Matrix der Dimension 4×4 zu berechnen, die so viele Menschen kostet.

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