Sur cette page, vous trouverez la signification d’un vecteur normalisé et comment tout vecteur est normalisé avec plusieurs exemples, à la fois en 2 et 3 dimensions. Et, en plus, vous trouverez les utilitaires de la normalisation d’un vecteur.
Que signifie normaliser un vecteur ?
Normaliser un vecteur signifie le transformer en un vecteur de même direction et de même sens mais de module égal à 1. Autrement dit, le processus de normalisation d’un vecteur implique de changer sa longueur tout en conservant sa direction et son sens.
Ainsi, un vecteur normalisé sert principalement à indiquer une direction et une signification.
D’autre part, lorsque vous normalisez un vecteur, vous calculez également un vecteur unitaire en même temps, car un vecteur unitaire est tout vecteur dont la magnitude est égale à 1.
Formule pour normaliser un vecteur
Pour normaliser un vecteur, chacune des composantes du vecteur doit être divisée par son module :
Où
est le vecteur normalisé de 
Exemple de normalisation d’un vecteur dans R2
A titre d’exemple, nous allons normaliser le vecteur bidimensionnel suivant :
Nous devons d’abord calculer le module (ou l’amplitude) du vecteur. Au cas où vous ne vous souviendriez pas comment le faire, vous pouvez consulter ici la formule de la magnitude d’un vecteur . Donc on utilise cette formule :
Et puis on divise le vecteur par son module pour obtenir le vecteur normalisé :
Normalement, lorsqu’un vecteur est normalisé, il reste sous la forme d’une fraction, mais vous pouvez le passer aux décimales sans problème.
Exemple de normalisation d’un vecteur dans R3
Pour que vous puissiez voir un autre exemple, nous allons normaliser le vecteur tridimensionnel suivant :
Tout d’abord, nous calculons la magnitude du vecteur :
Et, enfin, on divise le vecteur par son module pour le normaliser :
A quoi sert de normaliser un vecteur ?
Voir les applications de la normalisation vectorielle n’est pas facile, il peut même sembler qu’un vecteur normalisé est pire qu’un vecteur “normal”, car ils ont souvent des fractions et il est plus difficile de travailler avec des fractions.
Cependant, certaines opérations vectorielles sont grandement simplifiées si des vecteurs normalisés sont utilisés. Par exemple, trouver l’angle entre deux vecteurs est plus facile si ces deux ont un module (ou une magnitude) égal à un. De plus, l’angle formé par deux vecteurs ne dépend pas de leur longueur mais de leur direction, il est donc parfaitement possible de normaliser d’abord les deux vecteurs puis de trouver l’angle qu’ils forment.
Si vous êtes plus intéressé par la façon dont l’angle entre deux vecteurs est calculé et pourquoi il est plus facile de le faire avec des vecteurs normalisés, vous pouvez consulter la page de l’angle entre deux vecteurs . Vous trouverez ici toutes les explications, ainsi que des exemples et des exercices résolus.
Cette caractéristique des vecteurs normalisés est très utile au niveau informatique. Étant donné que le temps que vous gagnez pour effectuer une seule opération vectorielle est vraiment faible. Mais si des dizaines de milliers d’opérations doivent être effectuées, comme cela peut être le cas avec un ordinateur, le gain de temps est considérable.
Enfin, les bases vectorielles couramment utilisées sont des bases orthonormées, car avec elles, il est plus facile d’exprimer les coordonnées d’un vecteur et, en plus, elles facilitent de nombreux calculs avec des matrices en algèbre linéaire. Eh bien, tous les vecteurs de ce type de bases sont des vecteurs normalisés. Par exemple, le système de coordonnées cartésien est une base orthonormée.
En conclusion, les vecteurs normalisés ne sont pas strictement nécessaires puisque toutes les opérations entre vecteurs pourraient se faire sans eux, mais ils facilitent grandement les calculs.