La covariance est une mesure statistique qui vous aide à comprendre comment deux variables changent ensemble . Imaginez que vous ayez deux variables, telles que la température et la consommation de crème glacée. Si lorsque la température augmente, la consommation de crème glacée augmente également, alors les variables ont une covariance positive. Si, au contraire, lorsque la température augmente, la consommation de crème glacée diminue, alors elles ont une covariance négative.
La covariance vous indique si les variables ont tendance à changer dans le même sens (positif) ou dans des sens opposés (négatifs). S’il n’y a pas de modèle clair dans la façon dont ils changent ensemble, alors la covariance sera proche de zéro, ce qui signifie qu’il n’y a pas de relation linéaire forte entre les variables.
Comment la covariance est-elle calculée ?
Pour calculer la covariance entre deux variables, vous devez disposer d’un ensemble de données qui comprend les valeurs des deux variables . Suivez ensuite ces étapes :
- Trouvez la moyenne (moyenne) de chaque variable. Additionnez toutes les valeurs de chaque variable et divisez le résultat par le nombre total de données. Cela vous donnera la moyenne de chaque variable.
- Soustrayez la moyenne de chaque variable de chaque valeur correspondante. Cette étape consiste à soustraire la moyenne de la variable X de chaque valeur de X et à faire de même pour la variable Y.
- Multipliez les résultats de l’étape précédente. Pour chaque valeur soustraite à l’étape précédente, multipliez le résultat correspondant de l’autre variable soustraite.
- Ajoutez les produits de l’étape précédente. Additionnez tous les produits obtenus à l’étape précédente pour obtenir une valeur totale.
- Divisez la valeur obtenue à l’étape précédente par le nombre total de données. Cette valeur est la covariance entre les deux variables.
N’oubliez pas que la covariance peut être positive, négative ou proche de zéro. Une covariance positive indique que les variables ont tendance à évoluer dans le même sens. D’autre part, une covariance négative indique que les variables ont tendance à changer dans des directions opposées. Enfin, une covariance proche de zéro indique qu’il n’y a pas de modèle clair dans la façon dont ils changent ensemble.
Voyons un exemple pour mieux comprendre
Imaginons que nous ayons deux variables, “heures d’étude” (X) et “note d’examen” (Y), et que nous ayons les données suivantes pour un groupe de 5 étudiants :
Heures d’étude (X): 4, 6, 3, 7, 5.
Résultat du test (Y) : 85, 90, 80, 95, 88.
Étape 1 : Calculer la moyenne de chaque variable
Moyenne de X : (4 + 6 + 3 + 7 + 5) ÷ 5 = 5
Moyenne de Y : (85 + 90 + 80 + 95 + 88) ÷ 5 = 86
Etape 2 : Soustraire la moyenne de chaque variable de chaque valeur correspondante
X – Moyenne de X : -1, 1, -2, 2, 0
Y – Moyenne de Y : -1, 4, -6, 9, 2
Etape 3 : Multipliez les résultats obtenus à l’étape précédente
(-1) · (-1) = 1
1 4 = 4
(-2) · (-6) = 12
2 9 = 18
0 2 = 0
Etape 4 : Ajouter les produits obtenus à l’étape précédente
1 + 4 + 12 + 18 + 0 = 35
Étape 5 : diviser la valeur obtenue à l’étape précédente par le nombre total de données
35 ÷ 5 = 7
Ensuite, la covariance entre les variables “heures d’étude” et “note d’examen” est de 7.
Quelle est la différence entre la variance et la covariance ?
La variance est une mesure qui indique la dispersion statistique ou la variabilité d’un ensemble de données. Il est calculé comme la moyenne des carrés des écarts des valeurs individuelles par rapport à la moyenne. Une forte variance signifie que les données sont étalées ou éloignées de la moyenne , tandis qu’une faible variance signifie que les données sont plus proches de la moyenne.
D’autre part, la covariance est une mesure qui indique comment deux variables évoluent ensemble . C’est une mesure de la variation conjointe de deux variables. Si la covariance est positive, cela indique que les deux variables ont tendance à augmenter ou à diminuer ensemble. Si la covariance est négative, cela indique qu’une variable tend à augmenter quand l’autre diminue. Une covariance proche de zéro indique que les variables n’ont pas de relation linéaire forte.
En bref, la variance mesure la variabilité d’un ensemble de données lui-même, tandis que la covariance mesure la relation de variation conjointe entre deux variables.
Quelle est l’importance de la covariance ?
La covariance est une mesure importante dans les statistiques et l’analyse des données pour plusieurs raisons. Généralement, il est utilisé pour évaluer la force et la direction de la relation entre deux variables. Une valeur de covariance proche de zéro indique une relation faible ou nulle , tandis qu’une valeur élevée indique une relation forte entre les variables.
D’autre part, il convient de mentionner qu’il s’agit d’un outil utile dans la modélisation et la prédiction des données . Il peut être utilisé dans des techniques avancées d’analyse de données, telles que la régression linéaire et l’analyse de séries chronologiques, pour comprendre comment les changements d’une variable peuvent affecter une autre variable.
Il est également d’une grande importance dans la gestion des risques financiers. Il permet d’évaluer comment deux actifs financiers évoluent ensemble, ce qui est fondamental dans la diversification des portefeuilles d’investissement et dans l’évaluation du risque et du rendement des différents actifs.
Quelles sont les principales utilisations de la covariance ?
La covariance est un outil important dans l’analyse des données et a plusieurs utilisations. L’une des principales utilisations de la covariance est en statistique et en économétrie . Il est utilisé pour mesurer la relation de variation conjointe entre deux variables, ce qui peut nous aider à comprendre comment elles évoluent ensemble.
Dans le domaine de la finance, la covariance est utilisée pour évaluer la relation entre les rendements de différents actifs financiers , tels que les actions, les obligations ou l’immobilier. Il aide les investisseurs à comprendre comment les actifs fonctionnent ensemble et comment les investissements peuvent être diversifiés pour gérer les risques.
Dans l’analyse des risques et la gestion de portefeuille, la covariance est utilisée pour calculer la diversification des risques , c’est-à-dire la façon dont les rendements des différents actifs sont corrélés. Une faible covariance entre deux actifs indique qu’ils sont moins susceptibles d’évoluer dans la même direction, ce qui peut être bénéfique pour réduire le risque du portefeuille.
En outre, la covariance est également utilisée dans des domaines tels que les sciences de l’environnement, la biologie, la psychologie et l’ingénierie, où les relations entre différentes variables sont étudiées pour comprendre leur comportement et faire des prédictions.
Il est important de noter que la covariance a certaines limites, comme ne pas être une mesure standardisée et ne pas capturer les relations non linéaires entre les variables. Cependant, il reste un outil précieux dans l’analyse des données pour comprendre comment deux variables évoluent ensemble et leur relation de variation conjointe.
Propriétés de covariance
Examinons ci-dessous certaines des propriétés les plus importantes de la covariance :
- La covariance entre deux variables peut être positive , indiquant qu’elles tendent à évoluer dans le même sens. D’autre part, si la covariance est négative, cela signifie qu’ils ont tendance à se déplacer dans des directions opposées . Si la covariance est nulle, il n’y a pas de relation linéaire entre les variables.
- Contrairement à la corrélation, la covariance n’est pas limitée à une plage spécifique et n’a pas d’unités de mesure standardisées . Cela peut rendre difficile la comparaison des covariances de différentes échelles ou unités.
- La présence de valeurs extrêmes ou aberrantes dans les données peut avoir un impact significatif sur la covariance. Cela peut entraîner une covariance élevée ou faible, même si la relation entre les variables n’est pas forte .
- La covariance entre deux variables est symétrique , ce qui signifie que la covariance de X par rapport à Y est égale à la covariance de Y par rapport à X. En effet, la covariance est basée sur la variation conjointe des deux variables.
- Il est important de noter que la covariance n’implique pas nécessairement une relation causale entre les variables . Il ne montre que la direction et l’ampleur de la variation conjointe entre les variables, mais n’établit pas de relation causale directe.
exemple de covariance
Comme nous le savons déjà, tout est plus clair lorsque nous utilisons des exemples. Par conséquent, nous allons analyser cet exemple simple de covariance pour une meilleure compréhension.
Considérons deux nouvelles variables, A et B, avec les données suivantes :
UNE = (a1, a2, a3) = (2, 5, 7)
B = (b1, b2, b3) = (6, 3, 1)
Dans un premier temps, nous allons calculer la moyenne arithmétique de chacune des variables :
A’ = (2 + 5 + 7) ÷ 3 = 4,67
B’ = (6 + 3 + 1) ÷ 3 = 3,33
Une fois que nous avons calculé les moyennes arithmétiques, nous procédons au calcul de la covariance :
Cov(A, B) = (2 – 4,67) · (6 – 3,33) + (5 – 4,67) · (3 – 3,33) + (7 – 4,67) · (1 – 3,33) ÷ 3 = -2,33
Dans ce cas, la valeur de la covariance est négative. Cela indique que les variables A et B ont une relation négative, ce qui signifie que lorsqu’une variable augmente, l’autre variable tend à diminuer. Cependant, pour mieux comprendre la relation entre A et B, il est nécessaire de calculer la corrélation linéaire .
Il est également pertinent de prendre en compte que les covariances des différentes variables ne peuvent pas être comparées , puisque l’unité de mesure de la covariance est la même que celle des variables en question. Par conséquent, vous ne pouvez pas comparer la covariance de variables telles que le revenu et l’âge, par exemple, en raison de leurs différentes unités de mesure.