▷ Comment est calculé l'angle entre deux vecteurs ? (formule) ✅

Sur cette page vous découvrirez comment calculer l’angle entre deux vecteurs. De plus, vous verrez également des exemples et pourrez vous entraîner avec des exercices et des problèmes résolus étape par étape.

Formule pour l’angle entre deux vecteurs

angle entre deux vecteurs du produit scalaire

Si l’on se souvient de la définition du produit scalaire , celui-ci peut être calculé à l’aide de l’équation suivante :

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha )$

De cette égalité, nous pouvons obtenir la formule qui nous aidera à trouver directement l’angle formé par deux vecteurs :

Le cosinus de l’angle formé par deux vecteurs est égal au produit scalaire entre les deux vecteurs divisé par le produit des modules des deux vecteurs.

Autrement dit, la formule pour déterminer l’angle formé par deux vecteurs est la suivante :

Par conséquent, pour trouver l’angle formé par deux vecteurs, il est essentiel que vous sachiez calculer la norme d’un vecteur . Dans ce lien vous trouverez la formule, des exemples et des exercices résolus pour le module d’un vecteur, donc si vous ne maîtrisez pas encore cette opération vectorielle, nous vous recommandons d’y jeter un œil.

Cette formule fonctionne aussi bien pour le plan (dans R2) que pour l’espace (dans R3). Autrement dit, nous pouvons l’utiliser de manière interchangeable pour les vecteurs à deux ou trois composantes.

Cependant, parfois il n’est pas nécessaire d’appliquer cette formule car l’angle entre les vecteurs peut être déduit :

L’angle entre deux vecteurs perpendiculaires (qui ont la même direction) est de 0º.
L’angle entre deux vecteurs orthogonaux (ou perpendiculaires) est de 90º.

Exemple de comment trouver l’angle entre deux vecteurs

A titre d’exemple, nous allons calculer l’angle formé par les deux vecteurs suivants :

$\vv{\text{u}} = (4,-1) \qquad \vv{\text{v}} = (2,5)$

Il faut d’abord calculer le module de chaque vecteur :

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{4^2+(-1)^2}= \sqrt{17}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{2^2+5^2}= \sqrt{29}$

Nous utilisons maintenant la formule pour calculer le cosinus de l’angle entre les deux vecteurs :

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 4\cdot 2 + (-1)\cdot 5}{\sqrt{17}\cdot \sqrt{29}} = \cfrac{3}{\sqrt{493}} = 0,14$

Et enfin, on trouve l’angle correspondant en faisant l’inverse du cosinus à l’aide de la calculatrice :

$\displaystyle \cos^{-1}(0,14) = \bm{81,95º}$

Les deux vecteurs forment donc un angle de 81,95º.

Exercices résolus sur les angles entre vecteurs

Exercice 1

Calculez l’angle entre les deux vecteurs suivants :

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(5,3) \qquad \vv{\text{v}} =(1,2)$

Voir la solution

Tout d’abord, il faut calculer le module des deux vecteurs :

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{5^2+3^2}= \sqrt{34}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ 1^2+2^2}= \sqrt{5}$

On utilise la formule pour calculer le cosinus de l’angle formé par les vecteurs :

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 5\cdot 1 + 3\cdot 2}{\sqrt{34}\cdot \sqrt{5}} = \cfrac{11}{\sqrt{170}} = 0,84$

Enfin, on trouve l’angle correspondant en faisant l’inverse du cosinus avec la calculatrice :

$\displaystyle \cos^{-1}(0,84) = \bm{32,47º}$

Exercice 2

Déterminez l’angle qui existe entre les deux vecteurs suivants :

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-2,-7) \qquad \vv{\text{v}} =(-1,5)$

Voir la solution

Tout d’abord il faut trouver les modules des vecteurs :

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ (-2)^2+(-7)^2}= \sqrt{53}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ (-1)^2+5^2}= \sqrt{26}$

Nous utilisons la formule pour obtenir le cosinus de l’angle que possèdent les vecteurs :

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ (-2)\cdot (-1) + (-7)\cdot 5}{\sqrt{53}\cdot \sqrt{26}} = \cfrac{-33}{\sqrt{1378}} = -0,89$

Et, enfin, on trouve l’angle correspondant en faisant l’inverse du cosinus avec la calculatrice :

$\displaystyle \cos^{-1}(-0,89) = \bm{152,74º}$

Exercice 3

Calculer la valeur de

$k$ de sorte que les vecteurs suivants sont perpendiculaires :

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(6,3) \qquad \vv{\text{v}} =(-4,k)$

Voir la solution

Deux vecteurs perpendiculaires forment un angle de 90º. Pourtant:

$\displaystyle \cos(90º) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

$\displaystyle 0=\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

Le dénominateur de la fraction divise tout le côté droit de l’équation, nous pouvons donc le multiplier par l’autre côté :

$\displaystyle 0 \cdot \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

$\displaystyle 0 =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

Maintenant, nous résolvons le produit scalaire :

$\displaystyle 0 =(6,3) \cdot (-4,k)$

$\displaystyle 0 =6 \cdot (-4) + 3\cdot k$

$\displaystyle 0 =-24 +3k$

Et enfin, nous éclaircissons le mystère :

$\displaystyle -3k =-24$

$\displaystyle k =\cfrac{-24}{-3}$

$\displaystyle \bm{k =8}$

Exercice 4

Trouver la valeur que devraient avoir les constantes

$a$ et $b$ de sorte que les vecteurs suivants sont perpendiculaires et, en plus, il est vrai $\lvert \vv{\text{u}} \rvert =10.$

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-6,a) \qquad \vv{\text{v}} =(b,3)$

Voir la solution

Nous allons d’abord utiliser la condition de module pour trouver la valeur de

$a:$

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert =10$

$\sqrt{(-6)^2+a^2}=10$

$\sqrt{36+a^2}=10$

On élève les deux côtés de l’équation pour supprimer la racine carrée :

$\left(\sqrt{36+a^2}\right)^2=10^2$

$36+a^2=100$

Et on éclaircit le mystère :

$a^2=100 -36$

$a^2=64$

$a=\sqrt{64}$

$\bm{a=8}$

Une fois que nous connaissons la valeur de

$a$ , trouvons la valeur de $b$ en appliquant la formule de l’angle de deux vecteurs, puisque l’énoncé nous dit qu’ils doivent être perpendiculaires, ou ce qui est équivalent, ils doivent former 90º.

$\displaystyle \cos(90º) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

$\displaystyle 0=\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

Le dénominateur de la fraction divise tout le côté droit de l’équation, nous pouvons donc le multiplier par l’autre côté :

$\displaystyle 0 \cdot \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

$\displaystyle 0 =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

Essayons maintenant de résoudre le produit scalaire :

$\displaystyle 0 =(-6,8) \cdot (b,3)$

$\displaystyle 0 =-6 \cdot b +8\cdot 3$

$\displaystyle 0 =-6b +24$

Et enfin, nous éclaircissons le mystère :

$\displaystyle 6b =24$

$\displaystyle b =\cfrac{24}{6}$

$\displaystyle \bm{b =4}$

Exercice 5

Calculer les angles

$\alpha , \beta$ et $\gamma$ qui forment les côtés du triangle suivant :

exercices et problèmes résolus étape par étape du produit scalaire de deux vecteurs

Voir la solution

Les sommets qui composent le triangle sont les points suivants :

$A(2,1) \qquad B(4,4) \qquad C(6,2)$

Pour calculer les angles intérieurs du triangle, nous pouvons calculer les vecteurs de chacun de ses côtés puis trouver l’angle qu’ils forment grâce à la formule du produit scalaire.

Par exemple, pour trouver l’angle

$\alpha$ On calcule les vecteurs de ses côtés :

$\vv{AB} = B - A = (4,4)-(2,1)= (2,3)$

$\vv{AC} = C - A = (6,2)-(2,1)= (4,1)$

Et on trouve l’angle formé par les deux vecteurs à l’aide de la formule du produit scalaire :

$\lvert \vv{AB} \rvert = \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13}$

$\lvert \vv{AC} \rvert = \sqrt{4^2+1^2} = \sqrt{17}$

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{AC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{AC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 4 + 3\cdot 1}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{17}} = \cfrac{11}{\sqrt{221}} =0,74$

$\bm{\alpha = 42,27º}$

Maintenant, nous répétons la même procédure pour déterminer l’angle

$\beta:$

$\vv{BC} = C - B = (6,2)-(4,4)= (2,-2)$

$\lvert \vv{BC} \rvert = \sqrt{2^2+(-2)^2} = \sqrt{8}$

$\displaystyle \cos(\beta) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{BC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{BC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 2 + 3\cdot (-2)}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{8}} = \cfrac{-2}{\sqrt{104}} =-0,20$

$\bm{\beta = 101,31º}$

Enfin, pour trouver le dernier angle on peut refaire la même procédure. Cependant, tous les angles d’un triangle doivent totaliser 180 degrés, donc :

$\gamma = 180 -42,27-101,31 = \bm{36,42º}$

Comment calculer l’angle entre deux vecteurs

Formule pour l’angle entre deux vecteurs

Exemple de comment trouver l’angle entre deux vecteurs

Exercices résolus sur les angles entre vecteurs

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

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